馬楠，路成

(1.中國(guó)商飛上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院 需求工程與型號(hào)發(fā)展部， 上海 201210)(2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 西安 710072)

0 引 言

復(fù)雜結(jié)構(gòu)通常由多個(gè)構(gòu)件按照一定的規(guī)則裝配而成，例如航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓渦輪葉盤(pán)是由多個(gè)葉片和輪盤(pán)組裝形成。復(fù)雜結(jié)構(gòu)工作過(guò)程中，一旦某一構(gòu)件發(fā)生故障，將導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)功能失常，甚至造成災(zāi)難性后果。因此，有必要開(kāi)展考慮動(dòng)態(tài)載荷影響下的多構(gòu)件結(jié)構(gòu)可靠性分析。

關(guān)于結(jié)構(gòu)可靠性分析方面，國(guó)內(nèi)外展開(kāi)了大量研究，大體上可分為直接方法和間接方法兩類(lèi)，其中直接方法包括直接模擬法和近似模擬法，而間接方法主要以代理模型為主。對(duì)于結(jié)構(gòu)可靠性分析，直接模擬法中最具有代表性的方法之一為蒙特卡羅(Monte Carlo，簡(jiǎn)稱(chēng)MC)模擬[1]，近似模擬法主要有一次二階矩法[2]、改進(jìn)一次二階矩法[3]、二次二階矩法[4]、二次四階法[5]等。然而，MC模擬在進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析過(guò)程中需要大量的仿真模擬，雖然分析結(jié)果具有較高的精度，但是計(jì)算負(fù)擔(dān)比較繁重，甚至很難處理具有動(dòng)態(tài)特性的復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠性分析問(wèn)題；近似模擬法是在結(jié)構(gòu)功能函數(shù)已知的前提下通過(guò)多次多階求導(dǎo)進(jìn)行可靠性分析，其計(jì)算流程比較繁瑣并且分析精度相對(duì)較低，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)功能函數(shù)未知的情況，這類(lèi)方法并不適用。間接方法即代理模型的出現(xiàn)，例如響應(yīng)面法[6]、Kriging模型[7]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[8]、支持向量機(jī)模型[9]等，為處理結(jié)構(gòu)概率分析問(wèn)題提供了可行的思路。此外，Hong S等[10-13]利用不同的方法對(duì)軸承的退化性能、性能監(jiān)測(cè)和剩余壽命進(jìn)行了分析，并驗(yàn)證了方法的有效性。對(duì)于涉及動(dòng)態(tài)特性的復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠性分析，代理模型需要建立大量的數(shù)學(xué)模型，其計(jì)算流程相對(duì)繁瑣，導(dǎo)致其效率不能滿足工程需求。

為了克服代理模型在復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性計(jì)算效率的問(wèn)題，Zhang C Y等[14]將傳統(tǒng)響應(yīng)面法與極值策略相結(jié)合，提出了極值響應(yīng)面法，實(shí)現(xiàn)機(jī)械柔性臂的動(dòng)態(tài)可靠性分析；路成[15]將極值響應(yīng)面法用于實(shí)現(xiàn)航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)可靠性分析及靈敏度分析；Fei C W等[16]將極值響應(yīng)面法與支持向量機(jī)模型用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性分析，通過(guò)案例驗(yàn)證了所研究方法的有效性；Lu C等[17]基于Kriging模型和極值策略探究提出了極值Kriging模型，用來(lái)處理航空發(fā)動(dòng)機(jī)低壓壓氣機(jī)葉盤(pán)徑向變形動(dòng)態(tài)概率分析；Song L K等[18]研究提出了改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型用于實(shí)現(xiàn)柔性機(jī)械的動(dòng)態(tài)可靠性靈敏度評(píng)估。上述方法雖然能夠有效提高結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性分析效率，但是仍然存在以下不足之處：復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性分析的精度不能滿足工程需求，原因在于最小二乘法本身的限制，導(dǎo)致所建立的模型精度不高；對(duì)于涉及多個(gè)構(gòu)件的復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性分析，需要針對(duì)每個(gè)構(gòu)件建立輸出響應(yīng)與輸入變量之間的關(guān)系，其分析流程過(guò)于復(fù)雜。

針對(duì)上述研究存在的問(wèn)題，本文將極值響應(yīng)面法、移動(dòng)最小二乘法和分解協(xié)調(diào)策略有效融合，提出便于處理多構(gòu)件結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性分析的分解協(xié)調(diào)移動(dòng)極值響應(yīng)面法，通過(guò)航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓渦輪葉盤(pán)(由葉片和輪盤(pán)組成)徑向變形動(dòng)態(tài)可靠性分析驗(yàn)證該方法的有效性，通過(guò)方法對(duì)比，從建模特性和仿真性能兩個(gè)方面對(duì)DCMERSM的適用性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 DCMERSM原理

1.1 基于DCMERSM的多構(gòu)件結(jié)構(gòu)可靠性分析流程

DCMERSM是基于極值響應(yīng)面法、移動(dòng)最小二乘法和分解協(xié)調(diào)策略發(fā)展而來(lái)，其中：極值響應(yīng)面法用來(lái)處理多構(gòu)件結(jié)構(gòu)分析時(shí)域變量的動(dòng)態(tài)特性，結(jié)合極值選取策略及聯(lián)動(dòng)抽樣策略獲取動(dòng)態(tài)分析時(shí)域內(nèi)的輸入樣本及輸出響應(yīng)；分解協(xié)調(diào)策略是將多構(gòu)件結(jié)構(gòu)分解為單一構(gòu)件結(jié)構(gòu)，進(jìn)而將各構(gòu)件輸出響應(yīng)協(xié)調(diào)成多構(gòu)件結(jié)構(gòu)總的輸出響應(yīng)，用以協(xié)調(diào)多構(gòu)件結(jié)構(gòu)輸出響應(yīng)之間的關(guān)系；移動(dòng)最小二乘法依據(jù)緊支撐域獲取有效樣本，并結(jié)合獲取的樣本建立多構(gòu)件結(jié)構(gòu)輸出響應(yīng)與輸入變量的關(guān)系模型。基于DCMERSM的多構(gòu)件結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性分析流程如圖1所示。

圖1 基于DCMERSM的多構(gòu)件結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性分析流程

從圖1可以看出：基于DCMERSM的多構(gòu)件結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性分析主要包括動(dòng)態(tài)確定性分析、樣本獲取、DCMERSM模型構(gòu)建和動(dòng)態(tài)可靠性分析4個(gè)步驟。具體描述為：

(1) 動(dòng)態(tài)確定性分析。針對(duì)多構(gòu)件結(jié)構(gòu)研究對(duì)象，建立有限元分析模型，在分析時(shí)域[0,T]內(nèi)設(shè)置相關(guān)的動(dòng)態(tài)載荷、邊界條件及材料參數(shù)，執(zhí)行動(dòng)態(tài)確定性分析，獲取各構(gòu)件輸出響應(yīng)的極值。

(2) 樣本獲取。依據(jù)所確定的輸出響應(yīng)極值，確定研究時(shí)刻t(t∈[0,T])，定義隨機(jī)輸入變量及數(shù)值分布特征，結(jié)合聯(lián)動(dòng)抽樣獲取輸出響應(yīng)及輸入變量的樣本，進(jìn)而引入緊支撐域獲取有效建模樣本。其中，聯(lián)動(dòng)抽樣由拉丁超立方抽樣演化而來(lái)，其基本原理是針對(duì)每組隨機(jī)輸入變量樣本，可以同時(shí)獲取各構(gòu)件相應(yīng)的輸出響應(yīng)[19]，結(jié)合二維空間說(shuō)明緊支撐域獲取有效樣本的原理[20]，具體如圖2所示，其中：h11為計(jì)算點(diǎn)與第一象限樣本點(diǎn)最近距離；h12為計(jì)算點(diǎn)與第二象限樣本點(diǎn)最近距離；h13為計(jì)算點(diǎn)與第三象限樣本點(diǎn)最近距離；h14為計(jì)算點(diǎn)與第四象限樣本點(diǎn)最近距離；hp為計(jì)算點(diǎn)與各象限樣本點(diǎn)最近距離的最大值；β為影響系數(shù)，用于確保有效樣本點(diǎn)數(shù)量能夠滿足建模需求，通常為[1.2,2.5]。

圖2 基于緊支撐域獲取有效樣本原理圖

(3) DCMERSM模型構(gòu)建。結(jié)合選取的有效樣本，采用移動(dòng)最小二乘法建立各構(gòu)件輸出響應(yīng)與輸入變量之間的關(guān)系模型，即分解模型；依據(jù)各構(gòu)件輸出響應(yīng)之間的關(guān)系，建立多構(gòu)件結(jié)構(gòu)總的輸出響應(yīng)與輸入變量關(guān)系模型，即協(xié)調(diào)模型；驗(yàn)證所建立的模型是否滿足精度要求，如果不滿足需要重新抽取樣本，執(zhí)行后續(xù)流程，如果滿足則確定所建立的DCMERSM模型。

(4) 動(dòng)態(tài)可靠性分析。基于所建立的DCMERSM模型，構(gòu)建多構(gòu)件結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)，運(yùn)用MC抽樣實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)可靠性分析，輸出多構(gòu)件結(jié)構(gòu)可靠性分析結(jié)果。

1.2 DCMERSM數(shù)學(xué)模型

通過(guò)多構(gòu)件結(jié)構(gòu)層、子結(jié)構(gòu)層、單一構(gòu)件層和變量層的復(fù)雜結(jié)構(gòu)說(shuō)明DCMERSM數(shù)學(xué)模型，結(jié)合分解協(xié)調(diào)策略將多構(gòu)件結(jié)構(gòu)依次分解至變量層，其原理如圖3所示，其中，f(·)為多構(gòu)件結(jié)構(gòu)層總的輸出響應(yīng)與子構(gòu)件層輸出響應(yīng)之間的關(guān)系，f(z1)(·)為第z1個(gè)子構(gòu)件輸出響應(yīng)與對(duì)應(yīng)單一構(gòu)件層輸出響應(yīng)之間的關(guān)系，f(z1z2)(·)為第z2個(gè)單一構(gòu)件輸出響應(yīng)與對(duì)應(yīng)變量層之間的關(guān)系。

圖3 分解協(xié)調(diào)策略原理圖

四層多構(gòu)件結(jié)構(gòu)包含z1(z1∈Z)個(gè)子構(gòu)件層，且各子構(gòu)件層有z2(z2∈Z)個(gè)單一構(gòu)件層，則多構(gòu)件結(jié)構(gòu)總輸出響應(yīng)為

yDCMERSM=f(x)=f[f(1)(x),f(2)(x),…,f(z1)(x)]

(1)

式(1)可寫(xiě)為

yDCMERSM=

(2)

(3)

(4)

式中：x(jk)為第j個(gè)構(gòu)件所包含的第k個(gè)單一構(gòu)件相關(guān)的變量，而x為x(jk)按照一定順序的組合。

結(jié)合極值響應(yīng)面法數(shù)學(xué)模型的形式，構(gòu)建多構(gòu)件結(jié)構(gòu)第j個(gè)子構(gòu)件層的第k個(gè)單一構(gòu)件的2nd分解模型，其形式可表達(dá)為

(5)

同理，多構(gòu)件結(jié)構(gòu)第j個(gè)子構(gòu)件的1st分解模型和多構(gòu)件結(jié)構(gòu)層協(xié)調(diào)模型可表達(dá)為

(6)

(7)

為了構(gòu)建DCMERSM模型，本文結(jié)合移動(dòng)最小二乘法求解式(5)～式(7)相關(guān)待定系數(shù)，即先運(yùn)用聯(lián)動(dòng)抽樣策略獲取足夠的樣本，再采用緊支撐域選擇m(m≥2n+1)個(gè)有效建模樣本，最后通過(guò)式(8)計(jì)算相關(guān)待定系數(shù)。其中，式(8)僅以求解式(7)中的待定系數(shù)為例，說(shuō)明分析原理。

(8)

d=[ab1b2…bnc1c2…cn]

(9)

(10)

式中：w(·)為計(jì)算點(diǎn)與樣本點(diǎn)之間的加權(quán)系數(shù)，通常選取三次樣條函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)的形式(如式(11)所示)，原因在于其擬合特性具有一定的優(yōu)勢(shì)。

(11)

基于上述關(guān)系，可以構(gòu)件多構(gòu)件結(jié)構(gòu)分解模型和協(xié)調(diào)模型，即多構(gòu)件結(jié)構(gòu)功能函數(shù)(DCMERSM模型)。

1.3 基于DCMERSM的動(dòng)態(tài)可靠性分析原理

結(jié)合DCMERSM數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建的多構(gòu)件結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)為

gDCMERSM(x)=yallow-yDCMERSM(x)

(12)

式中：yallow為多構(gòu)件結(jié)構(gòu)輸出響應(yīng)的許用值。

當(dāng)gDCMERSM(x)≥0時(shí)，多構(gòu)件結(jié)構(gòu)是可靠的；反之則失效。

通過(guò)對(duì)式(12)進(jìn)行大量數(shù)值模擬，多構(gòu)件結(jié)構(gòu)失效概率和可靠性概率可以表述為

(13)

(14)

式中：IF(x)為示性函數(shù)；N為樣本數(shù)量；Nf為失效樣本數(shù)量；Nr為可靠樣本數(shù)量。

2 基于DCMERSM的渦輪葉盤(pán)徑向變形分析

高壓渦輪葉盤(pán)(由葉片和輪盤(pán)組成)作為航空發(fā)動(dòng)機(jī)重要組件之一，其可靠性直接影響整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)行的安全性。高壓渦輪葉盤(pán)在航空發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)行過(guò)程中，往往受到復(fù)雜物理載荷的作用，例如流體載荷、熱載荷、結(jié)構(gòu)載荷等，且該結(jié)構(gòu)是典型的循環(huán)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。

2.1 渦輪葉盤(pán)徑向變形動(dòng)態(tài)確定性分析

為了減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)，選取1/48渦輪葉盤(pán)(包含1個(gè)葉片和1/48輪盤(pán))作為分析對(duì)象，建立其有限元模型以及流場(chǎng)有限元模型，如圖4所示，可以看出：高壓渦輪葉盤(pán)有限元模型和流場(chǎng)有限元模型由四面體單元組成，其中，葉片有限元模型包括75 097節(jié)點(diǎn)和48 551單元，輪盤(pán)有限元模型包括57 213節(jié)點(diǎn)和33 885單元，流場(chǎng)有限元模型包括472 930節(jié)點(diǎn)和338 917單元。

(a) 葉片 (b) 輪盤(pán)

(c) 流場(chǎng)

基于建立的有限元模型，考慮流-熱-固耦合的影響，在分析時(shí)域[0 s,215 s]設(shè)置相關(guān)的載荷及材料參數(shù)，即選取GH4133作為高壓渦輪葉盤(pán)材料，進(jìn)口壓力為2×106Pa，出口壓力為5.88×105Pa。此外，高壓渦輪葉盤(pán)進(jìn)口流速、燃?xì)鉁囟群娃D(zhuǎn)速隨時(shí)間變化曲線如圖5所示。

圖5 進(jìn)口流速、燃?xì)鉁囟群娃D(zhuǎn)速隨時(shí)間變化曲線

運(yùn)用緊密耦合方法實(shí)現(xiàn)高壓渦輪葉盤(pán)徑向變形動(dòng)態(tài)確定性分析，得到葉片和輪盤(pán)徑向變形隨時(shí)間變化曲線如圖6所示，可以看出：高壓渦輪葉盤(pán)徑向變形最大值出現(xiàn)在爬升階段，即[165 s,200 s]。

圖6 渦輪葉片和輪盤(pán)徑向變形隨時(shí)間變化曲線

選取某一時(shí)刻t(t∈[165 s,200 s])作為研究時(shí)刻，此時(shí)渦輪葉片和輪盤(pán)徑向變形分布云圖如圖7所示。

(a) 葉片

(b) 輪盤(pán)

從圖7可以看出：徑向變形最大值出現(xiàn)在輪盤(pán)頂端和葉尖部位。

2.2 渦輪葉盤(pán)徑向變形DCMERSM模型分析

考慮高壓渦輪葉盤(pán)在運(yùn)行過(guò)程中材料參數(shù)和載荷條件具有隨機(jī)性，選取進(jìn)口流速v、出口壓力pout、燃?xì)鉁囟萾gas、轉(zhuǎn)速w和密度ρ作為隨機(jī)輸入變量，假設(shè)相關(guān)變量服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，其數(shù)值特征如表1所示。

表1 隨機(jī)輸入變量數(shù)值特征

基于隨機(jī)輸入變量的數(shù)值特征，獲取100組輸入樣本，結(jié)合動(dòng)態(tài)確定性分析計(jì)算高壓渦輪葉片和輪盤(pán)的徑向變形，構(gòu)成100組樣本數(shù)據(jù)。其中，80組樣本作為訓(xùn)練樣本，結(jié)合緊支撐域獲取40組有效建模樣本，剩余20組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本用以驗(yàn)證所構(gòu)建模型的精度。

由于高壓渦輪葉片和輪盤(pán)徑向變形呈現(xiàn)加和關(guān)系，因此高壓渦輪葉盤(pán)徑向變形的協(xié)調(diào)模型如式(17)所示。

9.925 6×10-6w-5.039 9×10-7ρ+7.157 1×10-8v2+

3.902 0×10-10ρ2

(15)

8.373 9×10-6w-4.030 6×10-6ρ+4.859 7×10-8v2+

1.772 5×10-9ρ2

(16)

(17)

2.3 渦輪葉盤(pán)徑向變形動(dòng)態(tài)可靠性分析

基于高壓渦輪葉盤(pán)徑向變形協(xié)調(diào)模型，構(gòu)建其極限狀態(tài)函數(shù)，如式(12)所示，結(jié)合MC抽樣對(duì)極限狀態(tài)函數(shù)進(jìn)行10 000次抽樣模擬，渦輪葉盤(pán)徑向變形抽樣歷史和分布直方圖如圖8所示。

(a) 抽樣歷史

(b) 分布直方圖

從圖8可以看出：高壓渦輪葉盤(pán)徑向變形服從均值為2.244×10-3m，標(biāo)準(zhǔn)差為1.267×10-4m的正態(tài)分布。因此，當(dāng)高壓渦輪葉盤(pán)徑向變形許用值為2.624×10-3m時(shí)，其可靠度為0.997 7，滿足工程需求。

3 DCMERSM驗(yàn)證

3.1 建模特性

為了驗(yàn)證DCMERSM在建模特性方面的優(yōu)勢(shì)，結(jié)合訓(xùn)練樣本，分別運(yùn)用分解協(xié)調(diào)極值響應(yīng)面法(Extremum Response Surface Method-based Decomposed Coordinative Strategy,簡(jiǎn)稱(chēng)DCERSM)和DCMERSM建立高壓渦輪葉盤(pán)徑向變形功能函數(shù)，其建模時(shí)間和預(yù)測(cè)精度如表2所示。

表2 基于DCERSM和DCMERSM的建模時(shí)間和預(yù)測(cè)精度

從表2可以看出：相比于DCERSM，提出的DCMERSM具有較高的建模效率，原因在于DCMERSM的建模時(shí)間少于DCERSM的建模時(shí)間，DCMERSM的平均絕對(duì)誤差小于DCERSM的平均絕對(duì)誤差值，其預(yù)測(cè)精度相對(duì)于DCERSM提高了44.04%。

基于測(cè)試樣本，通過(guò)絕對(duì)誤差Eab和平均絕對(duì)誤差Eav對(duì)其預(yù)測(cè)精度進(jìn)行研究，其分析結(jié)果圖9所示。

圖9 基于DCERSM和DCMERSM的絕對(duì)誤差

從圖9可以看出：DCMERSM具有較好的魯棒性，主要是因?yàn)镈CMERSM的絕對(duì)誤差曲線相較于DCERSM波動(dòng)范圍小。

綜合建模效率和魯棒性，本文所提出的DCMERSM在建模特性方面具有一定的優(yōu)勢(shì)。

3.2 仿真性能

為了進(jìn)一步驗(yàn)證DCMERSM的有效性，通過(guò)三種方法(直接模擬、DCERSM和DCMERSM)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)合不同次數(shù)(102、103和104)MC模擬實(shí)現(xiàn)高壓渦輪葉盤(pán)徑向變形動(dòng)態(tài)可靠性分析，從仿真效率和分析精度兩個(gè)方面進(jìn)行說(shuō)明。其中，以直接模擬分析結(jié)果作為仿真性能分析評(píng)估參考，且所有分析是在相同計(jì)算環(huán)境下進(jìn)行的。 基于直接模擬、DCERSM和DCMERSM的仿真性能分析結(jié)果如表3～表4 所示。

表3 基于直接模擬、DCERSM和DCMERSM的仿真效率

從表3可以看出：基于代理模型策略(DCERSM和DCMERSM)的動(dòng)態(tài)可靠性分析效率遠(yuǎn)高于直接模擬方法，且隨著模擬次數(shù)增加，其優(yōu)勢(shì)越為明顯；此外，DCERSM和DCMERSM的仿真時(shí)間相同，是因?yàn)楸疚乃捎玫慕Ｐ问较嗤床捎猛耆味囗?xiàng)式建立高壓渦輪葉盤(pán)徑向變形的分解和協(xié)調(diào)模型。

表4 基于直接模擬、DCERSM和DCMERSM的分析精度

從表4可以看出：DCMERSM的可靠度與直接模擬分析所獲取的基本相近，而DCMERSM的分析精度優(yōu)于DCERSM的分析精度。因此，DCMERSM對(duì)于多構(gòu)件結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性分析的仿真性能同樣具有一定的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié) 論

(1) 與DCERSM相比，本文提出的DCMERSM建模效率提升了62.04%，預(yù)測(cè)精度提升了44.04%；仿真性能方面，DCMERSM的仿真時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于直接模擬，且DCMERSM的仿真精度相比DCERSM提高了1.11%。

(2) 本文得到的可靠性指標(biāo)可用于實(shí)現(xiàn)多構(gòu)件結(jié)構(gòu)靈敏度分析，即研究輸入變量對(duì)于輸出響應(yīng)的影響，進(jìn)而進(jìn)一步指導(dǎo)其優(yōu)化設(shè)計(jì)及運(yùn)行控制；此外，所提出的DCMERSM可應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓渦輪葉盤(pán)徑向變形動(dòng)態(tài)可靠性分析，同時(shí)也可適用于復(fù)雜裝備機(jī)械多構(gòu)件結(jié)構(gòu)可靠性分析以及多失效模式的動(dòng)態(tài)概率設(shè)計(jì)。