求解一對解三角形中的最值問題
2020-08-24 04:41:20甘志國
數(shù)理化解題研究 2020年22期
甘志國
(北京市豐臺二中 100071)
題目設(shè)△ABC的三邊長分別是a,b,c，p,q,r均是已知數(shù)且q+r>0,pq+pr+qr>0.
(1)若pa2+qb2+rc2=s，則△ABC面積的最大值為____；
(2)若△ABC的面積是S，則pa2+qb2+rc2的最小值為____.
解法1 設(shè)△ABC的長為c的邊所對的角是C.由q+r>0,pq+pr+qr>0，可得(p+r)(q+r)=pq+pr+qr+r2>r2≥0,p+r>0.
由余弦定理及均值不等式，可得
s=pa2+qb2+rc2=pa2+qb2+r(a2+b2-2abcosC)
即當且僅當
還可得當且僅當
即當且僅當
解法2 設(shè)BC=a,CA=b,AB=c，△ABC的面積為S.
由兩點間距離公式，可得
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