鄭鑫 趙又群

（南京航空航天大學(xué)，南京 210016）

主題詞：路徑跟蹤穩(wěn)定性LQR自適應(yīng)控制

1 前言

路徑跟蹤作為智能車運(yùn)動控制的核心，已成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)，其最常用的控制手段是模型預(yù)測控制（Model Predictive Control，MPC）、最優(yōu)控制和魯棒控制。Amir[1]等人針對MPC計算量大的問題，提出了一種利用機(jī)器學(xué)習(xí)選擇最佳模型的運(yùn)行時切換算法，在保證精度的情況下，有效提高了效率。Wang Zejiang[2]等人提出了一種基于查表的在線參數(shù)選擇方法來提高M(jìn)PC的效率。Guo Hongyan[3]等人采用微分進(jìn)化算法對MPC 進(jìn)行了優(yōu)化，提高了計算性能和控制性能。Hamid[4]等人為提高控制器魯棒性，設(shè)計了非線性MPC 控制器。Lima[5]等人在MPC 目標(biāo)函數(shù)中綜合考慮了平順性約束。杭鵬[6]等人在分布式驅(qū)動汽車上驗(yàn)證了MPC 路徑跟蹤控制器的可行性。郭應(yīng)時[7]等人考慮乘坐舒適性，分別對比了基于預(yù)瞄和最優(yōu)控制的控制器跟蹤效果。黃海洋[8]等人提出了一種基于多點(diǎn)預(yù)瞄最優(yōu)控制的路徑跟蹤控制方法，保證了跟蹤精度和算法實(shí)時性。Zhang Xizheng[9]等人提出了一種最優(yōu)預(yù)見線性二次調(diào)節(jié)器，實(shí)現(xiàn)了精確的路徑跟蹤和最優(yōu)的轉(zhuǎn)矩分配。Alipour[10]等人基于輪式移動機(jī)器人路徑跟蹤提出了一種基于滑模魯棒方法的控制器，提高了系統(tǒng)抗干擾性。Zhao Zhiguo[11]等人提出的緊急轉(zhuǎn)向避撞（Emergency Steering Evasion，ESE）輔助控制器可優(yōu)化預(yù)瞄距離，提高了路徑跟蹤精度和車輛穩(wěn)定性。Barbosa[12]等人提出了一種利用魯棒遞推調(diào)節(jié)器對參數(shù)不確定車輛進(jìn)行路徑跟蹤和橫向控制的方法。

以上路徑跟蹤研究大多采用MPC，該算法的高計算量使得控制器一般無法滿足汽車高速行駛時的實(shí)時性，其他算法，如滑?？刂浦械念澱?，對執(zhí)行機(jī)構(gòu)的可靠性也有很大影響。本文基于李雅普諾夫（Lyapunov）穩(wěn)定性理論設(shè)計模型參考自適應(yīng)控制器，結(jié)合最優(yōu)控制思想，引入系統(tǒng)反饋補(bǔ)償矩陣，化為線性二次最優(yōu)問題，最后利用CarSim/Simulink聯(lián)合仿真平臺，將設(shè)計的控制器與MPC在速度和路面附著系數(shù)均不同的仿真工況下進(jìn)行對比。

2 車輛動力學(xué)建模

本文的研究目標(biāo)是使車輛快速而穩(wěn)定地跟蹤目標(biāo)路徑，為了提高控制器的可靠性，降低控制算法的計算量，盡可能地簡化動力學(xué)模型，本文采用線性二自由度模型作為車輛動力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 車輛動力學(xué)模型

由圖1可得汽車二自由度微分方程為：

式中，Ccf、Ccr分別為前、后輪的側(cè)偏剛度；lf、lr分別為質(zhì)心到前、后軸的距離；φ、β分別為汽車橫擺角和質(zhì)心側(cè)偏角；ω為質(zhì)心橫擺角速度；u為縱向速度；v1為橫向速度；δ為前輪轉(zhuǎn)角；m為整車質(zhì)量；Iz為質(zhì)心繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量。

3 路徑跟蹤控制器設(shè)計

3.1 基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論的模型參考自適應(yīng)控制器設(shè)計

3.1.1 控制系統(tǒng)

本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)設(shè)計了路徑跟蹤控制器，如圖2所示，系統(tǒng)輸入為前輪轉(zhuǎn)角δ，uw為汽車模型的輸入，系統(tǒng)內(nèi)環(huán)由可調(diào)參數(shù)前饋控制器、反饋控制器和參考模型組成，系統(tǒng)的外環(huán)由自適應(yīng)機(jī)構(gòu)組成，自適應(yīng)機(jī)構(gòu)可以自動調(diào)整內(nèi)環(huán)可調(diào)參數(shù)的取值，使被控對象的狀態(tài)或輸出盡可能地跟蹤理想值。

根據(jù)本文選取的汽車動力學(xué)模型，將式（1）寫成矩陣形式：

圖2 基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)

在設(shè)計路徑跟蹤控制器時，參考的輸出值分別為理想橫向位移yref、理想橫向速度、理想橫擺角φref和理想橫擺角速度，將式（2）代入如下變換：

式中，e1為車輛實(shí)際路徑與理想路徑之間的橫向誤差；ay為實(shí)際橫向加速度；ayref為理想橫向加速度；e2為實(shí)際橫擺角φ與理想橫擺角φref之間的誤差；y為橫向位移。

利用誤差變量e1和e2可以寫出新的誤差狀態(tài)方程：

由圖2可知，被控對象的輸入由反饋控制器和前饋控制器組成：

式中Ku為前饋矩陣；Kp為反饋矩陣。

3.1.2 基于線性二次型最優(yōu)控制的穩(wěn)定補(bǔ)償矩陣求解

本文根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論設(shè)計控制器，根據(jù)李雅普諾夫第二法，設(shè)計能量方程為：

式中，V為能量函數(shù)；P為正定矩陣。

設(shè)計過程中需要滿足：

其中Q也是正定矩陣，由此設(shè)計的控制器才能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

而矩陣A的第1 列為0 向量，代入計算發(fā)現(xiàn)無法滿足上述要求，故本文將反饋控制器Kp寫為Kp1和Kp2，其中Kp1作為狀態(tài)反饋補(bǔ)償矩陣，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，Kp2用作反饋控制器，則將式（6）改寫為：

由此，原系統(tǒng)補(bǔ)償后，新的李雅普諾夫方程有解：

因此，本控制器中P和Kp1的設(shè)計也成為關(guān)鍵。則Kp1和P的設(shè)計可以由求解線性二次型最優(yōu)控制（Linear Quadratic Regulator，LQR）問題得出。由于系統(tǒng)中A、B1可控，則Riccati方程必定有解：

由式（11）可設(shè)計出P和Kp1。

3.1.3 路徑跟蹤自適應(yīng)控制器設(shè)計

根據(jù)李雅普諾夫第二法，由式（11）求解得到的正定矩陣P構(gòu)造包含Kp2和Ku的正定二次型能量函數(shù)V：

式中，r1、r2為權(quán)重系數(shù)。

將式（12）對時間求導(dǎo)，得：

將式（9）代入式（13）可得：

又因?yàn)椋?/p>

則原式（14）轉(zhuǎn)化為：

由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論得到系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：

由式（10）可知，式（18）一定成立，則Kp2與Ku為：

式中，Kp2（0）=0、Ku（0）=0分別為Kp2、Ku的初值。

3.2 模型預(yù)測控制器

3.2.1 預(yù)測方程

在設(shè)計MPC控制器時，需要對汽車縱向運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，在線性二自由度模型基礎(chǔ)上考慮縱向運(yùn)動[13]，得到沿x軸、y軸和繞z軸的受力平衡微分方程：

式中，（x，y）為車輛坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；（X，Y）為地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；Flf=Clfsf、Flr=Clrsr分別為前、后輪縱向力[14]；sf、sr分別為前、后輪滑移率。

MPC控制器具體見文獻(xiàn)[14]，本文不再贅述。

3.2.2 約束條件設(shè)置

汽車動力學(xué)模型是在輪胎側(cè)偏角與側(cè)偏力線性的基礎(chǔ)上建立的，對其進(jìn)行小角度約束：-2.5°＜αf＜2.5°。

由于汽車的動力性能受輪胎與路面附著條件的限制，假設(shè)汽車縱向速度不變[15]，考慮乘坐舒適性和小角度模型，橫向加速度約束為：-0.4g＜ay＜0.4g。

質(zhì)心側(cè)偏角對車輛穩(wěn)定性也有較大影響，研究表明[16]，不同路面下汽車穩(wěn)定行駛時的質(zhì)心側(cè)偏角范圍為：-12°＜β＜12°（良好路面）；-2°＜β＜2°（濕滑路面）。

4 CarSim/Simlink聯(lián)合仿真與結(jié)果分析

選取雙移線為目標(biāo)路徑，仿真使用的整車參數(shù)如表1所示，將本文設(shè)計的基于Lyapunov穩(wěn)定性的模型參考自適應(yīng)控制器與MPC 控制器控制效果進(jìn)行對比，仿真過程中分別選取干燥路面（附著系數(shù)μ=0.85）、濕滑路面（μ=0.50），起始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以36 km/h、54 km/h、65 km/h的行駛速度進(jìn)行聯(lián)合仿真。本文設(shè)計的自適應(yīng)控制器參數(shù)如表2所示。

表1 車輛主要參數(shù)

表2 自適應(yīng)控制器參數(shù)

為驗(yàn)證本文設(shè)計的控制器的可靠性，基于CarSim/Simlink 聯(lián)合仿真平臺對控制器進(jìn)行對比試驗(yàn)，為驗(yàn)證魯棒性，仿真過程中保持兩控制器的參數(shù)不變，仿真結(jié)果如圖3～圖5、表3、表4所示。

圖3 干燥路面下不同速度雙移線工況仿真結(jié)果

圖4 濕滑路面下不同速度雙移線工況仿真結(jié)果

圖5 濕滑路面自適應(yīng)控制器控制下汽車橫向加速度

表3 傳統(tǒng)MPC控制器實(shí)時運(yùn)行狀態(tài)

表4 基于Lyapunov的自適應(yīng)控制器實(shí)時運(yùn)行狀態(tài)

綜合圖3、圖4可以看出，在保持兩控制器參數(shù)不變的情況下，基于Lyapunov 自適應(yīng)控制器的跟蹤效果略好于MPC 控制器。由圖3b和圖3c以及圖4a和圖4b可以看出，隨著車速的提高，基于Lyapunov 自適應(yīng)控制器的跟蹤精度反而略有提高，這是自適應(yīng)機(jī)構(gòu)中可變系數(shù)的前饋控制器和反饋控制器的調(diào)節(jié)作用造成的。由圖4c可知，在濕滑路面上車速為65 km/h時，基于Lyapunov的自適應(yīng)控制器使汽車行駛過程產(chǎn)生一定誤差，但最終回到目標(biāo)軌跡，這是由于Lyapunov 穩(wěn)定性第二法在時間趨于無窮時，狀態(tài)誤差趨于0。

由圖5可知，雖然在65 km/h的工況下自適應(yīng)控制器橫向加速度出現(xiàn)了抖動，但波動幅度不大，表明汽車處于良好的穩(wěn)態(tài)，抖動的原因可能是輪胎工作于非線性區(qū)。

本文聯(lián)合仿真平臺選用酷睿8 代處理器，主頻為3.60 GHz，由表3和表4可以看出，MPC控制器程序運(yùn)行時間較長，超出了設(shè)置的仿真時間，并具有較高的CPU占用率，因此，基于Lyapunov 的自適應(yīng)控制器相對于傳統(tǒng)MPC控制器具有較好的實(shí)時性。

綜上可得，本文設(shè)計的基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論的自適應(yīng)路徑跟蹤控制器具有良好的路徑跟蹤效果，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，且在外部環(huán)境或自身參數(shù)發(fā)生變化時有一定的自調(diào)節(jié)作用，相比于MPC控制器，本算法具有計算量較少、控制精度高且參數(shù)調(diào)節(jié)方便的優(yōu)點(diǎn)。

5 結(jié)束語

本文針對智能車路徑跟蹤問題，設(shè)計了基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論的模型參考自適應(yīng)路徑跟蹤控制器，搭建汽車動力學(xué)模型，通過CarSim/Simulink 聯(lián)合仿真平臺將該控制器與MPC控制器進(jìn)行對比，結(jié)果表明，本控制算法具有良好的路徑跟蹤能力和魯棒性，當(dāng)外部環(huán)境和自身參數(shù)變化時，具有一定自調(diào)節(jié)能力。對汽車非線性模型的研究，高速行駛工況下的系統(tǒng)穩(wěn)定性和自適應(yīng)能力以及控制器的魯棒性是本文后續(xù)的研究方向。