沈海全

(浙江省紹興市越州中學(xué) 312000)

平面向量是高中數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一， 也是浙江高考的亮點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容. 它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景,常用平面向量解決一些比較復(fù)雜的幾何問(wèn)題，即幾何問(wèn)題代數(shù)化.而在高考中某些向量問(wèn)題常具有豐富的幾何背景和幾何性質(zhì)，反而需要把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，借助幾何方法來(lái)更好地解決，那就需要我們用敏銳的眼光識(shí)別向量語(yǔ)言中所蘊(yùn)含的幾何性質(zhì)，這也是解決此類問(wèn)題的難點(diǎn).本文從課本習(xí)題出發(fā)通過(guò)一系列的拓展變式將一些具有明顯幾何意義的向量問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，供老師同學(xué)參考學(xué)習(xí).

一、在教材中尋根

人教版必修四課本P120 第2,3題.

1.已知向量a，b為非零向量，且|a+b|=|a-b|，求證：a⊥b，并解釋幾何意義.

2.已知向量a，b為非零向量, 且(a+b)⊥(a-b)，求證：|a|=|b|，并解釋幾何意義.

下面再看兩個(gè)小問(wèn)題.

3.已知向量a，b滿足|a|=2，b·(a-b)=0，你能解釋其中蘊(yùn)含的幾何意義嗎？

4.已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=|a-b|，你能解釋其中蘊(yùn)含的幾何意義嗎？

四個(gè)簡(jiǎn)單的向量表達(dá)式，蘊(yùn)含了我們最熟悉的平行四邊形、菱形、線段、圓所具有的最美的性質(zhì)．為變式拓展提供了材料和動(dòng)力，結(jié)合以上性質(zhì)再加入新的元素|λa-b|設(shè)計(jì)了這么一個(gè)問(wèn)題. 已知向量a，b滿足|a|=2，b·(a-b)=0，|b|=|a-b|，λ∈R，求|λa-b|的最小值.

解由以上幾個(gè)問(wèn)題可知，b的終點(diǎn)B既在以線段OA為直徑的圓周上，又在線段OA的中垂線上，所以b唯一固定，而|λa-b|所表示的幾何意義為向量λa終點(diǎn)D和向量b終點(diǎn)B連線距離，即為直線OA上的動(dòng)點(diǎn)D與定點(diǎn)B連線距離，所以表達(dá)的幾何意義為直線外一點(diǎn)與直線上一動(dòng)點(diǎn)的最小距離，即|BD|min=|BC|=1.

二、在根基中求變

問(wèn)題1已知向量a，b滿足|a|=2，a與a-b的夾角為60°，求|b|的最小值.

以上問(wèn)題源于2010年浙江高考試題，體現(xiàn)了直線外一點(diǎn)到直線上動(dòng)點(diǎn)連線的最短距離為垂線段長(zhǎng)度.下面將條件a與a-b的夾角為60°改為b與a-b的夾角為120°,驚喜的發(fā)現(xiàn)b終點(diǎn)的軌跡由射線變?yōu)榱藞A弧，而初中已經(jīng)知道圓最優(yōu)美的幾何性質(zhì)是同弧所對(duì)的圓周角相等.這么優(yōu)美的幾何性質(zhì)以向量語(yǔ)言表現(xiàn)出來(lái)了.而解決這個(gè)問(wèn)題又可以用正弦定理來(lái)解決，從而又用到了三角形最美的性質(zhì)即正弦定理.下面給出問(wèn)題和解答.

問(wèn)題2已知向量a，b，c滿足|a|=|b|=2，a⊥b，c=λa+(1-λ)b，λ∈R，求|c|的最小值.

問(wèn)題2是在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上再加進(jìn)一個(gè)新的向量c，向量表達(dá)式c=λa+(1-λ)b體現(xiàn)了三點(diǎn)共線.變式1-4對(duì)各條件和角度進(jìn)行了改變，產(chǎn)生了不同的幾何性質(zhì)，變式5更大膽地讓c也運(yùn)動(dòng)起來(lái)，最后轉(zhuǎn)化為兩圓相切問(wèn)題.有了以上的探究，下面對(duì)2018年浙江高考平面向量試題進(jìn)行分析,原來(lái)試題是那么自然而漂亮.

三、在真題中實(shí)踐

(b-e)·(b-2e)=0，即(b-e)⊥(b-2e).所以b的終點(diǎn)在以E1E2為直徑的圓周上.下面同解法一.

著名的藝術(shù)家羅丹說(shuō)：“美到處都有，生活中不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛.”本文中簡(jiǎn)潔的向量表達(dá)式展現(xiàn)了平面幾何中一些最美的性質(zhì).這就需要教師在高考復(fù)習(xí)過(guò)程中精心選擇教學(xué)復(fù)習(xí)材料，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程.在教學(xué)過(guò)程中要注意知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的來(lái)龍去脈，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程中，經(jīng)歷探究、思考、加工的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“表象特征”到“內(nèi)在價(jià)值”理解升華.著力讓學(xué)生數(shù)學(xué)能力數(shù)學(xué)素養(yǎng)在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中生成、在教學(xué)互動(dòng)的過(guò)程中成長(zhǎng)、在思維思辨過(guò)程中升華.