胡小波

(江蘇省泰州姜堰區(qū)婁莊中學(xué) 225506)

日常生活中，我們通常會(huì)遇到這樣一個(gè)問題，題目如下：

引例人在水平面上走路(由靜到動(dòng))靠什么力對(duì)人做功引起人的動(dòng)能的變化？

分析如圖1所示， 人在水平面走路時(shí)，人腳相對(duì)于地面有向后的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，因而人受到向前的靜摩擦力，但此摩擦力作用于人腳上并不產(chǎn)生位移，即人受到地面的靜摩擦力是不做功的，那為何人會(huì)獲得向前的速度和動(dòng)能呢？這是因?yàn)榇藭r(shí)的人是不可以看作質(zhì)點(diǎn)的，而應(yīng)當(dāng)將人看作很多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能變化是由內(nèi)外力做功的總和引起的，顯然人走路時(shí)外力對(duì)人不做功，那人的動(dòng)能的變化必定是內(nèi)力做功的結(jié)果，因此人走路時(shí)獲得的動(dòng)能是人本身的內(nèi)力(來源于人體的肌肉)做功的結(jié)果.

圖1

上例說明質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化會(huì)受質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力做功影響，那質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能變化究竟與什么力做功相對(duì)應(yīng)呢，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理又如何？

一、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理

(1)內(nèi)容：質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)系所受一切外力和一切內(nèi)力做功之和.

(2)表達(dá)式 ：∑A外+∑A內(nèi)=∑Ek2-∑Ek1.

式中∑A外、∑A內(nèi)分別表示質(zhì)點(diǎn)系外力所做功總功之和及內(nèi)力所做總功之和；∑EK2、∑EK1分別表示質(zhì)點(diǎn)系的末態(tài)的總動(dòng)能及初態(tài)的總動(dòng)能.

從該定理可以看出，無論是系統(tǒng)的外力還是系統(tǒng)的內(nèi)力，只要它們做功都必定會(huì)引起質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能的變化.特別的，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不做功時(shí)(比如系統(tǒng)內(nèi)的兩物體由不可伸長(zhǎng)的繩或桿相連)，即∑A內(nèi)=0，表達(dá)式變?yōu)椤艫外=∑EK2-∑Ek1,處理問題極其方便.

二、應(yīng)用舉例

例1如圖2所示，質(zhì)量M的木塊套在光滑水平桿上，并用長(zhǎng)為L(zhǎng)的不可伸長(zhǎng)的細(xì)線將木塊與質(zhì)量m的小球相連,若從圖中豎直的虛線位置m小球受到一個(gè)水平的恒力F作用，由靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)細(xì)線拉到水平位置時(shí)如圖3所示，M木塊的位移是s,小球繞M木塊的角速度為ω，已知繩子長(zhǎng)度為L(zhǎng)，求出此時(shí)木塊速度?

圖2 圖3

分析對(duì)于用細(xì)繩相連的小球和物塊構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，受力方面：物塊M和小球m由細(xì)線相連，細(xì)線對(duì)物塊M和小球m的拉力屬于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力且做功的代數(shù)和為零，質(zhì)點(diǎn)系的外力有物塊受到的重力和支持力、以及小球受到的重力和水平恒力，顯然質(zhì)點(diǎn)系的四個(gè)外力中，物塊受到的兩個(gè)力(重力和支持力)均不做功，小球受到的兩個(gè)力(重力和水平恒力)都做功.

質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)物體速度方面：當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)至細(xì)線水平時(shí)(如圖3所示)，M和m在桿方向速度為v，m在垂直桿方向速度為ωL，此過程M位移是s，m的位移是s+L，由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理得：

點(diǎn)評(píng)1本例的質(zhì)點(diǎn)系是繩及繩相連的物塊和球，繩不可伸長(zhǎng)，系統(tǒng)內(nèi)力做功代數(shù)和為零，處理時(shí)只考慮外力做功.

例2 如圖4所示，在豎直平面內(nèi)固定一U型軌道，軌道兩邊豎直，底部是半徑為R的半圓，質(zhì)量均為m的A、B兩小環(huán)，用長(zhǎng)為R的輕桿連接在一起，套在U型軌道上，小環(huán)在軌道的豎直部分運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力均為環(huán)重的0.2倍，在軌道的半圓部分運(yùn)動(dòng)時(shí)不受任何阻力.現(xiàn)將A、B兩環(huán)從圖示位置由靜止釋放，釋放時(shí)A環(huán)距離底部2R，不考慮輕桿和軌道的接觸，重力加速度為g，求：A環(huán)在半圓部分運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度.

圖4 圖5

分析A環(huán)、B環(huán)與桿可以看成一質(zhì)點(diǎn)系，受力方面：內(nèi)力是桿對(duì)A、B環(huán)的作用力，很明顯內(nèi)力做功且代數(shù)和為零；外力是A、B環(huán)的重力和豎直軌道對(duì)兩環(huán)的摩擦阻力及兩環(huán)運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道時(shí)受到軌道的彈力，其中重力對(duì)它們做正功，阻力對(duì)其做負(fù)功，圓弧軌道的彈力不做功.

點(diǎn)評(píng)2 本例中，輕桿不可伸長(zhǎng)，由此相連接的兩物體在運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)做功的代數(shù)和為零，所以只要考慮系統(tǒng)外力的功，使問題得以簡(jiǎn)化.

例3 如圖6所示，質(zhì)量分別為m和M的物塊A和B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩連接，A放在傾角為α的固定斜面上，B能沿桿在豎直方向上自由滑動(dòng)，桿到滑輪中心的距離為L(zhǎng)，開始時(shí)將B抬高到使細(xì)繩水平.求當(dāng)B由靜止開始下落h時(shí)的速度.(滑輪和繩的質(zhì)量及各種摩擦均不計(jì))

圖6 圖7

由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理可得：

點(diǎn)評(píng)3 特別注意，繩和桿相連的物體，其各自沿繩或桿方向的速度大小一定相等.本例還可用系統(tǒng)的機(jī)械能守恒處理，這里不再贅述.不可伸長(zhǎng)的繩和桿相連時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力做功為零，但并不是所有的質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力做功代數(shù)和都為零.下面回到引例中提出的人在水平面起跳時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能問題.

例4如圖8所示,是被譽(yù)為“豪小子”的華裔球員林書豪在NBA賽場(chǎng)上投二分球時(shí)的照片.現(xiàn)假設(shè)林書豪準(zhǔn)備投二分球前先曲腿下蹲再豎直向上躍起，已知林書豪的質(zhì)量為m,雙腳離開地面時(shí)的

圖8

速度為V,從開始下蹲到躍起過程中重心上升的高度為h,則下列說法正確的是( ).

A. 從地面躍起過程中，地面對(duì)他所做的功為0

D. 離幵地面后，他在上升過程中處于超重狀態(tài)；在下落過程中處于失重狀態(tài)

分析本例是人從地面起跳問題，與引例中的人走路有相似之處，一者人都不可以看作質(zhì)點(diǎn)，只能看作質(zhì)點(diǎn)系；再者，地面作用在人腳的力(引例中是摩擦力，本例是支持力)都不做功； 從內(nèi)外力上看，外力中的支持力不做功，重力做負(fù)功，內(nèi)力(來自于人體)做正功，正由于內(nèi)力做正功才引起了人的動(dòng)能的增加，即人從下蹲到離開地面上升過程中是人的內(nèi)力做功的結(jié)果，并不是地面對(duì)人的支持力做功的結(jié)果.

所以本題選AC，選項(xiàng)D根據(jù)超重、失重發(fā)生的條件很容易排除掉.

通過上述例子可小結(jié)出利用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理解決問題的一般思路:

(1)明確質(zhì)點(diǎn)系由哪些對(duì)象構(gòu)成；

(2)要正確的分析出系統(tǒng)的內(nèi)力和外力，明確系統(tǒng)內(nèi)力和外力做功情況；

(3)如果質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的物體用不可伸長(zhǎng)的繩或桿相連，則質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力做功代數(shù)和為零，只考系統(tǒng)外力所做的功，使問題大大簡(jiǎn)化；

(4)如若內(nèi)力做功代數(shù)和不為零，則分別寫出內(nèi)力和外力所做的功，列質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理方程，解決問題.

需要特別強(qiáng)調(diào)的是質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力做功代數(shù)和不一定都為零，只有不可伸長(zhǎng)的繩和桿相連的物體，其內(nèi)力做功的代數(shù)和才為零，一旦系統(tǒng)內(nèi)的兩物體距離發(fā)生變化內(nèi)力做功的代數(shù)和便不再為零，這一點(diǎn)一定要慎之又慎，另外，繩和桿相邊的物體在發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，其各自沿繩或桿方向的速度一定相等，這也是關(guān)聯(lián)系統(tǒng)內(nèi)物體速度關(guān)系的重要方法所在.