劉 劍，陳茂勝，孔令波，孫金傲，曲云昭，劉效寧，侯 穎 ，趙 波

（1. 長光衛(wèi)星技術有限公司，長春 130033；2. 吉林省德惠市第十三中學，吉林 德惠 130300）

0 引言

磁力矩器是低軌道微小衛(wèi)星的主要執(zhí)行部件之一，由磁棒和控制電路2 部分組成[1]，用以對衛(wèi)星進行姿態(tài)控制和動量管理，更廣泛地應用于反作用力飛輪的動量制裁[2]。相對于姿態(tài)控制系統(tǒng)及其他執(zhí)行機構，磁力矩器具有簡單可靠等優(yōu)點。由于微小衛(wèi)星在質量和功耗等方面存在限制，因此要求，輸出力矩大、剩磁小，體積小、重量輕[3-5]。設計磁力矩器時，在保證得到期望磁矩的同時，必須降低磁力矩器的質量和功耗[6-9]。

一些專家學者對磁力矩器的多目標優(yōu)化算法進行了研究：文獻[5]對磁力矩器的多目標優(yōu)化算法進行了討論，建立了磁力矩器多目標優(yōu)化算法模型，但模型中引入了繞線后的磁力矩器半徑這一參數(shù)，使模型復雜化，且其優(yōu)化設計算法的求取過程繁瑣；文獻[9]針對空芯磁力矩器，給出了優(yōu)化設計算法，但它只將質量和功耗作為設計的限制，而未作為設計目標來考慮，并未對帶磁芯的磁力矩器進行討論；文獻[3]雖然考慮了帶磁芯的磁力矩器設計問題，但該文并未同時考慮磁矩與功耗存在的矛盾。

本文改進了文獻[1]的磁力矩器設計算法，文中在時間常數(shù)、繞線電感、繞線層數(shù)、繞線電流等因素的制約下，給出1 種優(yōu)化的函數(shù)形式，求解該優(yōu)化函數(shù)下的最優(yōu)設計方案，使得在滿足輸出額定磁矩的條件下，能夠更好地平衡質量和功耗，并對設計方案進行具體實現(xiàn)和驗證。

1 模型建立

圖1 給出了載流線圈在磁場中的受力模型，所受力矩滿足：

式中：M為載流線圈的磁矩；S為線圈面積矢量；I為通過線圈的電流；B為磁感性強度。

圖1 載流線圈在磁場中的受力模型

空芯線圈產(chǎn)生的磁場小，無法滿足衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的指標要求：因此必須通過磁性材料的磁化作用來提高通電線圈產(chǎn)生的磁場。載流線圈中插入磁芯，其內(nèi)部磁感應強度顯著增強，產(chǎn)生的磁矩也明顯增大[10-11]，磁感應強度和磁矩的模表示為：

式中：μo為真空磁導率；N為磁力矩器繞線匝數(shù)；為磁芯長度；rc為磁芯半徑；V為磁芯體積；為磁芯相對磁導率。Nd的計算方法為

式中Nd為磁芯的退磁因子。Lcrc越大，Nd越小，相同條件下產(chǎn)生的磁矩越大。

磁力矩器輸出磁矩與磁芯體積V、磁芯內(nèi)部磁感應強度B相關。式（4）為磁矩理論計算公式，實際應用時，常引入衰減因子 aη，取值0.7～0.9；若磁芯的飽和磁感應強度為Bs，為保證線性度，對飽和磁感性強度進行降額，設降額系數(shù)為ξ，ξ通常取0.8，式（4）變換為

要達到額定輸出磁矩，磁芯體積V應滿足：

設磁芯長徑比λ為

由式（8）～式（10）可知，磁芯最小長徑比滿足

通過式（11）可確定磁芯的尺寸，進而求得磁芯的實際體積V0，由式（7）可知

將式（12）代入（13）化簡可得

式（14）中除了參數(shù)N和I外其他參數(shù)均已知，設線圈長度近似等于磁芯長度，且每匝線圈之間緊密纏繞，則每層的繞線匝數(shù)N0為

式中d為線繞直徑。

設繞線層數(shù)為n，第n+1 層繞線匝數(shù)為Nr，則總繞線匝數(shù)N為

工程實施中，常取Nr=0 ，即

繞線中通過的電流I為

式中：R為繞線總電阻；R0為繞線單位長度電阻；為繞線長度。存在的關系為

將式（17）～式（19）代入式（13）可得

最終化簡可得

由式（21）可知，當磁芯和繞線確定后，滿足設計要求的方案中，繞線層數(shù)存在最大值。以設計 1 款額定輸出磁矩 5 Am2的磁力矩器為例，工作電壓12 V，磁芯的飽和磁感應強度為0.7 T，磁芯直徑8～16 mm，磁芯直徑變化步長1 mm，長徑比不高于50，長徑比變化步長為1，繞線直徑0.25 mm，衰減因子0.8，通過式（21）計算出的可行方案共11 722 種，可根據(jù)具體設計需要進行選取。

2 多目標優(yōu)化

在確保額定輸出磁矩的前提下，微小衛(wèi)星的磁力矩器應滿足“三小、一低、一快”，即小尺寸、小重量、小功耗、低剩磁矩和快速響應（小時間常數(shù)）。本文僅針對質量和功耗進行優(yōu)化設計。

由式（3）和式（12），可計算通過繞線的平均電流為

磁力矩器最大功耗P為

繞線質量mw為

磁芯質量mc為

總質量m為

繞線電感L為

建磁時間t為

要選擇最優(yōu)的設計方案，即在滿足額定輸出磁矩的同時，使功耗P和總質量m盡可能小。圖2 和圖3 給出了在設計實例中，磁力矩器的質量和功耗的關系。圖 2 中每條曲線表示了在磁芯直徑為10 mm、不同長徑比下質量和功耗的關系，圖3中每條曲線表示了在長徑比為 50，不同磁芯直徑下，質量和功耗的關系。從圖 2、圖 3 可以看出：磁力矩器的質量和功耗相互矛盾，即過分優(yōu)化1 個變量，會使另1 個變量急劇惡化，設計過程中要對2 個變量進行權衡。

圖2 磁芯直徑為10 mm 時，不同長徑比下質量和功耗的關系

圖3 磁芯長徑比為50 時，不同磁芯直徑下質量和功耗的關系

本文中涉及的最優(yōu)方案僅針對質量和功耗，實際設計中還包含其他設計參數(shù)，根據(jù)具體設計要求，對其他參數(shù)進行約束，即

在此約束下，上述實例中可行的設計方案共有241 種，選取目標函數(shù)

當F(P,m) 取最小值時，即質量功耗平方和最小時的方案為最優(yōu)方案。在式（30）的目標函數(shù)下，求得的最優(yōu)方案的設計參數(shù)如表1 所示。

表1 優(yōu)化函數(shù)下的磁力矩器設計參數(shù)

3 磁力矩器設計及驗證

由以上分析可知，最優(yōu)可行方案中，磁芯的飽和磁感應強度為0.7 T，直徑10 mm，長度220 mm，繞線直徑為 0.25 mm，每層760 匝，繞線6 層。圖4 為設計好的磁力矩器，圖5 為磁力矩器測試實驗。

圖4 設計好的磁力矩器

圖5 磁力矩器標定

測試的具體原理如圖6 所示。

在距離磁力矩器質心R處的磁感應強為B，和Bt度分別為B沿R徑向和切向的分量，它們與磁矩M的關系滿足

圖6 磁力矩器測試原理圖

圖7 時測試原理

圖8 時測試原理

由上述分析可知，磁矩的測量可以轉化成對確定位置磁感應強度的測量，磁感應強度可通過磁強計進行測量[12]，本文在的條件下進行磁力矩的測試，測試點的環(huán)境磁感性強度為測試數(shù)據(jù)如表2 所示。

圖 9 是根據(jù)實驗結果直接擬合的磁力矩器的電流和磁感應強度關系曲線；圖10 是通過關系式將磁感應強度轉化為磁矩后，擬合的磁矩和電流的關系曲線，其表達式為

表2 磁力矩器標定數(shù)據(jù)

圖9 磁力矩器電流和磁感應強度擬合曲線

圖10 磁力矩器電流和磁矩擬合曲線

當輸出磁矩為5 Am2時，繞線電流為97.7 mA，經(jīng)過計算，線性度誤差小于0.3 %。

由式（16）、式（12）和式（4），可計算出輸出磁矩和繞線電流的理論關系式為

由式（34）和式（35）可以看出，2 個關系式存在一定誤差，這個誤差主要由衰減因子的選取引起的。本例中衰減因子選取得較小，這樣可以保證設計方案有較大的余量。如果不考慮衰減因子，則輸出磁矩和繞線電流的理論關系式為

則實際衰減因子ξ為

上例設計過程衰減因子選取 0.8。衰減因子的取值范圍一般為0.7～0.9。衰減因子選取不當，會使標定曲線與理論曲線有一定偏離，為使設計方案有更大的余量，衰減因子可以適當選取得小一些。

使用本文所述方法計算設計的磁力矩器已在“吉林一號”星座系列衛(wèi)星上得到充分應用，證明了設計方案的正確性和可行性。

4 結束語

通過本文的分析，可以得到

1）設計1 款磁力矩器，當磁芯和繞線確定時，可行方案中繞線層數(shù)存在最大值；

2）磁力矩器的質量和功耗是相互矛盾的變量，過分優(yōu)化1 個變量，會使另1 個變量急劇惡化，設計過程中要對2 個變量進行權衡；

3）利用本文改進的算法，既可以對某些變量進行設計約束，也可以針對具體設計要求給出新的優(yōu)化函數(shù)，或將新的變量加入到優(yōu)化函數(shù)。