曾 敏

(江西省南昌市江西師范大學(xué)附屬中學(xué) 330046)

模型構(gòu)建的本質(zhì)是根據(jù)題意進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，提升空間想象能力.常見的立體幾何模型有長方體(正方體)模型、圓錐模型、球模型、圓柱模型等.用構(gòu)建模型的方式來看待立幾問題，總結(jié)典型的立體模型，有助于提高解題能力.

一、長方體(正方體)模型

類型1 “三視圖”中的應(yīng)用

例1某幾何體的三視圖如圖1所示，三個(gè)視圖中的正方形的邊長均為6，俯視圖中的兩條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為____.

模型反思大部分幾何體可通過對(duì)正方體或長方體分割得到，所以將三視圖問題放在正方體或長方體模型中研究，能夠快速得到直觀圖.

類型2 “補(bǔ)形”中的應(yīng)用

解析依題可知PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC.

又∵PB⊥平面PAC，∴以PA,PC,PB為長、寬、高，作長方體如圖3所示.

則該長方體的外接球就是四面體P-ABC的外接球，

模型反思觀察條件與模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用補(bǔ)形的思想可巧妙構(gòu)造長方體(正方體)模型.如：①三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，等效于一個(gè)“墻角”，可將“墻角”補(bǔ)形構(gòu)造正方體或長方體；②三棱錐的三組對(duì)棱分別相等，等效于一個(gè)長方體的三條面對(duì)角線，可將三棱錐補(bǔ)形構(gòu)造正方體或長方體；③正四面體補(bǔ)形構(gòu)造正方體.

二、圓錐模型

例3 已知矩形ABCD，AB=2，BC=x，將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，則( )．

A．當(dāng)x=1時(shí)，存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD

C．當(dāng)x=4時(shí)，存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD

D．?x>0時(shí)，都不存在某個(gè)位置，使得AB⊥CD

解析在翻折過程中，AB形成以BD所在直線為軸的圓錐側(cè)面，作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)E，翻折過程中的垂直可轉(zhuǎn)化為AB能與圓錐的一條母線垂直，結(jié)合模型知，最大張角是∠ABE，從而得∠ABE≥90°.即 ∠ABD≥45°.

模型反思翻折問題中，抓住共面的線性角不變的性質(zhì)構(gòu)建圓錐模型，借助模型量化計(jì)算，培養(yǎng)抽象思維與直觀想象.

三、球模型

例4 已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形ABCD，△PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，空間一點(diǎn)M，滿足PM⊥MC，則點(diǎn)M在底面ABCD上的軌跡是( ).

A.圓的一部分 B. 橢圓的一部分

C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分

解析如圖5，空間一點(diǎn)M，滿足PM⊥MC，則點(diǎn)M在以PC為直徑的球面上.

又因?yàn)辄c(diǎn)M在底面ABCD上，所以點(diǎn)M的軌跡是球面與底面ABCD的公共部分，即交集為圓.故選A.

模型反思抓牢動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合球的結(jié)構(gòu)特征(動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定值).

四、圓柱模型

例5 如圖6，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( ).

A.圓

B.橢圓

C.一條直線

D.兩條平行直線

解析由已知可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡在圓柱面上.由于AB是平面α的斜線段，所以平面α斜截圓柱面，得到的截面圖形為橢圓.選B.

模型反思抓住動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合圓柱的結(jié)構(gòu)特征(動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離為定值).

在探索立體幾何的問題中，巧構(gòu)立體模型，不但可以提升學(xué)生的思維起點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，而且還能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美.