王寧波，周逸，周德

(中南大學土木工程學院，湖南長沙，410075)

移動車輛荷載引起的橋梁動力放大系數(shù)(dynamic amplification factor, DAF，用FDA表示)是與橋梁設計、檢測評估、運營管養(yǎng)密切相關的重要參數(shù)，精確的FDA取值可同時反映橋梁設計的經濟性和安全性。但至目前為止，不同國家的橋梁設計規(guī)范對動力放大系數(shù)規(guī)定均不相同。美國橋梁設計規(guī)范(AASHTO)、歐洲規(guī)范(CEN)、日本規(guī)范(JRA)、韓國規(guī)范(KBDS)均是基于橋梁跨徑來規(guī)定FDA的取值，其中，歐洲規(guī)范對于不同車道數(shù)橋梁的動力放大系數(shù)規(guī)定也不相同，日本規(guī)范對鋼橋、混凝土橋等不同類型橋梁分開規(guī)定；中國公路橋涵設計通用規(guī)范(MTPRC)基于橋梁固有頻率規(guī)定FDA取值；加拿大規(guī)范(CHBDC)根據(jù)車輛軸數(shù)確定FDA取值；澳大利亞規(guī)范(AS5100)、英國規(guī)范(BS5400)則根據(jù)車輛荷載類型規(guī)定FDA限值[1]。不同國家橋梁設計規(guī)范在動力放大系數(shù)規(guī)定內容和形式上的差異，導致同一橋梁結構按不同規(guī)范設計時的FDA不同，為此，眾多學者對橋梁FDA設計限值合理性及改進方面進行了大量研究。JUNG等[2]收集256 座現(xiàn)有橋梁實測動力放大系數(shù)并進行分析研究，結果表明，當前韓國規(guī)范(基于橋梁跨徑)關于FDA的限值偏低，并針對不同上部結構類型橋梁提出了更保守的基于固有頻率的動力放大系數(shù)限值確定方法。殷新鋒等[3]測試了路面嚴重破損工況下的FDA，并與不同國家規(guī)范的限值進行比較，發(fā)現(xiàn)對于路面已經嚴重惡化的舊橋，通過規(guī)范計算出來的動力放大系數(shù)并不可靠。HAN等[4]借助健康檢測系統(tǒng)所得數(shù)據(jù)研究典型高速公路中跨橋梁在超重車輛(總質量80 t以上)過橋時的FDA，并與中國MTPRC 和美國AASHTO 的FDA進行對比，發(fā)現(xiàn)在路面平順性較好的情況下，實測超重車輛引起的FDA基本落在這2 個規(guī)范的限制范圍內；此外，橋梁FDA隨路面粗糙度增大而增大，隨車輛荷載增大而減小并逐步趨近于1，且車輛直接作用位置處縱梁動力放大系數(shù)比遠離車輛作用位置處縱梁的動力放大系數(shù)小[5]。ZHAO 等[6]結合B-WIM 系統(tǒng)測試數(shù)據(jù)研究不同行車工況下橋梁各構件及其整體的FDA，發(fā)現(xiàn)豐富的B-WIM數(shù)據(jù)信息將有助于更準確地提取FDA。結合車-橋耦合振動數(shù)值模擬研究不同類型橋梁FDA受車輛類型、行車速度、橋梁跨度、頻率、路面粗糙度等因素或多種因素的影響也是廣泛關注的熱點[7-8]。DENG 等[9]基于3 維車-橋耦合振動有限元模型模擬計算，研究了行車速度、路面粗糙度對不同跨度混凝土橋FDA的影響，發(fā)現(xiàn)不同路面粗糙度對橋梁FDA影響較大。HARRIS 等[10]采用多剛體系統(tǒng)車輛模型和簡支Euler-Bernoulli梁模型進行車-橋耦合計算，研究車輛懸掛系統(tǒng)阻尼對橋梁FDA的影響，發(fā)現(xiàn)在路面平順性較好情況下車輛懸掛參數(shù)造成的影響很小。上述研究均是以橋梁動力放大系數(shù)的精確提取為前提，但事實上，關于FDA的計算方法研究較少。橋梁動力放大系數(shù)提取的關鍵是獲取精確的最大靜力響應，以廣泛使用的波峰-波谷法[11]為例，將動態(tài)響應最大峰值和相鄰波谷值的平均值定義為最大靜力響應，該結果受波谷值選擇、測試噪聲等因素的影響很大。通過對動態(tài)信號的濾波處理獲取靜態(tài)響應也是一種常用方法[12]，合理的濾波器可以消除振動干擾并同時保留靜態(tài)信息，但動態(tài)信號和靜態(tài)信號之間往往存在頻率混疊問題，很難徹底地濾波分離，多會導致同一車輛荷載作用下出現(xiàn)不同最大靜態(tài)響應值的情況。本文作者以橋梁結構實際影響線的準確提取研究為基礎，根據(jù)實際影響線疊加重構車輛過橋準靜態(tài)響應的思路，提出一種基于實際影響線的FDA計算方法。結合橋梁實際影響線和車輛荷載信息，重構車輛過橋準靜態(tài)響應曲線，從而獲取最大靜態(tài)響應值并計算精確FDA。結合車-橋耦合振動數(shù)值計算，對比研究波峰-波谷法、低通濾波法和基于實際影響線重構的FDA計算方法之間的差異，驗證本文方法的正確性和可行性。

1 既有動力放大系數(shù)計算方法分析

FDA表征移動車輛荷載對橋梁的沖擊效應，是反映結構動力性能的重要指標。移動車輛過橋時由于受車體振動、路面不平順等因素的影響，橋梁會產生相較于靜載作用下更嚴重的結構變形，過大的動力放大效應甚至會引起結構損傷。為保證橋梁運營安全，公路橋梁設計規(guī)范中將移動車輛的靜載效應乘以FDA作為移動車輛總效應，通常FDA被定義為移動荷載作用下橋梁最大動力響應和相應靜載作用下最大響應之比：

式中：ydmax為橋梁最大動力響應；ysmax為相應的靜載作用下橋梁最大響應。

1.1 基于波峰-波谷法的DAF計算

目前，公路橋梁試驗規(guī)范中采用波峰-波谷法對FDA進行計算，測試記錄移動車輛荷載過橋引起的橋梁關鍵點位動力響應時程曲線，確定動力時程曲線響應峰值點和相鄰谷值點。將二者均值視為該測點在同一荷載作用下的最大靜力響應值ysmax，再根據(jù)式(1)計算系數(shù)FDA，基于波峰-波谷法的最大靜力響應計算如圖1所示。

圖1 波峰-波谷法示意圖Fig.1 Illustration of peak-valley method

式中：ymax為橋梁動力響應時程曲線的響應峰值；ymin為與峰值點相鄰的響應谷值。

多數(shù)情況下橋梁動力響應時程曲線波形不夠理想，采用波峰-波谷法計算橋梁最大靜力響應往往帶有主觀性，與響應峰值相鄰左、右波谷值的選擇也會導致所得的最大靜力響應存在較大差異，因此，同樣的試驗數(shù)據(jù)也會得到不同的FDA計算結果。一般地，在不同行車條件下，同一車輛過橋得到的橋梁動力響應曲線不同，應用波峰-波谷法所提取的最大靜力響應也存在差異，這不利于對橋梁結構動力性能進行客觀評價。

1.2 基于低通濾波法的DAF計算

針對動力放大系數(shù)相對較大、影響因素較為復雜的中小跨簡支梁橋，李偉釗等[13]基于現(xiàn)代動態(tài)信號分析理論，提出對橋梁動力響應曲線進行低通濾波提取橋梁最大靜力響應的方法。在該過程中，將移動車輛對橋梁的作用近似為移動常量力和移動簡諧力疊加，對橋梁動力響應進行頻譜分析并取功率譜第1個主瓣的右谷值為截止頻率，相對于截止頻率的低頻段即為橋梁振動響應中靜態(tài)分量的頻段。通過低通濾波從動力響應中提取相應的靜力成分，低通濾波器頻響函數(shù)H(f)如式(3)所示，其中，fu為低通濾波截止頻率。典型的濾波前后橋梁響應時程曲線見圖2。

圖2 濾波前后橋梁響應曲線Fig.2 Bridge response curve before and after filtering

低通濾波法的實質是通過濾波消除動力響應中波動部分，提取靜態(tài)趨勢項得到最大靜力響應。在提取橋梁最大靜力時，截止頻率的選擇至關重要，同一車輛在不同速度、不同路面等級下通過橋梁引起的橋梁動力響應存在差異，這種差異影響截止頻率的選取，由此往往導致同一車輛荷載作用下出現(xiàn)不同橋梁最大靜力響應，這與實際情況不符。橋梁振動響應的靜力部分和波動部分還可能存在頻率混疊，通過濾波法消除振動項的同時可能導致靜力成分丟失，降低橋梁靜力響應幅值，從而影響FDA的計算精度。特別地，對于高速車輛過橋的動力放大問題，移動車輛甚至導致響應靜態(tài)趨勢項放大[14]，在這種情況下，低通濾波法則無法獲取準確靜力響應。

2 基于影響線的動力放大系數(shù)計算方法

基于影響線的FDA計算方法依賴于橋梁結構的實際影響線信息。通過構造橋梁測點影響線模型，結合最小二乘擬合方法，從車輛過橋的動力響應中提取測點實際影響線[15]。結合橋梁實際影響線信息疊加構造車輛過橋的準靜態(tài)響應曲線，以此提取最大靜力響應并計算FDA。

2.1 橋梁實際影響線提取

結合理論分析并采用分段多項式模型描述橋梁測點影響線，將車輛各軸重與橋梁影響線離散矢量乘積所得曲線進行錯位線性疊加，以此擬合橋梁測點動力響應曲線。以三軸車輛過橋為例，測點撓度實測響應及擬合曲線如圖3 所示。圖3中，TA1，TA2和TA3分別表示車輛第1 至第3 軸進橋時間，TC1，TC2和TC3分別表示車輛第1 至第3 軸出橋時間。

圖3 實際影響線擬合提取示意圖Fig.3 Example of actual influence line extraction

三軸車輛軸質量分別記為m1，m2和m3，橋梁測點撓度影響線離散矢量記為LDI，移動車輛作用下測點響應的擬合曲線離散矢量記為將實測響應R 與擬合值R?之差的平方和定義為誤差函數(shù)，則滿足如下關系式：

式中：LDI為影響線離散處理后的對應向量；c1和c2分別為與車輛1-2 和2-3 軸軸距相關的零向量長度；K為實測響應采樣點或離散點總數(shù)；Rk和分別為與采樣點k 對應的橋梁實測響應及其擬合值。結合最小二乘原理計算得到橋梁實際影響線，關于橋梁實際影響線計算提取的細節(jié)見參考文獻[13]。

2.2 基于實際影響線的FDA計算方法

為提高橋梁準靜態(tài)響應曲線精度，對輪胎-路面接觸力分布進行細化，考慮接觸力沿接觸斑方向非均勻分布，引入VELENIS 等[16]提出的梯形分布模型描述輪胎與路面之間的垂直接觸力。輪胎-路面接觸力分布模型如圖4所示，垂直應力在中間區(qū)域最大，是1個穩(wěn)定值。在過渡區(qū)中，垂直應力從接觸區(qū)域邊緣由0增加，直至等同于中間區(qū)域的應力為止。

圖4 輪胎-路面接觸力分布模型Fig.4 Model of tire-road contact force distribution

圖4中，中間區(qū)平均應力qc與輪胎類型、充氣氣壓、豎向壓力等因素相關，采用RONALD[17]提出的經驗公式進行計算。假設各區(qū)域應力在輪胎寬度方向均勻分布，輪胎寬度B已知，可計算得出輪胎-路面接觸區(qū)域中間區(qū)接觸斑長度Lc、單側過渡區(qū)接觸斑長度Le及輪胎接觸斑總長度Lj。則輪胎-路面接觸力可用沿接觸斑長度分布的線荷載表示：

式中：xt為輪胎接觸斑上任一點到接觸斑邊緣的距離。

考慮梯形輪胎-路面接觸力分布模型，假設同一車軸上的輪胎種類相同，且車軸所受的豎向力均勻分布到各個輪胎，則車輛過橋時，橋梁測點處重構的橋梁準靜態(tài)響應如下[18]：

式中：n為車軸總軸數(shù)；Li為第i軸接觸斑總長度；T(i)為第i軸的輪胎個數(shù)；fi(xt)表示第i軸輪胎-路面接觸線荷載分布函數(shù)；x 為車輛第1 軸軸心位置與橋梁端點的距離；di為車輛第i 軸與第1 軸之間的距離，d1=0；I(x)表示提取的橋梁測點影響線函數(shù)，當x?(0,L)時，I(x)=0。

對于橋面較寬需考慮車輛橫向位置影響的工況，應進行多次試驗獲取車輛荷載作用于不同車道的橋梁測點影響線信息，重構響應時則根據(jù)車輛作用位置選取對應的影響線進行疊加計算。

由式(7)可知，當車輛作用于橋上不同位置時，橋梁測點響應可根據(jù)實際影響線疊加得到，從而獲得移動車輛過橋時橋梁準靜態(tài)響應，以此提取最大靜態(tài)響應值用于FDA計算?；趯嶋H影響線的FDA計算定義如下：

其中：rmax為由橋梁實際影響線重構的準靜態(tài)響應的最大值，如圖5所示。

圖5 基于實際影響線的FDA計算方法Fig.5 Illustration of FDA calculation method based on actual influence line

3 數(shù)值計算

以三軸車輛通過等截面簡支梁為例，基于Matlab數(shù)值計算平臺進行編程計算，建立車-橋耦合時變系統(tǒng)振動方程，分別組建任一時刻多體系統(tǒng)質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和荷載列陣，采用wilson-θ法積分求解車輛過橋時系統(tǒng)動力響應時程[19]，在此基礎上對幾種橋梁動力放大系數(shù)計算方法及計算結果進行比較研究。選用橋梁模型參數(shù)如下：跨徑L 為16 m，橋梁線密度ρA=1.07×104kg/m(其中，ρ 為橋梁密度，A 為橋梁截面面積)，抗彎剛度EI=4.36×109N·m2(其中，E 為彈性模量，I為橋梁截面慣性矩)。假定橋梁結構阻尼系數(shù)ζ=0.02。車輛采用圖6所示三軸車模型，具體參數(shù)見文獻[15]。

圖6 三軸車模型Fig.6 Three-axle vehicle model

3.1 不同行車速度下FDA計算分析

車速變化會導致車輛對橋梁作用力激振頻率發(fā)生改變，對車橋耦合振動具有較大影響[20]，繼而影響橋梁靜力響應的提取。為分析車速對橋梁最大靜力響應提取的影響，取三軸車模型依次以不同速度勻速通過橋梁，橋面不平度參考國際標準ISO 8608[21]，橋面不平度等級取B級，橋中心線距底邊緣0.41 m，數(shù)值計算不同行車速度下橋梁動力響應。車輛以不同速度過橋時跨中的撓度響應和應變響應曲線如圖7所示。

分別采用波峰-波谷法、低通濾波法、基于實際影響線重構法從不同行車工況下的橋梁動力響應曲線中提取橋梁最大靜力響應，并分析計算橋梁最大靜力響應理論值。針對數(shù)值計算的撓度和應變響應曲線，將3種方法的計算結果與理論結果進行比較，如圖8所示。從圖8可以看出：基于實際影響線重構法得到的最大靜力響應值與理論結果基本一致；低通濾波法計算結果與理論結果相比存在一定偏差，在理論值附近波動；波峰-波谷法提取的橋梁最大靜力響應值與理論值偏差較大，其撓度響應和應變響應相對于理論值的誤差均比其他方法的大。

采用波峰-波谷法、低通濾波法及本文方法計算的不同車速下橋梁FDA如表1所示。從表1可見：當車輛速度不超過80 km/h時，應用本文方法所得到的橋梁FDA相較理論值最大相對誤差為0.1%；采用低通濾波法計算求得的FDA與理論值最大相對誤差為-5.24%；采用波峰-波谷法所得FDA最大相對誤差達到9.84%，而且一般速度越高，相對誤差越大。

圖7 不同車速下橋梁動力響應曲線Fig.7 Bridge dynamic response curve under different vehicle speeds

圖8 不同車速過橋時提取的橋梁最大靜力響應Fig.8 The extracted maximum static response of bridge under different vehicle speeds

表1 不同速度下FDA計算結果Table 1 Calculation results of FDA under different speeds

3.2 不同路面平整度下FDA計算分析

路面不平順是影響橋梁車激振動的主要因素之一，針對國內橋梁常見的路面狀況，路面不平度等級分別取A，B，C 和D 共4 個等級。假定路面不平度是平穩(wěn)各態(tài)歷經零均值的Guass 隨機過程，對路面功率譜密度函數(shù)進行快速傅里葉逆變換，并經過三角級數(shù)迭加計算得到路面不平度縱向分布函數(shù)。車輛以20 km/h的速度過橋，分析路面不平度對橋梁最大靜力響應提取的影響。不同路面狀況下車輛過橋引起的橋梁跨中動力響應如圖9所示。

幾種路面不平度等級下采用不同方法提取的橋梁最大靜力響應值見表2。從表2 可見：采用實際影響線重構法提取的橋梁最大靜力響應最大相對誤差為0.07%，同時不隨橋面等級變化而變化，表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性；低通濾波法計算結果相對誤差隨橋面不平度等級變化而變化，在D 級橋面下相對誤差最大，撓度和應變的計算結果最大相對誤差分別為6.5%和5.97%；波峰-波谷法提取的最大靜力響應在路面狀況惡化嚴重時相對誤差較大，最大相對誤差達-10.86%。

與表2 對應的不同路面狀況下橋梁FDA見表3。從表3可見：采用本文方法計算得到的橋梁動力放大系數(shù)誤差很小，且不受路面狀況影響；采用低通濾波法和波峰-波谷法提取的FDA大多精度較低，隨橋面狀況的惡化，提取的動力放大系數(shù)相對理論值的誤差逐漸增大。采用實際影響線重構法所得的精確FDA更有利于橋梁設計和評估。

3.3 參數(shù)分析

上述3 種FDA計算方法獲取橋梁最大靜力響應值的準確性不同，則其計算過程所需參數(shù)也不同，如表4所示。

圖9 不同路面等級下橋梁動力響應曲線Fig.9 Bridge dynamic response curves under different road levels

表2 不同路面等級最大靜力響應計算結果Table 2 Calculation results of the maximum static response of under different road levels

表3 不同路面等級下FDA計算結果Table 3 Calculation results of FDA under different road levels

表4 FDA計算方法參數(shù)比較Table 4 Parametric comparison of different FDA calculation methods

動力響應是以上3種方法必需的參數(shù)信息；此外，利用波峰-波谷法計算FDA時不再需要其他參數(shù)，結合濾波方法計算FDA需已知結構頻率(橋梁固有特性)，本文方法則同時依賴于測點影響線(橋梁固有特性)和車軸信息(車輛軸重、軸距)。

綜上可以發(fā)現(xiàn)：上述3 種方法計算橋梁FDA所需參數(shù)越多，則結果越準確；采用的參數(shù)越少，則計算結果多存在較大偏差。當前土木工程領域信息化進程加快，結合多傳感、多信息融合的計算機技術、智能信息處理技術等已融入土木工程的研究。本文提出的基于影響線疊加的橋梁FDA計算方法綜合引入橋梁固有特性和車軸信息，能獲取準確、真實的FDA，對于處理靜、動力行為差異較大的橋梁結構(如高墩橋梁等)具有明顯優(yōu)勢。

4 結論

1)提出了一種基于實際影響線的橋梁動力放大系數(shù)FDA計算方法。結合橋梁實際影響線和車軸信息重構移動車輛作用下橋梁準靜態(tài)響應，以此計算車輛過橋導致的FDA。該方法以橋梁實際影響線精確獲取為基礎，并要求已知車輛軸重、軸距等信息，從而獲取的FDA更加準確。

2)同一車輛過橋時，基于既有波峰-波谷法和低通濾波法提取的橋梁最大靜力響應隨行車條件(如車輛速度、路面平順性等)變化而變化，其計算所得FDA均存在一定誤差。據(jù)本文方法得到的靜力響應值不受行車條件變化的影響，符合實際情況，F(xiàn)DA計算更加合理、可靠。