李 龍，朱寶林，陳 雙

（蕪湖哈特機(jī)器人產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院有限公司，安徽蕪湖 241000）

0 引言

我國是鋼鐵行業(yè)的制造和使用大國，目前主要采用的是數(shù)控火焰切割機(jī)處理大型的機(jī)械加工件，因摸具制造和鑄造工藝等原因，在火焰切割后，造成熔融的鋼液向下流動，從而會使板坯底部出現(xiàn)毛刺甚至飛邊，造成裝配精度的降低，甚至影響軋鋼的表面質(zhì)量?，F(xiàn)階段，使用較多的去毛刺機(jī)主要是刮刀式、錘刀式[1-3]。研究結(jié)果表明，兩種方法具有一定的局限性，去除毛刺效率不高，質(zhì)量一般，且軋鋼的生產(chǎn)效率受刀具壽命及質(zhì)量的影響[4-5]。

本文提出了一種利用等離子切割機(jī)器人去除板坯熔渣的方法，設(shè)計了專用的去板坯熔渣機(jī)器人，并對該機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動學(xué)建模及分析研究，經(jīng)前期試驗，該方法不僅速度快而且切割質(zhì)量非常好，能達(dá)到工業(yè)實時生產(chǎn)要求。

1 等離子切割機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型的建立

對于機(jī)器人各個連軸之間的關(guān)系，Denavit 和Hartenberg[6]提出了將運(yùn)動學(xué)關(guān)系精簡為齊次變換矩陣的數(shù)學(xué)運(yùn)算問題，本文的運(yùn)動學(xué)采用目前國內(nèi)科技文獻(xiàn)常用的Craig[7]版本（也稱為前置法），設(shè)計了專用的五自由度機(jī)械手三維模型，如圖1所示，由底座、腰、大臂、小臂和腕關(guān)節(jié)5個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)組成，建立各關(guān)節(jié)處的坐標(biāo)系（坐標(biāo)系0～5），其中坐標(biāo)系0 與坐標(biāo)系1重合。

圖2 所示為機(jī)械軸的機(jī)構(gòu)簡圖，圖中標(biāo)注了各關(guān)節(jié)相應(yīng)尺寸及坐標(biāo)系相對位置。桿件參數(shù)及相關(guān)變量如表1所示，其中θi是繞zi軸，從xi-1旋轉(zhuǎn)到xi的角度；αi-1是繞xi軸，從zi旋轉(zhuǎn)到zi+1的角度；ai-1是沿xi軸，從zi移動到zi+1的距離；di是沿zi軸，從xi-1移動到xi的距離。

圖1 三維模型

圖2 機(jī)構(gòu)簡圖

表1 桿件參數(shù)和關(guān)節(jié)變量表

2 運(yùn)動學(xué)分析

2.1 正運(yùn)動學(xué)

機(jī)器人的正運(yùn)動學(xué)問題為：已知機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)及各關(guān)節(jié)變量，在參考坐標(biāo)系中，獲取其末端執(zhí)行器的位姿。每個關(guān)節(jié)i兩側(cè)的連桿i對連桿i-1的相對位置可由一個4×4的矩陣來表示[8]：

式（1）由參數(shù)ai-1、αi-1、di、θi決定，只有θi為變量，即變換矩陣隨θi變化而變化。文中連桿坐標(biāo)系O5-X5Y5Z5相對于基坐標(biāo)系O0-X0Y0Z0變換矩陣為各變換矩陣相乘。由式（1）和表1可得：

由圖2可知，各關(guān)節(jié)角度為：θi＝[0° 0° 6.38° 83.62° 0°]，并代入式（2），得出機(jī)器人末端相對于參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)，結(jié)果為：

2.2 逆運(yùn)動學(xué)分析

目前工業(yè)機(jī)器人求解逆運(yùn)動學(xué)的一般方法為反變換法[9-10]（也稱代數(shù)方法），該方法求解多次逆乘，計算較繁雜。本文將提出一種改進(jìn)求解算法，只需逆乘一次，即可將所有的關(guān)節(jié)變量求出來，過程如下。

將式（2）變形為：

（1）求解θ1

令式（4）兩端的元素（3,4）相等，可得：

（2）求解θ2

令式（4）兩端的元素 (1,4) 、 (2,4) 、 (1,3) 、 (2,3)分別對應(yīng)相等即得4個方程：

整理得：

解得：

（3）求解θ3

（4）求解θ4

（5）求解θ5

綜上，可得一組關(guān)節(jié)角度的解為：q ＝ [0°, 0°, 6.38°,83.62°,0°]。

2.3 逆解中多解問題的處理

從上文解的表達(dá)式中可知θ1和θ2有2 個根，故存在4 組解，而控制機(jī)器人運(yùn)行需要唯一確切的解。本文提出了一種從逆解中的多組解中尋求控制機(jī)器人的最優(yōu)解的方法：采用雙變量反正切函數(shù)確定關(guān)節(jié)角后，在不考慮避障的情況下，以機(jī)器人移動最短具體為前提后獲取各關(guān)節(jié)θ的最優(yōu)解，將所得的最優(yōu)解作為實現(xiàn)機(jī)器人目標(biāo)位姿的控制依據(jù)[11-14]

3 驗證

在MATLAB 環(huán)境下利用Robotics Toolbox 工具箱對運(yùn)動學(xué)模型進(jìn)行分析驗證，流程圖如圖3所示。

3.1 機(jī)器人運(yùn)動模型的建立

機(jī)器人模型建立步驟如下：

（1）調(diào)用Link()函數(shù)，并輸入表1 中的連桿參數(shù)。Link()函數(shù)的調(diào)用格式為：

式中：α為連桿扭轉(zhuǎn)角αi；A為連桿長度ai；θ為兩連桿夾角；D為2 個連桿間的距離；ζ為關(guān)節(jié)類型；offset為關(guān)節(jié)的偏移量；CONVENTION可以取standard 或modified，本文取modified，即采用改進(jìn)的D-H參數(shù)。

（2）調(diào)用SerialLink() 函數(shù)，SerialLink() 函數(shù)的調(diào)用格式為：

式中：L1,L2,???,Ln分別機(jī)器人的各個連桿。

（3）調(diào)用drivebot()函數(shù)，生成三維模型及控制界面。

圖3 運(yùn)動學(xué)驗證流程圖

綜上所述，Matlab中機(jī)器人D-H參數(shù)表如圖4所示，生成三維模型如圖5所示。

3.2 運(yùn)動學(xué)仿真驗證

3.2.1 正運(yùn)動學(xué)仿真驗證

調(diào)用fkine()函數(shù)，得出正運(yùn)動學(xué)末端位姿矩陣。

式中：robot為機(jī)器人模型；q為機(jī)器人的一組關(guān)節(jié)角度值。

圖4 Matlab中機(jī)器人D-H參數(shù)表

圖5 Matlab中機(jī)器人三維模型

將機(jī)器人初始位置q0＝[0 0 6.38×π/180 83.62×π/2 0]代入，可得圖6所示的結(jié)果。將其與第二節(jié)所計算的正運(yùn)動學(xué)結(jié)果相比較，可以得出兩者結(jié)果一致。

圖6 在MATLAB中的正運(yùn)動學(xué)結(jié)果

3.2.2 逆運(yùn)動學(xué)仿真驗證

調(diào)用ikine()函數(shù)，求解逆運(yùn)動學(xué)方程

式中：T 為機(jī)器人末端的姿態(tài)；q為機(jī)器人初始關(guān)節(jié)角度；M 為一個1×6的矩陣；其中的每一個元素代表機(jī)器人的一個關(guān)節(jié)自由度。故本文機(jī)器人的M 矩陣為[1 1 1 1 0 1]。求解結(jié)果如圖7所示。將圖中所得結(jié)果qi＝[0,0,0.111 4,1.459 4,0]轉(zhuǎn)化為角度值為qi＝[0°,0°,6.39°,83.61°,0°]，經(jīng)與理論計算的部分相比較，兩者結(jié)果一致，所得的解完全符合所賦初值。

圖7 逆運(yùn)動學(xué)求解的結(jié)果

4 結(jié)束語

（1）本文提出了用等離子切割機(jī)器人去除板坯熔渣的新方法，并自行設(shè)計專用的五自由度機(jī)器人。該方法可以高效快速地去除板坯熔渣，也增加了機(jī)器人在冶金領(lǐng)域的新應(yīng)用。

（2）得到了五自由度機(jī)器人的正運(yùn)動學(xué)解及逆運(yùn)動學(xué)解。在求解逆解的過程中提出了一種改進(jìn)的算法，僅用一次矩陣的逆乘便求出所需的解，避免了大量矩陣逆乘，使運(yùn)算過程更加簡單。

（3）使用MATALB 中的Robotics 工具箱驗證了所求運(yùn)動學(xué)的結(jié)果。經(jīng)兩者比較結(jié)果說明，在忽略計算誤差的基礎(chǔ)上，兩者保持一致，從而驗證了所建立模型的正確性及相關(guān)理論計算的正確性。