侯曉婷 李春蘭

題記

數(shù)學家劉薰宇畢生致力于我國的教育事業(yè)，于1934年出版的《數(shù)學趣味》可謂是數(shù)學科普經(jīng)典著作之一。該著作由11篇文章集結(jié)而成，其顯著的特點有：第一，題材來自生活或歷史經(jīng)典問題，破除人們對數(shù)學的錯誤認識;第二，問題的講解善于用通俗的語言及“搭橋鋪路”的方法，引領讀者進入數(shù)學王國;第三，在無形中流露出思考問題的方法，潛移默化地引導讀者進行思考;第四，數(shù)學思想方法的滲透與德育思想并駕齊驅(qū)，體現(xiàn)全人教育。

近年來，數(shù)學科普讀物受到了人們廣泛的關注，人們希望讀到高水平、通俗易懂的科普作品，這就要求科普作家要有深厚的科學素養(yǎng)和化繁為簡、深入淺出的表達功底。我國現(xiàn)代數(shù)學家、數(shù)學教育家和出版家劉薰宇的科普論著可謂是典型代表。劉薰宇的《數(shù)學趣味》《馬先生談算學》《數(shù)學的園地》《因數(shù)與因式》等科普著作不僅對中國科學院院士楊振寧，數(shù)學家谷超豪、徐利治、齊民友等有深刻的影響，就連著名畫家豐子愷這樣沒怎么接觸過數(shù)學的文人都對劉薰宇的文章贊善有加。本文以《數(shù)學趣味》為例，在概述其主要內(nèi)容的基礎上，闡述其特點，研究其在處理數(shù)學材料及思考數(shù)學問題方面獨到的見解，以期對我國當代中學生、數(shù)學教育工作者、數(shù)學科普讀物的撰寫者有所助益。

一、劉薰字簡介

劉薰宇，貴州貴陽人，又名心如，中國民主同盟成員，中國共產(chǎn)黨黨員。1919年畢業(yè)于北京高等師范學校數(shù)理系，1928-1930年留學法國巴黎大學，受過法國數(shù)學教育的熏陶。曾任教（職）于河南省立第一師范學校、湖南常德第二師范學校、浙江上虞春暉中學、上海大學附屬中學、上海立達學園、暨南大學、大夏大學、同濟大學、國立西南聯(lián)合大學等?？谷諔?zhàn)爭時期任貴陽高中校長。貴州解放后，貴陽高中與貴陽中學、中山中學、貴陽師范學院附屬中學等合并為貴陽第一中學，劉薰宇為第一任校長。其還擔任過開明書店編輯，負責數(shù)理教材的編輯工作。與他人一起創(chuàng)辦了《中學生》《新少年》等青少年期刊。1950年調(diào)入人民教育出版社擔任副總編輯，負責全國中學數(shù)理科統(tǒng)編教材工作，審定了當時我國全部中小學使用的數(shù)學教材，并親自參加編寫。

劉薰宇畢生論著頗豐，以小品文、科普著作、數(shù)學教科書著稱。發(fā)表在《春暉》《一般》《教育雜志》和《中學生》等雜志上的文章有100多篇。他的論著用通俗的語言揭示深刻的道理，深得讀者喜愛。其科普著作和數(shù)學教科書主要在開明書店和人民教育出版社出版。

劉薰宇為我國數(shù)學教科書的編寫傾注了大量心血。民國時期，他與章克標、仲光然、周為群等合編的初級中學用的《開明算學教本》（7冊）成為當時全國最完善的數(shù)學教科書，持續(xù)暢銷，與《開明活頁文選》《開明英文讀本》并稱為“開明三大教本”，成了開明書店后來的“吃飯書”之一。劉薰宇在開明書店出版的數(shù)學教科書，也是中華人民共和國成立后我國中小學數(shù)學教科書內(nèi)容的主要來源。中華人民共和國成立之初，教育部規(guī)定全國使用統(tǒng)一教材，中學數(shù)學教科書由劉薰宇等編寫，劉薰宇編寫（校訂）了全國通用的第一套和第二套中學數(shù)學教科書，在1951-1953年編寫出版了算術、代數(shù)、平面幾何、立體幾何和解析幾何等方面的教材。在短短的三年時間內(nèi)，編寫出版了近20種中學數(shù)學教科書供全國中小學使用。

劉薰宇的數(shù)學科普著作更是令人喜聞樂見。他身為人師，在中學執(zhí)教期間開始進行數(shù)學科普的研究。陸續(xù)出版了《數(shù)學趣味》《馬先生談算學》《數(shù)學的園地》《因數(shù)與因式》《實用微積分》等數(shù)學科普著作，這些著作不僅影響了那個時代的人，對當今讀者來說也是不容錯過的數(shù)學科普經(jīng)典?？上驳氖?，2019年10月，團結(jié)出版社將《數(shù)學趣味》《馬先生談算學》《數(shù)學的園地》改編出版，命名為“給孩子的數(shù)學三書一一原來數(shù)學可以這樣學”，使當今的讀者閱讀體味到“數(shù)學可以這樣有意思地去學”，以糾讀者固有的“數(shù)學是一門枯燥乏味的學科”的認識。

劉薰宇為我國文化教育事業(yè)鞠躬盡瘁，于1967年辭世。在臨終前也沒忘記自己是一位教科書的編著者。

劉薰宇先生逝世的前一兩年，正值“文化大革命”初期，他一邊在挨批判，一邊卻在病榻上撰寫了他最后一本數(shù)論著作《因式分解》。

劉薰宇是一位有強烈愛國情感的人。一次醉倒被抬回家，事后經(jīng)了解緣由，才知當日在龍崗飲酒，“劉薰宇大罵蔣介石不打日本人，卻大殺新四軍（即皖南事變），狂憤極了，痛飲發(fā)患”。

二、《數(shù)學趣味》出版背景

（一）內(nèi)容來源

《數(shù)學趣味》初版于1934年9月出版，再版多次，該書是由11篇已發(fā)表在《中學生》《一般》《春暉》三種雜志中的論文集結(jié)而成的單行本。表1中1、4、5、6、11五篇文章也被收錄在李斌主編的《三下五除二》（天地出版社，2012年6月）中。

（二）出版原因

《數(shù)學趣味》所選的文章主要集中在《中學生》“數(shù)學講話”欄目中，但這個欄目并非每期定期出現(xiàn)，這也是之后會集結(jié)出單行本《數(shù)學趣味》的客觀原因之一。在《中學生》雜志及劉薰宇編寫的《開明算術講義》（1948年）的書后都印有“開明青年叢書”廣告，其中包括《數(shù)學趣味》的簡介：“《數(shù)學趣味》是劉先生數(shù)學講話的總結(jié)集?！稊?shù)學趣味》中所收的是從日常生活中隨處拾來的數(shù)學文章?！绷硗猓瑢τ诔鰡涡斜?，劉薰宇在該書的“致讀者”中提道：“從發(fā)表過四五篇后，書店和我便常常接到一些愛讀青年的信，一是要我多寫一些，一是要我將他們集結(jié)起來出單行本?！?/p>

《數(shù)學趣味》雖然是由已發(fā)表的文章集結(jié)而成的單行本，且每篇文章之間沒有什么銜接關系，但這些文章有兩個共同的特征：第一，打破了人們對數(shù)學的誤解，即認為數(shù)學是枯燥、繁難、令人頭疼、不實用的科學，從而對數(shù)學望而卻步;第二，提供了處理材料和思考問題的方法。數(shù)學學習并不是死記書本上的法則、公式、定理然后做練習題等。劉薰宇強調(diào)數(shù)學學習應該結(jié)合生活中的實際問題，生活中鮮活的實際問題要比書本中豐富，掌握學習方法要比掌握知識更重要。

三、《數(shù)學趣味》內(nèi)容簡介

依據(jù)劉薰宇如何引出數(shù)學問題或關于數(shù)學的認識，可將該書的文章分為四類：歷史名題（2篇）、趣味故事（3篇）、數(shù)學游戲（4篇）、數(shù)學的認識（2篇）。下面依此分類給出簡單的介紹，從中感受數(shù)學的趣味性。

（一）歷史名題為引

《從數(shù)學問題說到我們的思想》和《韓信點兵》分別以《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”和“韓信點兵”問題為引，帶領讀者走進數(shù)學世界。

1.《從數(shù)學問題說到我們的思想》

該文通過對報刊中刊登的對“雞兔同籠”問題的一個巧妙解法與教科書中的解法比較，揭示數(shù)學抽象（一般性）在數(shù)學中的重要性。

報刊中給出的“雞兔同籠”問題的巧妙解法為：

一共十二個頭，三十只腳，……究競有幾個雞，幾個兔。那書上的算法很簡便，將一共的腳的數(shù)目三十折半，得十五，從這十五減去一共的頭的數(shù)目十二，剩的是三，這就是那籠子里面的兔的個數(shù);……剩下的九便是要求的雞的數(shù)目。

教科書中解法為：

頭數(shù)一十二用二去乘，得二十四。從三十頭減去他，得六。因為兔是四只腳，雞是兩只，所以，每只兔比每只雞多出來的腳的數(shù)目是四減去二，也就是二。用這二去除上面所得的六，恰好商三，這就是兔的只數(shù)。有了兔的只數(shù)，要求雞的，用總頭數(shù)減去兔子的只數(shù)就能得到。

報刊中的解法并未編排在教科書中，劉薰宇在此給出了原因，并舉了“百僧吃白饅頭”和“方桌與桌角”等問題，這些問題只能用教科書中的解法來解答，從而讓讀者感知教科書中的較繁復、較一般性解法的重要性。

為了闡述數(shù)學抽象（一般性）的重要性，他又列舉了關于勾股定理的不同描述所帶來的不同發(fā)展，即中國古代《周髀算經(jīng)》中的“勾三股四弦五”和古希臘的“直角三角形的斜邊平方等于它兩邊的平方的和”。兩種描述看似本質(zhì)相同，但所含的一般性卻不同?！肮慈伤南椅濉毙问降亩ɡ砗茈y確定鈍角三角形或銳角三角形的三邊存在怎樣的三個簡單數(shù)字關系。而“直角三角形的斜邊平方等于它兩邊的平方的和”，在幾何和數(shù)論方面都有發(fā)展：幾何中推廣到“鈍角三角形”“銳角三角形”三邊關系的定理;在數(shù)論中發(fā)展到“費馬大定理”。

根據(jù)劉薰宇用大量事實的闡述，讀者可以感知到“一般性方法”的獲得或?qū)@樣方法追求的可貴，它適用的是一類問題，而不是一個問題。他強調(diào)人們要耐心地去搜尋材料，要靜下心去發(fā)現(xiàn)它們普遍的法則，依據(jù)的事實越多，去掉的特殊性就越多，共通性就越普遍，即可抽象出一般性法則。追求一般性法則是大勢所趨，越是應用廣泛的法則，越是受人崇拜。

文章中還表述了他自己在初學“雞兔同籠”時對數(shù)學抽象的困惑：

總是不明白為什么可以用腳的個數(shù)除以腳的個數(shù)，其實不過是紙上談兵，并不真的將一雙腳去怎樣弄別的雙腳，所以變成整個的兔或雞都沒什么關系;正和上面所說將兔子或雞劈成兩半一樣，并非真用刀去劈，不過心里想想而已，所以劈了過后還活得轉(zhuǎn)來，一點不傷于畜道。

其實，劉薰宇關于劈“半個雞”的思路就是從“數(shù)學化”的角度看問題，將“雞兔同籠”不只是看作一個問題，而是一類問題;不只是一個具體問題，而是一個抽象的數(shù)學模型。所以，“雞兔同籠”問題也不限于指真實的雞和兔同籠，自然就不會受限于是不是“半個”了。這種觀點應該也為不少讀者揭開了心中的迷霧。

2.《韓信點兵》

“韓信點兵”其實是一種算法，最早見于《孫子算經(jīng)》，中國古代可謂“婦孺皆知”。文章通過簡要介紹“韓信點兵”問題的發(fā)展史及解法，表達了兩種觀點：第一，要多角度思考數(shù)學問題，如中外對于“韓信點兵”算法原理不同的解答;第二，“求一術通解”在此類問題中的應用及在中國數(shù)學史上的地位，積極發(fā)揚傳統(tǒng)算法。

劉薰宇在文中引出：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”原書跟著題目就有下面一段“答日二十三?！边@個問題看似難算，但劉薰宇告訴讀者，我國古時候流傳著一種算法，名字很多，宋代周密稱其為“鬼谷算”“隔墻算”，楊輝稱其為“剪管術”，而“韓信點兵”這個名字流傳最廣。然后，他問讀者這個算法采用了何種原理，來引發(fā)讀者思考。

劉薰宇通過運用倍數(shù)定理、清代黃中憲“求一術通解”的知識將這類問題的解答總結(jié)為四步：求衍術、求乘率、求用數(shù)、求本數(shù)。并對楊輝“剪管術”的同類題“七數(shù)剩一，八數(shù)剩二，九數(shù)剩三，問本數(shù)幾何？”進行了求解。同時，他也用通俗的語言解說了該算法原理中每一步的正確性，例如：“我們先記起算術里面關于倍數(shù)的兩個定理：①某數(shù)的倍數(shù)還是某數(shù)的倍數(shù)——這正如我的哥哥的哥哥還是我的哥哥一般。②某數(shù)的若干倍數(shù)的和，還是某數(shù)的倍數(shù)——這正如我的幾個哥哥坐在一淘，他們?nèi)匀皇俏业母绺缫话??！?/p>

劉薰宇將抽象的問題與容易理解的生活常識結(jié)合起來，讀者不僅對這個問題有了清晰的認識，學到了多角度思考數(shù)學問題方法，而且從中感受到了數(shù)學問題是容易理解的。他指出韓信的點兵其實并不限于三三、五五、七七的數(shù)。另外，國外對該問題也有不同的解法，即“聯(lián)立方程式”。這種解法與中國傳統(tǒng)的方法相比并不能說哪種方法更好，因為數(shù)學問題的解答有時候也要關注他人的解法。并強調(diào)“求一術通解”這樣的方法在中國數(shù)學史上具有重要意義，我們要積極發(fā)揚。

（二）趣味故事為引

《王老頭子的湯團》《數(shù)的啟示》和《假使我們有十二個手指》均是以趣味故事為引，讀者可以在故事情境中不知不覺走進數(shù)學世界。

1.《王老頭子的湯團》

該文是由紀念一位賣湯團的老人引發(fā)的對“積彈法”公式的證明。賣湯團的老人每天賣一盤方方正正、尖峭峭的湯團，正是數(shù)學中金字塔的形狀。故將金字塔拓展為四類堆積方法，如圖3至圖6所示。圖3各層都是正三角形，圖4各層都是正方形，圖5各層都是矩形，且這三類頂都是“尖”的，圖6各層都為矩形的頂是“平”的。用數(shù)學術語表達即為，第一個是正三角錐;第二個是正方錐;第三個側(cè)面是等腰三角形，正面是等腰梯形;第四個側(cè)面和正面都是等腰梯形。這類題目國內(nèi)外都有解法，國外叫積彈、擬形數(shù)或擬形級數(shù)，國內(nèi)叫垛積。

劉薰宇通過簡要介紹運用“積彈法”公式求解金字塔問題即湯團的個數(shù)后，側(cè)重講解如何用歸納法證明四種堆積情況所用的不同的“積彈法”公式，以及怎樣證明歸納法中第一步所要假定的公式。文中對歸納法第一步所要假定的公式的證明中用到了法國大數(shù)家巴士卡爾的“差級數(shù)”。

劉薰宇指出，根據(jù)已有的積彈法計算公式，計算總數(shù)確實很簡單，但若不知道這些公式怎么辦，他給出了求這些公式的方法——數(shù)學歸納法。該方法并非在文章開始進行論述，而是順著讀者的思路，拋出疑問，引領讀者一步步求解，最后得到答案，令人印象深刻。

2.《數(shù)的啟示》

該文是劉薰宇避開城市的喧囂回到鄉(xiāng)下老家居住時，回憶起童年時期與妹妹倚靠著母親數(shù)數(shù)的故事，有感而發(fā)。由數(shù)的本身、數(shù)的變化的多樣性引發(fā)關于人生的哲思。

劉薰宇憶起童年時從未能數(shù)到100的恐懼到對1000是10個100的認識的興奮;從祖父教他“三字經(jīng)”“一而十，十而百，百而千，千而萬……”使其數(shù)不清數(shù)而頭昏，到上了小學學習了加減乘除后將人不能把數(shù)完全數(shù)清的恐懼深埋掉。

通過對孩童時期的回憶，他意識到人頭腦中的數(shù)不過在10位左右，超過這個數(shù)，在人的感知里是和無限大沒什么差別的。有些數(shù)我們可以用各種方法研究它，但它的面目我們卻看不清，這令人感到特別奇特。例如，1906年，M.莫爾黑德（M.Morehead）發(fā)現(xiàn)2²⁷⁸+1不是質(zhì)數(shù)，可以被5×2⁷⁵+1整除。2²⁷⁸+1究竟是一個什么樣的數(shù)？原則上，利用乘法運算法肯定可以寫出這個具體的數(shù)。但實際上，人們是做不到的，因為這個數(shù)字的位數(shù)該有0.3×9444×10¹⁸位，要比2700×10¹⁸的位數(shù)還要多。假定對2700×10¹⁸個寬1毫米的數(shù)排列，這個數(shù)排起來就有2700×10¹²千米長，繞地球赤道會有60×10⁹圈;要把這個真實的數(shù)字寫出來，假定一秒鐘寫一個數(shù)字，每天寫10個小時，一年360天不間斷地寫，需要2×10¹⁴年，將此數(shù)分段由全世界15×10⁹個人同時來寫，也需要13萬年才能寫完。如此大的數(shù)，多么令人驚異??！

除了數(shù)本身令人驚異，劉薰宇指出數(shù)的變化同樣令人吃驚。這類的例子很多，13萬年也寫不完的。他舉了一個自己上學時同學們因吃飯選座位引發(fā)爭執(zhí)，當時由這個爭執(zhí)提出一個問題供大家討論：“八個人圍了一張八仙桌，調(diào)換著次序坐，究竟有多少法呢？”大家各抒己見，但沒有敢說到100次以上的?？勺詈蠼?jīng)過計算發(fā)現(xiàn)竟然是40320種。8人在該校4年，假定一年365天（考慮四年一閏）每天8人都在一起圍著八仙桌吃三餐，也只坐了其中的4383種，不及40320的1/9。

劉薰宇對此嘆言，相對于數(shù)本身及數(shù)的變化而言，我們是何等渺小和微弱！人們在爭、在選擇，究竟在爭選什么呢？人們常常把“人是理性動物”掛在嘴邊，這個理性真的是數(shù)學上的理性嗎？8人圍坐八仙桌吃飯的例子已說明此理性非彼理性。劉薰宇感嘆道：“數(shù)是這樣啟示我，要支離破碎地去追逐它，對它是無法理解的，真要理解，另有一條路。在我們的生活上，好像也正有這樣的明朗的星光照耀著！”

3.《假使我們有十二個手指》

該文是以“馬浪蕩改行”的故事為引，引發(fā)關于進制豐富而又奇特的思考。

文中劉薰宇回憶道：上海曾風行過一種書報，這書報上每期刊載一頁“馬浪蕩改行”。馬浪蕩是一個浪蕩子，干過很多行當，但每個行當均以失敗告終。有一次這人當了拍賣行的伙計，他接待了一位每只手都有六根手指頭的買客，伸手表示他為某件東西出十元錢，可馬浪蕩見著十二根手指頭，便以為他說的是十二元，高高興興地賣了，并記下賬來。到收錢的時候，那人只出十元，馬浪蕩的老板照賬硬要十二元，爭執(zhí)得不可開交。最后，馬浪蕩賠了兩元了事，他又一次失敗了。

借此故事，劉薰宇不僅給出了二進制、三進制、十進制、十二進制、二十進制間轉(zhuǎn)化的例子，而且擴展到任一進制間轉(zhuǎn)化的一般性公式。劉薰宇帶著讀者走進了十二進制的數(shù)學世界，首先介紹了十二進制運算法則的不同，包括乘法運算中的“乘法口訣表”的不同，還給出了類似十進制“九九乘法表”的新乘法口訣表，起名為“依依乘法表”，還講解了“四則問題中數(shù)字計算的問題”及“整數(shù)的性質(zhì)中倍數(shù)的性質(zhì)”等問題。

（三）數(shù)學游戲為引

《恨點不到頭》《堆羅漢》《八仙過?！泛汀蹲貦熘i》以游戲為切入點，進而揭示游戲背后使人取勝的數(shù)學原理。讀者從中可以感受數(shù)學的魅力，激發(fā)對數(shù)學的興趣。

1.《恨點不到頭》

該文以“擲狀元紅”游戲為例，并運用類比推理、由特殊到一般及化歸的思想方法，揭秘“擲狀元紅”游戲的奧秘，并警示人們在日常生活中不要被眼前的事實欺騙，而將真實掩蓋。也要注意“觀察和實驗”的重要性，不要只靠現(xiàn)成的理論演繹。

“擲狀元紅”游戲規(guī)則：六顆骰子擲到碗里，只要出現(xiàn)一個紅（指四），就得一個秀才簽，兩個紅可以得一個舉人，以此類推。有幾個特殊的：若出現(xiàn)五顆六和一顆五，這就叫“恨點不到頭”，可得一個狀元簽;若是“六顆骰子均為六”叫“全色”，比“恨點不到頭”贏得多;若出現(xiàn)“五顆紅一顆五”叫“火燒梅花”，可以拿走別人已經(jīng)獲得的狀元簽。所以六比“恨點不到頭”好，紅又比六好。誰都希望紅多，希望全六，但它們很難出現(xiàn)。

至于人們認為這個客觀結(jié)論與主觀經(jīng)驗似乎不大一致，劉薰宇解說道：那是因為我們將注意力集中到紅色，所以就覺得紅色的出現(xiàn)分外困難。倘若耐下心把游戲過程中各個數(shù)出現(xiàn)的數(shù)目記下來，再進行統(tǒng)計，就會發(fā)現(xiàn)，這個經(jīng)驗一定和平常得到的相去懸殊，而和計算的結(jié)果相近。對此，他警示道：我們在生活中不知不覺已養(yǎng)成容易動感情和不能排除偏見的習慣，若將這種習慣帶入到科學的領域是會失敗的。并又以彩票和看神醫(yī)為例，說明偏見和感情好比一副有色眼鏡，使人無法看清楚外面的世界。踏進科學領域的第一步就是觀察和實驗。雖然這并不容易，畢竟觀察和實驗只在很窄的范圍內(nèi)可行，但只要堅持去做，是比原理演繹得到的結(jié)果更有意義的，因為原理很有可能是一副“有色眼鏡”。

2.《八仙過?！?/p>

該文運用類比推理及由特殊到一般的思想方法破解“八仙過海”游戲的奧秘——排列法中的一種形式，并將中國的傳統(tǒng)文化搬進了教科書，打破了當時教科書中全部引用外國教科書內(nèi)容的局面。

“八仙過?！庇螒蚣础獋€人將八枚錢分上下兩排排在桌子上，叫另一個人記準其中一枚后將錢收起，重新排，仍是上下兩排，又叫這個人看定前次記準的那枚錢在哪一排后再將錢收起，再重新排成兩排，這回再叫這個人看，并且說出自己記準的那枚錢在這三次排法中的上下，比如說“上下下”，則會猜出這個人所記準的那枚錢是下一排的第二個。

劉薰宇采用由特殊到一般的方法解說了能猜中的原因，揭示其中所蘊含的數(shù)學原理——順列法（排列），并給出了“八仙過海”科學玩法的5個條件：①八枚錢;②分上下兩排擺;③前后共排三次;④收錢的順序是照直行由上而下，從第一行起;⑤擺錢的順序是照著橫排由左向右從下一排起。①隨②③變，④是可以調(diào)換順序的，也就是我們可以由下向上收，或從末一行起，⑤可以從右向左第一排起，不過這樣一來，形式會有一些變化。

當然，劉薰宇也指出了對于這個游戲并不限于八枚錢、兩排、三列，依據(jù)“八仙過?！庇螒虻脑?，你想分排幾次，用y=a^x（y是錢數(shù)，x是次數(shù)，a是排數(shù)）心上一算就知道了。并通過舉例，由淺入深，詳細講解了順列法的兩個法則。

對此原理，劉薰宇風趣言道：即使是請幾位神仙下凡，而你依照前面所說過的條件④⑤那樣去操作，神仙有再高明的道法也無濟于事，因為孫悟空的筋斗云是逃脫不了如來佛那可伸縮的手心的。

3.《堆羅漢》

該文是以讀者熟悉的“堆羅漢”游戲為引，運用數(shù)形結(jié)合及特殊到一般的思想方法，得出等差數(shù)列前n項及其每項的平方和與立方和的公式：將數(shù)學歸納法與一般歸納法進行了比較，厘清了二者的區(qū)別，指出前者是后者的特例而已。

將“堆羅漢”游戲中的每個人抽象成邊長為1的正方形，從最下面一排往上數(shù)，每排依次減少一個正方形，直到最頂上只有一個正方形。劉薰宇交代道，像這類依序相差同樣的數(shù)的一列數(shù)，數(shù)學中稱為等差數(shù)列。文章以其為模型，先分別求出公式①的前7項和，并輔以圖形驗證，接著分別求出公式②和③的前4項和，進而猜出并證明了這三個數(shù)列的前n項和公式。

劉薰宇也指出數(shù)學上常用的是演繹法，教科書中給出這類級數(shù)公式算術上的證明方法也是演繹法求出來的。他認為，一般情況下，演繹法不如歸納法可靠、穩(wěn)妥，因為演繹法的基礎是建立在一些普遍法則上的，如果這些法則當中有一個或幾個出了問題，那整個問題就全盤動搖了。其實，在人們認識和改造世界的過程中，歸納法和演繹法是兩種基本的邏輯思維方法，二者是辯證統(tǒng)一的：歸納推理要以演繹推理為指導，否則就會失去目標;演繹推理要以歸納的結(jié)論為根據(jù)，否則就會失去前提。我們在學習過程中要正確看待這兩種方法，既不片面夸大，也不刻意否定。

劉薰宇也總結(jié)了自己證明這三個公式的步驟，并將其歸納為四個步驟。另外，他也強調(diào)，我們必須承認“科學只能診斷事實，不能否定事實”，并以中西醫(yī)為例來闡述這一觀點，指出科學精神最根本的是不武斷、不盲從，科學的態(tài)度是要虛心地使用科學的方法。

4.《棕欖謎》

該文以上海棕欖公司廣告中的游戲抽獎廣告為引，將排列組合知識應用到抽獎游戲中，并證實了這樣的抽獎是“騙局”。其中的抽獎游戲規(guī)則為：如圖7中的56張牌是對雀牌牌面的替換，如“棕欖香皂”四字代替“東西南北”;“珂路搿”三字代替“中發(fā)白”;棕欖香皂、系帶牌牙膏及棕欖香珠之三種圓形則代替“筒索萬”。按照雀牌規(guī)則，由該公司總經(jīng)理從圖7所示的56張牌中揀出14張，排定成和牌一副（方式正如填滿圖中的空位處），送至上海銀行封存租定第三四零一號保險柜中，至開獎時請公證人啟視以昭鄭重。參加游戲者亦在56張雀牌中揀出14張排成一副。如與公司總經(jīng)理排定和牌完全相同，則贈送新式無線電收音機一臺。

劉薰宇將此廣告抽象為排列組合問題。因為該問題比較復雜，不僅需要在56張中選出14張，而且所選的牌必須滿足“和牌”的要求，故他先計算從56張中任意選出14張牌所需排列的次數(shù)，再將和牌按照字的不同和花色的不同分類，接著又根據(jù)和牌成立的要求，分成四字組、三字組、二字組和一字組，再將可能出現(xiàn)的情況討論后，得出和牌有176230種可能。由此可見，按照規(guī)定，排出與該公司排定和牌完全相同的希望十分渺茫，所以，此抽獎可謂“騙局”。

文章中實例不勝枚舉，如“從若干件東西中揀取多少件的方法，應當怎樣計算呢？比如你約了九個朋友，一共十個人組成一個數(shù)學研究會，要推兩個人做干事，這有多少種方法呢？”讀者不僅從中學習了“排列組合”的知識，而且可用其解決生活中的諸多問題。

（四）數(shù)學的認識

《數(shù)學是什么》和《數(shù)學所能給與人們的》是關于數(shù)學認識的闡述，希望將數(shù)學變得普及化和哲理化。

1.《數(shù)學是什么》

該文首先闡述了不同人給數(shù)學下的不同定義，探討數(shù)學究竟是什么。例如，羅素認為：“數(shù)學是我們永遠不知道我們在說什么，或我們說的是否是真實的學科?！惫畔ＥD的亞里士多德認為：“數(shù)學是計量的科學?！?/p>

關于數(shù)學的定義有很多，而劉薰宇認為“數(shù)學是使用符號來研究‘關系的科學”，又可以說是“符號的游戲”。因為“整數(shù)到分數(shù)，正數(shù)到負數(shù)，乘方到使用指數(shù)，我們都可以看到符號的創(chuàng)立和許多關系的產(chǎn)生。到一個定點距離相等的一個完全的曲線叫圓，這是一個定義，也只是‘圓這個符號的規(guī)定”等。劉薰宇解釋：符號使用得越多，所得的關系越不容易具體化來供人們使用。隨著數(shù)學的發(fā)展和對數(shù)學的深入學習，人們見到的符號和關系會越多，那些符號與關系有時都很難說得清楚，不失為一種符號的“游戲”。歷史上，不同的數(shù)學家、哲學家都給數(shù)學下過定義，劉薰宇給數(shù)學下的這個定義，是數(shù)學發(fā)展史上諸多數(shù)學定義中的一種。它們都是對數(shù)學本質(zhì)特征的揭示，只是所站角度不同而已。

2.《數(shù)學所能給與人們的》

誰都不能否認數(shù)學所給予人們的“用處”。該文主要是對人們常說的數(shù)學到底有什么用的解答，除闡述數(shù)學在天文學、哲學、建筑和藝術等方面的功績外，劉薰宇重點指出了數(shù)學與人生有直接的關聯(lián)。

對于這個精神世界，劉薰宇給出了形象的闡釋：

活在直線世界的人有前后一條出路，活在平面世界的人則有前后左右兩條路，立體世界的人則有前后、左右、上下三條路。愚蠢的人爭尺寸地盤而患得患失，不知精神的生活可以不限于六合以內(nèi)，不傷一人，不和任何人相角逐，在立體的世界以外，開拓了第四、第……條路來。不占有而享受，精神界的領域很廣！這就是數(shù)學所給與人們的。

四、《數(shù)學趣味》的特點

數(shù)學科普并沒有固定的形式，用文學的形式普及數(shù)學是其形式之一。劉薰宇的科普著作《數(shù)學趣味》的一大特點是以趣味豐富、通俗易懂的語言寫枯燥的算理。具體來說，該書的特點可概述為以下四點：

第一，題材來自生活或歷史經(jīng)典問題，破除了人們對數(shù)學的錯誤認識。

“在嬉皮笑臉中來談點嚴肅的數(shù)學法則”是劉薰宇論著最顯著的特點。人們心中枯燥的數(shù)學在他筆下變得妙趣橫生。這歸功于他能夠站在讀者的角度，用大家熟知的、富有趣味性的生活題材、歷史經(jīng)典問題及日常游戲引發(fā)讀者對數(shù)學問題的思考，在不知不覺中把讀者帶進數(shù)學世界，激起他們的數(shù)學學習興趣。將數(shù)學視為一種符號游戲進行解說，也不乏趣味性。著名作家、畫家豐子愷言道：“我一直沒有嘗過數(shù)學的興味，一直沒有游覽過數(shù)學的世界，到底是損失！最近給我稍稍補償這損失的，便是這冊書中幾篇文章，我與薰宇相識后，他便做這些文章。他每次發(fā)表，我都讀，誘我讀的，是他們的富有趣味的題材。我常不知不覺地被誘進數(shù)學的世界里去?！?/p>

第二，善于用通俗的語言及“搭橋鋪路”方法進行問題的講解，引領讀者進入數(shù)學王國。

劉薰宇以通俗的語言“搭橋鋪路”，由淺入深、由表及里的舉例，激發(fā)讀者的學習興趣。通過思考，體味知識的發(fā)生、發(fā)展過程，真正發(fā)展數(shù)學思維，提高數(shù)學修養(yǎng)。對于難以理解的數(shù)學概念、性質(zhì)、定理等內(nèi)容，他常常用淺顯易懂、生動形象的日常例子進行引入、講解，這樣的例子往往令讀者久久回味，很難忘記。我國數(shù)學家徐利治先生曾說：“劉薰宇先生的《數(shù)學趣味》使我對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣。此書是中華人民共和國成立前開明書店出版的，初中時，我讀了這本書，明白了數(shù)學歸納法是怎么回事?！?/p>

第三，在無形中流露出思考問題的方法，潛移默化地影響讀者思考。

葉至善曾說：“不要把小讀者當作口袋?！边@句話是告誡科普作者不能一味地向讀者灌輸知識，應當通過作品去引導讀者理解數(shù)學思想，應教授數(shù)學方法，使其能自行掌握。劉薰宇在該書中注重數(shù)學思想方法的滲透。他善于用通俗的語言對問題的每一步進行講解，最后對這樣表述的每一步進行通解化的數(shù)學表達。這種做法類似美籍匈牙利數(shù)學家波利亞（George Polya）的“怎樣解題表”中的方法，在對某一問題的解決過程中感受思考數(shù)學問題的方法。劉薰宇也曾說學習數(shù)學沒有秘訣，對于繁復的問題要耐住性子。著名物理學家、諾貝爾獎得主楊振寧在1983年2月19日對香港中學生的演講中說：“早在中學時代，由于偶然的機會我對數(shù)學發(fā)生了興趣，而且發(fā)現(xiàn)了自己的數(shù)學能力……有一位劉薰宇先生，他是位數(shù)學家，寫過許多通俗易懂和極其有趣的數(shù)學方面的文章。我記得，我讀了他寫的關于智力測驗的文章，才知道排列和奇偶排列這些極為重要的數(shù)學概念?！?/p>

第四，數(shù)學思維方法的滲透與德育思想并駕齊驅(qū)，體現(xiàn)全人教育。

從該書中不難發(fā)現(xiàn)，劉薰宇將類比、數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般等思想方法滲透到了問題解決中。同時，他在數(shù)學問題解決的闡述中不乏德育的內(nèi)容。例如，數(shù)學所給予人們的精神世界、多角度思考問題、要有質(zhì)疑精神、游戲中久賭必輸?shù)乃枷虢逃?、?shù)的本身及數(shù)的變化引發(fā)的人的理性選擇問題、戴有色眼鏡無法看清世界、繼承和發(fā)揚傳統(tǒng)算法等。這些思想的滲透和劉薰宇關于教育的觀念是分不開的，他的教育思想之一就是全人教育。東吳大學文學博士，民國歷史文化與文學研究中心主任的張?zhí)苗u價劉薰宇《數(shù)學趣味》中《數(shù)學所能給與人們的》這篇文章道：“這篇很有學者散文的味道，將知識生活化、普及化、哲理化，是劉薰宇在春暉時期最富表現(xiàn)力的一篇佳作。”

總之，《數(shù)學趣味》融知識性、趣味性、故事性和可讀性于一體。它雖沒有文學作品那跌宕起伏的情節(jié)和充滿詩情畫意的文字，但它給讀者帶來了“理性思維和推理”的樂趣，使讀者不再覺得數(shù)學枯燥乏味。

劉薰宇是中國數(shù)學科普著作的開創(chuàng)者之一，畢生著力于我國的數(shù)學教育事業(yè)。他以趣味豐富的文字書寫枯燥的算理贏得了廣大讀者的喜愛。豐子愷在《數(shù)學趣味》的序言中就提道“假如從前有這樣的數(shù)學書，也許我不會拋荒數(shù)學”。該書影響了那個時代的人們，相信新版的《數(shù)學趣味》定會使當今中學生、數(shù)學教育工作者及科普著作的編撰者陶熔鼓鑄。