雷正保 邢歡 陳小勇

（1.長沙理工大學(xué)，大型結(jié)構(gòu)碰撞實(shí)驗(yàn)室，長沙 410114；2.長沙理工大學(xué)，公路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410114）

主題詞：車輛安全技術(shù) 動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 模型驗(yàn)證 主成分分析

1 前言

模型仿真技術(shù)在一定程度上已經(jīng)取代物理樣機(jī)試驗(yàn)成為汽車碰撞安全性能的主要研究工具[1-3]，但仿真模型同實(shí)際物理對象始終存在一定差距，因此，對其進(jìn)行驗(yàn)證十分必要。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的高度非線性及復(fù)雜性使得模型驗(yàn)證較為困難，主要表現(xiàn)在：動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)具有高度的時(shí)間相關(guān)性和時(shí)變性，其相位、幅度及頻率等曲線特征差異都需要納入監(jiān)控范圍，這要求模型驗(yàn)證方法能夠全面分析輸出響應(yīng)間的曲線特征差異；復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)通常包含多個(gè)輸出響應(yīng)，且響應(yīng)間存在著很強(qiáng)的相關(guān)性[4]，這要求模型驗(yàn)證方法能夠有效解決輸出響應(yīng)間的相關(guān)性問題；模型驗(yàn)證工作涉及的驗(yàn)證方法較多，實(shí)施起來較為繁瑣。

針對上述問題，本文基于誤差評分法和主成分分析法對動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真模型的驗(yàn)證方法展開研究。

2 誤差評分法

全局誤差為時(shí)域內(nèi)每個(gè)時(shí)間步長具有相同權(quán)重時(shí)，完整的曲線特征誤差。時(shí)間響應(yīng)誤差評估（Error Assessment of Response Time Histories，EARTH）方法將全局誤差劃分為3 個(gè)獨(dú)立的誤差，即相位誤差、幅度誤差和頻率誤差（拓?fù)湔`差）。相位誤差為兩組時(shí)間序列間的總體時(shí)間差；幅度誤差為無時(shí)間滯后時(shí)，兩組時(shí)間序列間的幅度差；頻率誤差為兩組時(shí)間序列間的形狀差異。這三者分別與信號處理中的相位、幅度及頻率相對應(yīng)，簡單的時(shí)間序列可表示為正弦函數(shù)的形式：

式中，φ為相位；Y為幅度；ω為頻率；ti為i點(diǎn)的時(shí)間。

相位、幅度及頻率三者之間存在著很強(qiáng)的耦合關(guān)系，如何對其進(jìn)行有效測量是本文研究的重點(diǎn)。誤差評分法主要分為3 個(gè)步驟，即相位誤差的測量、幅頻誤差的測量和誤差評分，如圖1所示。

圖1 誤差評分法流程

2.1 相位誤差的測量

采用文獻(xiàn)[5]中的互相關(guān)系數(shù)方法進(jìn)行相位誤差測量。該方法通過移動(dòng)1 個(gè)時(shí)間序列步長的方式最大化互相關(guān)系數(shù)，此時(shí)，移動(dòng)的時(shí)間步長數(shù)eε即為相位誤差的線性測量。文獻(xiàn)[6]對幾種常用的相位誤差測量方法進(jìn)行了對比分析，結(jié)果表明，互相關(guān)系數(shù)方法對相位誤差更為敏感，因此，本文在研究過程中選用此方法進(jìn)行相位誤差測量：

式中，ρ為互相關(guān)系數(shù)；N為加速度時(shí)間序列的長度；αi、βi分別為加速度時(shí)間序列i點(diǎn)的實(shí)際測量值和理論值；分別為αi、βi的均值。

2.2 幅頻誤差的測量

幅度誤差與頻率誤差之間存在著很強(qiáng)的耦合關(guān)系，獨(dú)立測量的方式會產(chǎn)生誤導(dǎo)性的測量結(jié)果，H.Sarin 等曾嘗試采用響應(yīng)誤差評估（Error Assessment of Response Time Histories，EARTH）[7]方法對兩者進(jìn)行獨(dú)立測量，但分離效果不夠理想，頻率誤差的測量結(jié)果中包含了過多的幅度信息，這導(dǎo)致最終的驗(yàn)證結(jié)果不準(zhǔn)確。因此，本文將兩者綜合考慮，稱為幅頻誤差。

測量幅頻誤差前，必須最小化由相位誤差引起的時(shí)間序列間的差異，EARTH 方法通過將原始時(shí)間序列移動(dòng)時(shí)間步長數(shù)eε的方式對相位誤差進(jìn)行補(bǔ)償，此方法在某種程度上實(shí)現(xiàn)了對相位誤差的補(bǔ)償，但當(dāng)兩條時(shí)間序列間的相位誤差較大時(shí)，需要移動(dòng)的時(shí)間步長數(shù)勢必較多，此時(shí)相移及截短的時(shí)間序列無法很好地反映原始時(shí)間序列的幅度及頻率特性，因此，需要一種新的方法對相位誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

本文擬采用動(dòng)態(tài)時(shí)間彎曲距離（Dynamic Time Warping，DTW）算法對原始時(shí)間序列進(jìn)行相位誤差補(bǔ)償，DTW 算法可以通過彎曲時(shí)間序列時(shí)間軸的方式實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)間的錯(cuò)位匹配，這本質(zhì)上是對數(shù)據(jù)點(diǎn)的復(fù)制與平移，它能夠很好地對齊兩條時(shí)間序列間的波峰和波谷，那么時(shí)間序列間的相位誤差就可以很好地得到補(bǔ)償，但此時(shí)，DTW 能夠反映的主要是幅度信息，如何使得距離矩陣中的基礎(chǔ)距離能夠同時(shí)反映幅度和頻率特性是接下來研究的關(guān)鍵。

由式（1）的導(dǎo)數(shù)公式可知，去除相位φ的影響后，正弦曲線的導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)中包含了更多的幅度及頻率信息，即對時(shí)間序列間的相位誤差進(jìn)行補(bǔ)償后，其斜率數(shù)據(jù)間也就包含了更多的幅頻誤差信息，那么此時(shí)兩組斜率數(shù)據(jù)間的動(dòng)態(tài)時(shí)間彎曲距離即為幅頻誤差的測量值。

相位誤差eε和幅頻誤差eφ之間存在數(shù)量級差異，從而無法給出直觀的評分結(jié)果。可以將誤差測量值轉(zhuǎn)變?yōu)?～100%的數(shù)值形式，相位評分Eε和幅頻評分Eφ分別為：

相位、幅度及頻率三者同為曲線特征的重要度量指標(biāo)，在進(jìn)行響應(yīng)分析時(shí)，如何有效確定相關(guān)權(quán)重一直是研究重點(diǎn)。層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）作為一種多目標(biāo)決策技術(shù)，能夠定量地分析每個(gè)目標(biāo)的重要程度。文獻(xiàn)[8]曾利用AHP 對相位、幅度以及頻率在單個(gè)評分值間的重要程度進(jìn)行了定量分析。

文獻(xiàn)[9]根據(jù)汽車安全模型驗(yàn)證領(lǐng)域的ISO 標(biāo)準(zhǔn)要求以及專家領(lǐng)域知識（Subject Matter Expert，SME）確定各誤差評分間的權(quán)重，對相位誤差、幅度誤差以及頻率誤差的權(quán)重分配為1∶1∶1。本文在確定綜合評分權(quán)重時(shí)參考文獻(xiàn)[10]的方法，由于本文將幅度誤差和頻率誤差統(tǒng)一為幅頻誤差來考慮，因此對相位誤差和幅頻誤差的權(quán)重分配為1∶2。則最終的誤差評分Ee為：

3 主成分分析法的概念及基本思想

3.1 主成分分析的幾何意義

傳統(tǒng)的降維方法有很多，如主成分分析[11]、核主成分分析[12]和多尺度主成分分析[13]等，其中，主成分分析法是最為常用的一種特征提取方法，能夠?qū)⒏叨认嚓P(guān)的高維數(shù)據(jù)映射為相互獨(dú)立的低維數(shù)據(jù)[14]。從幾何的角度來看，綜合變量是向量x1、x2、……、xp構(gòu)成的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的新坐標(biāo)系。

如圖2所示，呈二元正態(tài)分布的點(diǎn)大致可形成橢圓形狀，沿X1軸、X2軸方向都具有很大的離散性，可以用方差定量表示，如果只考慮1 個(gè)方向，將會丟失原始數(shù)據(jù)中的大量信息，若分別在橢圓的長軸和短軸方向取坐標(biāo)軸F1和F2，相當(dāng)于進(jìn)行了坐標(biāo)變換，即將原始坐標(biāo)軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度θ，則新坐標(biāo)與原坐標(biāo)之間的關(guān)系為：

矩陣表示為：

顯然UT=U-1，且U為正交矩陣。

圖2 主成分的幾何意義示意

從圖2中可看出，橢圓中的點(diǎn)在F1軸方向上波動(dòng)較大，在F2軸方向上的波動(dòng)較小。若橢圓的形狀是相對扁平的（短軸非常?。?，則可以忽略F2軸方向上的波動(dòng)，此時(shí)二維問題便可降為一維問題。一般情況下，p個(gè)變量組成p維空間，n個(gè)樣本是p維空間的n個(gè)點(diǎn)，對p元正態(tài)分布變量來說，尋找主成分的問題就是尋找p維空間中橢球體的主軸問題。

3.2 主成分分析的步驟

a.首先需要對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，主要目的是實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的無量綱化及同趨勢化。數(shù)據(jù)無量綱化指的是將不同量綱的原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)變?yōu)闊o量綱的新指標(biāo)數(shù)據(jù)，使其具有可比性；數(shù)據(jù)同趨化是指將不同性質(zhì)的指標(biāo)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為具有同一性質(zhì)的新指標(biāo)數(shù)據(jù)，使得所有指標(biāo)的增量方向?qū)y評方案的作用趨勢相同。數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的方法主要有“按小數(shù)定標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化”“Z-score 標(biāo)準(zhǔn)化”和“最大值-最小值標(biāo)準(zhǔn)化”等[15]。原始指標(biāo)數(shù)據(jù)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后，轉(zhuǎn)換為無量綱且各指標(biāo)值均處于同一數(shù)量級的新指標(biāo)數(shù)據(jù)。

b.計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，并計(jì)算出該矩陣的特征值及特征向量。

c.確定主成分?jǐn)?shù)量，將求出的特征值按從大到小的順序排列，若需保留的主成分能反映原始數(shù)據(jù)95%的信息，則根據(jù)≥95%可確定前k個(gè)主成分，其中λn為特征向量。

d.根據(jù)確定的k個(gè)特征值選出與它們相對應(yīng)的特征向量，將標(biāo)準(zhǔn)化后的原始數(shù)據(jù)與此特征向量相乘，即可得到前k個(gè)主成分。

4 多元響應(yīng)分析方法

為解決動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真模型驗(yàn)證中的相關(guān)性問題，基于主成分分析法和誤差評分法提出了一種多元響應(yīng)分析方法（Multivariate Responses Analysis，MRA），具體流程如圖3所示。

圖3 MRA法流程

將降維后的仿真數(shù)據(jù)和試驗(yàn)數(shù)據(jù)在同一維度空間中進(jìn)行比較，最后對試驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)的主成分進(jìn)行誤差評分，由此得到MRA的最終評分公式為：

式中，EM為總誤差評分；λj為各主成分權(quán)重因子；Ee為各主成分的誤差評分。

5 實(shí)例驗(yàn)證

選用文獻(xiàn)[16]中駕駛員側(cè)乘員約束系統(tǒng)仿真模型對MRA方法進(jìn)行驗(yàn)證。該模型用于模擬試驗(yàn)車輛100%重疊正面撞擊固定剛性壁障，碰撞速度為56 km/h，該試驗(yàn)共有11個(gè)響應(yīng)量[17]，響應(yīng)間相關(guān)性較大。設(shè)相位閾值為40，幅頻閾值為0.2，圖4所示為利用主成分分析法提取的試驗(yàn)和仿真數(shù)據(jù)的前4維主成分。第一、第二、第三和第四主成分分別占原始數(shù)據(jù)信息的65.4%、20.7%、6.7%和3.2%。

圖4 試驗(yàn)和仿真數(shù)據(jù)前4個(gè)主成分對比

使用試驗(yàn)數(shù)據(jù)各主成分的信息比例加權(quán)得到仿真模型的MRA 評分，結(jié)果如表1 所示。結(jié)合圖4 可知，第一主成分的仿真曲線與試驗(yàn)曲線擬合度最高，第四主成分兩條曲線的擬合度最低。本文在進(jìn)行相位誤差測量和幅頻誤差測量時(shí)，第一主成分的相位和幅頻誤差最小，第四主成分的相位和幅頻誤差最大，這說明本文得到的結(jié)果與圖4的結(jié)果具有一致性，也說明本文提出的方法具有可行性。

原始響應(yīng)數(shù)據(jù)誤差評分結(jié)果的均值為62.25%，兩者存在較大差異，這是因?yàn)榉日`差和頻率誤差之間存在強(qiáng)烈的耦合關(guān)系，文獻(xiàn)[17]對幅度誤差和頻率誤差分別進(jìn)行測量，這種耦合關(guān)系勢必對結(jié)果造成影響，在進(jìn)行幅度誤差測量時(shí)，雖然文獻(xiàn)[17]對相位誤差和頻率誤差進(jìn)行了誤差補(bǔ)償，但是依然存在著局部誤差和本地時(shí)間誤差。本文將幅度誤差和頻率誤差統(tǒng)一為幅頻誤差，由此解決了動(dòng)態(tài)輸出響應(yīng)相關(guān)性問題，這也是本文得到的結(jié)果與原始文獻(xiàn)的結(jié)果具有較大差異的原因，也充分說明解決相關(guān)性問題是實(shí)現(xiàn)仿真模型有效驗(yàn)證的重要保證。

6 結(jié)束語

為了全面分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)輸出響應(yīng)間曲線特征差異，同時(shí)解決輸出響應(yīng)間相關(guān)性問題，本文基于誤差評分法和主成分分析法提出了一種多元響應(yīng)分析方法，通過降維的方式對11 個(gè)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了主成分提取，降維后的數(shù)據(jù)在保留了原始數(shù)據(jù)足夠信息的前提下，大幅簡化了計(jì)算強(qiáng)度和難度，同時(shí)解決了動(dòng)態(tài)輸出響應(yīng)相關(guān)性問題，并對各響應(yīng)進(jìn)行誤差評分。通過誤差評分法對輸出響應(yīng)間曲線特征差異進(jìn)行了全面度量，并通過具體案例驗(yàn)證了該方法的有效性。結(jié)果表明，該方法能夠直接對多元?jiǎng)討B(tài)響應(yīng)間的一致性進(jìn)行評分，能夠全面分析輸出響應(yīng)間的曲線特征差異并消除輸出響應(yīng)間相關(guān)性對驗(yàn)證結(jié)果的影響。MRA方法受人為影響因素較少，因此，其評分結(jié)果更加客觀，適用范圍也更加廣泛。