趙樂平， 羅志強， 呂毅斌

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 云南 昆明 650500)

近水面波體相互作用問題一直是海洋工程領(lǐng)域關(guān)注的重點之一，研究水下結(jié)構(gòu)體激勵引起的水動力學(xué)變化規(guī)律具有重要意義。近些年來，有許多學(xué)者研究圓柱體激勵引起的水動力學(xué)變化規(guī)律。1961年，YU和URSELL[1]研究了無限水深區(qū)域內(nèi)半浸沒圓柱體激勵所產(chǎn)生的波。1967年，F(xiàn)RANK[2]利用格林函數(shù)研究了圓柱體做搖擺、起伏和滾動3種情況下的阻尼系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)。1971年，DAVIS[3]通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)膹V義格林函數(shù)，建立了邊界積分方程，研究了半浸沒球體垂直激勵的附加質(zhì)量。由于浸沒體在特定的激勵頻率內(nèi)激勵時，利用格林函數(shù)研究波體相互作用問題會導(dǎo)致最后的數(shù)值解會出現(xiàn)較大的誤差。1973年，YEUNG[4]提出了Rankine源法，BEDEL和LEE[5]利用源面板法求解了浸沒圓柱體激勵的附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)。2015年左右，F(xiàn)ENG等[6-7]通過在漂浮的圓柱體附近放置較密集的源點，在離圓柱體較遠(yuǎn)的地方放置較為稀疏的源點，研究了半浸沒在水中的圓柱體做垂直激勵的波體問題。

在時域上，Rankine源面板法相比其他方法，更能有效數(shù)值求解波體相互作用問題。本文構(gòu)造水下圓柱體源分布和自由面源分布，研究水下激勵體傾斜激勵下圓柱體和自由面的水動力學(xué)變化規(guī)律。

1 浸沒圓柱體激勵問題的基本理論

考慮圓柱體在無限水深不可壓縮的無旋且無黏性的流體區(qū)域中激勵，圖1給出了無限水深區(qū)域內(nèi)圓柱體激勵的物理模型，以水平面中點為坐標(biāo)原點，x軸水平向右，y軸垂直向上，在靜止自由面上建立笛卡爾坐標(biāo)系。源點q分布在流體區(qū)域中，設(shè)Sq是以q為圓心、ε為半徑的圓的邊界。流體區(qū)域V由自由面邊界SF、圓柱體邊界Sb、源點q所圍成的區(qū)域邊界Sε和無窮遠(yuǎn)處海底邊界圍成。

圖1 浸沒圓柱體傾斜激勵的物理模型

設(shè)ω是傾斜激勵頻率，a是傾斜激勵振幅，圓柱體傾斜激勵速度為

V=aωcos(ωt)i+aωcos(ωt)j，

其中i為沿x軸方向的單位向量，j為沿y軸方向的單位向量。

設(shè)φ為流體的總速度勢，定義速度u和v為

流體區(qū)域內(nèi)的速度勢φ滿足Laplace方程：

由圓柱體表面的不可滲透邊界條件得

(1)

其中nb為圓柱體的外法向量。

由伯努利原理得圓柱體表面壓力P的表達(dá)式為

設(shè)ξ為波高，線性自由面動力學(xué)邊界條件和運動學(xué)自由面邊界條件分別為

(2)

(3)

初始條件滿足:φ(0)=0，ξ(0)=0。

2 勢流方程的邊界積分方法

考慮無限水深情況下，在邊界Sb和SF上任意一點q分布源流，依據(jù)LAMB[8]的理論，流場中任意一點p的總速度勢邊界積分方程可以表示為

(4)

其中q為源點，p為流域中的任意一點，σb為圓柱體表面分布的源強，σF為自由面分布的源強。

2.1 圓柱體邊界積分方程的離散

將圓柱面剖分成Nb等份，自由面剖分成NF等份，如圖2所示，流域中的q點移至面板中點，對邊界積分方程(5)離散

圖2 圓柱體表面以及自由面的離散

(5)

其中σb,i∈Sb，σF,j∈SF，i=1，…，Nb，j=1，…，NF。

設(shè)圓柱體表面的節(jié)點pb,i=(xb,i,yb,i)，pb,i+1=(xb,i+1,yb,i+1)，i=1，…，Nb，則圓柱體表面上的源點、面板長度、面板單位切向量、面板單位法向量分別為

t時刻圓柱體表面第i個面板上的速度勢為

(6)

由圓柱體的不可滲透條件式(3)及式(6)得

(7)

其中nb,i為圓柱體每個面板的法向量。

2.2 自由面邊界積分方程的離散

設(shè)自由面邊界的節(jié)點pF,j=(xF,j,yF,j)，pF,j+1=(xF,j+1,yF,j+1)，j=1，…，NF。由于在靜止自由面上放置源點時，流體區(qū)域關(guān)于y軸對稱，y軸左右側(cè)源點放置方法相同，因此我們只對y軸右側(cè)源點的放置方法進(jìn)行討論。取NF=181，在y軸右側(cè)自由面放置90個源點，其中60個點放置在第一區(qū)域，30個點放置在第二區(qū)域。

第一區(qū)域的放置法

第二區(qū)域的放置法

其中αj的取值如表1所示。

表1 參數(shù)αj的取值

自由面SF上的源點、面板長度、面板單位切向量分別為

由公式(6)得，t時刻自由面第j個面板上的速度勢為

(8)

式(8)關(guān)于y的偏導(dǎo)為

(9)

為獲得任意時刻t自由面上第j個面板的流體速度勢φ和波高ξ，在初始條件下，采用二階亞當(dāng)斯-貝希霍斯迭代對方程(2)和(3)進(jìn)行反復(fù)迭代。

下面給出自由面速度勢φ和波高ξ的迭代算法步驟，其中Δt是時間步長。

(1)給出初始條件φ(0)=0，ξ(0)=0。

(2)當(dāng)t=1時，采用下面的一階向前歐拉公式迭代得到下一時刻的速度勢φ和波高ξ：

ξ(0+Δt)=vF(pF,j,0)Δt，

φ(0+Δt)=-gξ(0)Δt。

(3)當(dāng)t>1時，采用下面的二階亞當(dāng)斯-貝?；羲癸@式公式，對速度勢φ和波高ξ進(jìn)行反復(fù)迭代：

2.3 邊界積分方程的求解

聯(lián)立式(7)和(8)得矩陣方程：Aσ=B，其中

系數(shù)矩陣A里面的分塊矩陣分別為

矩陣方程右端項為

bi=nb,i·V(pb,i,t),i=1,…,Nb，

3 數(shù)值算例

3.1 算法驗證

圖3 浸沒圓柱體垂直激勵下自由面波高與文獻(xiàn)的比較結(jié)果圖

3.2 數(shù)值結(jié)果與討論

3.2.1 不同激勵頻率、振幅、水深下圓柱體傾斜激勵自由面波高數(shù)值模擬

3.2.2 不同水深下浸沒圓柱體垂直激勵和傾斜激勵自由面波數(shù)值模擬

本節(jié)數(shù)值模擬不同浸沒深度下圓柱體垂直激勵和傾斜激勵產(chǎn)生的自由面波高區(qū)別，從圖5(a)可知當(dāng)h/R=1.5時，垂直激勵和傾斜激勵下自由面波的周期時間相同。但傾斜激勵下自由面波的波峰和波谷高度略大于垂直激勵傾斜激勵下自由面波的波峰和波谷高度。由圖5(b)可知，當(dāng)h/R=1.0，垂直激勵下自由面波的振幅以及周期時間明顯不同于傾斜激勵下自由面波的振幅以及周期時間，且傾斜激勵下波高隨時間變化增長的速度大于垂直激勵下波高隨時間變化增長的速度。在圖5(c)中，取h/R=0.5，與圖5(a)和(b)對比可得，浸沒深度越小，垂直激勵下自由面波的振幅以及周期時間與傾斜激勵下自由面波的振幅以及周期時間差別越明顯，且傾斜激勵下波高隨時間變化增長的速度明顯大于垂直激勵下波高隨時間變化速度增長的速度。從圖5(a)、(b)、(c)可以看到隨著浸沒深度的增大，自由面波的振幅變小，垂直激勵產(chǎn)生的自由面波和傾斜激勵產(chǎn)生的自由面波趨于一致。

h/R=1.5 h/R=1.0 h/R=0.5

3.2.3 不同水深下圓柱體水平激勵和傾斜激勵自由面波數(shù)值模擬

本節(jié)數(shù)值模擬不同浸沒深度下圓柱體水平激勵和傾斜激勵產(chǎn)生的自由面波高區(qū)別，從圖6(a)可知當(dāng)h/R=1.5時，傾斜激勵下自由面波的波峰和波谷高度大于水平激勵下自由面波的波峰和波谷高度。在圖6(b)中，取h/R=1.0，傾斜激勵下自由面波的振幅明顯大于水平激勵下自由面波的振幅，且傾斜激勵下波高隨時間變化增長的速度大于水平激勵下波高隨時間變化增長的速度。在圖6(c)中，取h/R=0.5，水平激勵與傾斜激勵下波高值較為接近，從t/T=2開始，二者的波高差距隨時間變化不斷增大。從圖6(a)、(b)、(c)可以看出隨著浸沒深度的減小，自由面波的振幅變大，水平激勵產(chǎn)生的自由面波趨近于傾斜激勵產(chǎn)生的自由面波。

h/R=1.5 h/R=1.0 h/R=0.5

3.2.4 不同激勵頻率、振幅、水深下圓柱體傾斜激勵圓柱體表面壓力數(shù)值模擬

4 小結(jié)

本文基于源面板法研究了浸沒圓柱體傾斜激勵下圓柱體表面壓力與波高的水動力學(xué)特性，通過數(shù)值實驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：

(1)當(dāng)浸沒圓柱體傾斜激勵時，圓柱體表面壓力在不同時刻取值不同，隨著激勵頻率、振幅以及浸沒深度的增大而增大。自由面波高隨時間先增長后趨于穩(wěn)定，呈線性變化，激勵頻率和振幅越大浸沒深度越小，自由面波的振動幅度越大，波高隨時間變化呈增長狀態(tài)的時長越短。

(2)圓柱體垂直激勵下，浸沒深度越大，自由面波高隨時間變化增長越緩慢，越趨近于浸沒圓柱體傾斜激勵下自由面波的變化規(guī)律。

(3)圓柱體水平激勵下，浸沒深度越小，自由面波高隨時間變化呈增長的狀態(tài)越明顯，越趨近于浸沒圓柱體傾斜激勵下自由面波的變化規(guī)律。