趙小銀， 楊 柳

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

金融衍生品定價理論是金融工程領(lǐng)域的重要組成部分，它促進(jìn)了金融市場的發(fā)展。波動率是對原生資產(chǎn)回報率變化程度的度量指標(biāo)。就某種程度而言，波動率是決定資產(chǎn)價格的重要因素，市場變化程度越劇烈，其波動率也就越高。通常，人們把由單個期權(quán)價格推導(dǎo)出的原生資產(chǎn)的波動率稱為隱含波動率。許多研究表明隱含波動率是由資產(chǎn)價格與交割日期共同決定的函數(shù)。

衍生產(chǎn)品的定價始于對其原生資產(chǎn)價格過程的合理建模。假設(shè)在風(fēng)險中性測度下，原生資產(chǎn)遵循均值回歸過程(Schwartz模型[1])

dS=β(κ-lnS)Sdt+σSdW,

令C(S,t;K,T)表示原生資產(chǎn)S在t時的歐式看漲期權(quán)價格，W是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，參數(shù)σ被稱為原生資產(chǎn)的局部波動率，K為敲定價格，T為到期日。對于上式，運用It-Doeblin公式，可以得到期權(quán)價格C(S,t;K,T)滿足以下偏微分方程：

其中，r為無風(fēng)險利率。利用基本解的已知性質(zhì)，對局部波動率σ僅為S函數(shù)的情況，令G(S,t;K,T)=CKK(S,t;K,T)，將原問題轉(zhuǎn)化為帶終端觀測值的標(biāo)準(zhǔn)反拋物問題：

這里，δ(S-K)為Diracδ函數(shù)。G(S,t;K,T)是上式的基本解，則G作為(K,T)的函數(shù)，它是上式共軛問題的基本解，即

接下來，令τ=T-t，則u(S,t;K,τ)=CK的函數(shù)滿足

這里，H是Heviside函數(shù)。

作變換

問題P1以下為二階拋物型方程的初邊值問題：

(1)

其中，|b|b1，|b|b2(b1和b2是兩個已知的常數(shù)是期權(quán)價格，a(y)是(1)中的一個未知系數(shù)，即隱含波動率。附加條件為

在上述問題中，y∈R，因此該問題是一個無界區(qū)域問題，不利于數(shù)值計算。考慮到這一點，我們將問題轉(zhuǎn)化為有界區(qū)域y∈[-L,L]的近似問題，其中L是一個較大的正數(shù)。又因為H(y)-1∈L1(-L,L)，所以其一階導(dǎo)數(shù)是一個Diracδ函數(shù)，在之后的證明中較難處理。而C∞(-L,L)在L1(-L,L)中是稠密的，因此，選擇ψ(y)∈C∞(-L,L)，使‖ψ(y)-(H(y)-1)‖L1<ε，ε>0是一個充分小的正數(shù)。繼而又將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，其可以表示成以下形式：

問題P考慮二階拋物型方程的初邊值問題：

(2)

其中，U是期權(quán)價格，a(y)是(2)中的一個未知系數(shù)，即隱含波動率。附加條件為

U(τ*,y)=U*(y),y∈[-L,L]。

如何根據(jù)以上內(nèi)容確定函數(shù)U和a(y)使其滿足(2)？

在工業(yè)、物理、金融和一些其它應(yīng)用領(lǐng)域中，拋物型方程的反問題得到了廣泛關(guān)注。金融衍生物是一種風(fēng)險管理的工具，它的價值依賴于原生資產(chǎn)的價格變化。1964年，P.Samuelson提出了與時間相關(guān)的原生資產(chǎn)的隨機微分方程：

dSt=μ(t,St)Stdt+σ(t,St)StdWt,

其中，Wt是布朗運動，參數(shù)μ(t,S)和σ(t,S)被稱為漂移率和原生資產(chǎn)的局部波動率。

Fischer Black和Myron Scholes[2]首先發(fā)現(xiàn)了如何構(gòu)造衍生證券和原生資產(chǎn)的動態(tài)投資組合∏t。通過Ito引理，衍生證券u(t,S)的隨機行為滿足以下隨機微分方程：

在沒有套利機會的情況下，該投資組合的即時收益必須等于利率，即風(fēng)險較低的資產(chǎn)(如銀行存款)收益。因此，此等式采用以下偏微分方程的形式：

其中，無風(fēng)險利率r和紅利率δ是已知的常數(shù)。

正問題與反問題有著根本的區(qū)別。在一般情況下，逆問題在Hadamard意義下都是不適定的，而正問題則是適定的。如果一個物理問題的數(shù)學(xué)模型被稱為適定的，則它具有以下三個性質(zhì)：問題的解存在；問題的解只有一個；解持續(xù)依賴于數(shù)據(jù)即穩(wěn)定性(見參考文獻(xiàn)[3，4，5])。關(guān)于求解不適定問題，可以從最優(yōu)控制理論的角度出發(fā)進(jìn)行處理。Lions和Magenes[6]對描述分布參數(shù)系統(tǒng)的偏微分方程(橢圓型、拋物型和雙曲型)的定解理論作了深入研究，通過引入變分不等式等工具，探討了各類典型二階性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題。楊曉清[7]研究了Fitzhugh-Nagumo方程的最優(yōu)非線性邊界和分布控制問題：

首先利用Schauder不動點定理證明上述控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程初邊值問題的適定性，然后運用變分思想證明最優(yōu)解的存在性，最后利用映射的可微性證明得到必要最優(yōu)條件。

在文獻(xiàn)[8]和[9]中，利用最優(yōu)控制原理，從當(dāng)前期權(quán)市場中，確定了方程

uτ-a(y)(uyy-uy)+(r-q)uy=0,y∈R,τ∈(0,τ*)

的波動率a(y)，并得到了一個穩(wěn)定算法。

在文獻(xiàn)[10]中，基于最優(yōu)控制原理，研究了與黃金價格相關(guān)聯(lián)的金融產(chǎn)品隱含波動率的反問題

并給出了一些數(shù)值實驗。數(shù)值結(jié)果表明，算法是穩(wěn)定有效的。

在文獻(xiàn)[11]中，基于Black-Scholes模型推導(dǎo)出了一個新的模型

V(τ*,y)=V*(y),y∈ω?R,

該模型是一種套利模型，應(yīng)用微局部分析法，證明了在金融市場上其解f(y)的唯一性。最后，重構(gòu)了漂移率，提出并測試了該模型的數(shù)值算法。

本文利用最優(yōu)控制框架(參見[12])討論問題P。在第1節(jié)和第2節(jié)中，我們將問題P轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題P2，并證明了控制泛函極小元的存在性。在此期間，為了理論證明簡單化，我們將非齊次問題P轉(zhuǎn)化為齊次問題。在第3節(jié)中，我們得到了極小元必須滿足的必要條件。在最后一節(jié)中，我們證明了極小元是局部唯一的。

1 最優(yōu)控制問題

考慮以下最優(yōu)控制問題P2：

(3)

這里，

(4)

對于給定的a∈A，U(y,τ)是問題(2)的解，N是正則化參數(shù)。考慮隱含波動率的“微笑”或“偏斜”效應(yīng)(見參考文獻(xiàn)[13-14])，假設(shè)0<α0a(y)α1(α0和α1是兩個已知的常數(shù))是合理的。

對于給定的a∈A，我們從Sobolev嵌入定理知道，a∈C1/2(-L,L)和‖a‖C1/2(-L,L)C(這里C為一個常數(shù))。拋物型方程的已知理論(見[15])保證了初邊值問題(2)的唯一解U(y,τ)∈Cα,α/2((-L,L)×[0,τ*])∩C2+α,1+α/2(((-L,L){0}×[0,τ*])。

(5)

引理1.1如果W(y,τ)是初邊值問題(5)的解。那么

(6)

該引理的證明是標(biāo)準(zhǔn)的。

引理1.2如果U(y,τ)是初邊值問題(2)的解，那么

(7)

2 存在性

證明設(shè)(Un,an)是極小化序列。因為J(an)C，推斷

‖an‖L2(-L,L)C(常數(shù)C與n無關(guān))。

利用soblev嵌入定理，我們得到了‖an‖C1/2(-L,L)C。

所以，

‖Un(y,τ)‖C2+1/2,1+1/4(ω)C, ?ω??Q,

其中，Q=(-L,L)×[0,τ*]。

3 必要條件

定理3.1設(shè)a為最優(yōu)控制問題(3)的解。則存在滿足以下系統(tǒng)的三元組(U,V;a)

(8)

(9)

和

(10)

對任意h∈A都成立。

證明對于任給h∈A，0δ1，有aδ≡(1-δ)a+δh∈A。

設(shè)Uδ是初邊值問題(2)當(dāng)a=aδ的解。因為a是最優(yōu)解，因此根據(jù)(4)式可以得到

(11)

(12)

(13)

從(11)式中，我們可以推得

。

(14)

假設(shè)V是下列方程組的解：

(15)

由(13)式和(15)式，得

(16)

又由于

(17)

結(jié)合(14)式、(16)式和(17)式，可以容易地獲得

。

(18)

定理3.1證明完畢。

4 唯一性結(jié)果

引理4.1對于任何有界連續(xù)函數(shù)f(y)∈C[-L,L]，我們有

其中y0是一個固定點。

證明|f(y)|

引理4.1證明完畢。

a1-a2=A,U1-U2=U,V1-V2=V,

那么U和V滿足

(19)

和

(20)

引理4.2如果Vi(y,τ),(i=1,2)是初邊值問題(9)的解，那么

,

(21)

(22)

和

。

(23)

該引理的證明是標(biāo)準(zhǔn)的。

引理4.3對于方程(19)，有估計

,

(24)

,

(25)

這里C是一個常數(shù)。

證明(24)式的證明是標(biāo)準(zhǔn)的。根據(jù)方程式(19)，對于0<ττ*，我們有

接下來，我們得到以下不等式：

利用Gronwall不等式，可知

引理4.3證明完畢。

引理4.4對于方程(20)，有估計

,

(26)

和

,

(27)

其中C是一個常數(shù)。

證明(26)式的證明是標(biāo)準(zhǔn)的，(27)式的證明與引理4.3的證明類似。

定理4.5假設(shè)a1(y)，a2(y)是最優(yōu)控制問題P2的兩個極小元。如果存在點y0使得

a1(y0)=a2(y0),

則當(dāng)τ*?1時，可以得到

a1(y)≡a2(y),對于任意的y∈[-L,L]。

(28)

(29)

從(28)式和(29)式中得

(30)

根據(jù)引理4.3，引理4.4和(30)式得到

(31)

由于引理1.2，我們有

(32)

(33)

由于引理4.2，我們有

(34)

(35)

(36)

(37)

從定理4.5的假設(shè)出發(fā)，存在一點y0∈[-L,L]使得

A(y0)=a1(y0)-a2(y0)=0

。

(38)

通過引理4.1，可知

。

(39)

從(30)式到(39)式，得到以下結(jié)論

。

(40)

當(dāng)τ*?1，使得

C2τ*

(41)

那么，我們可以得到

。

(42)

因此，

A=0

。

(43)

從假設(shè)A(y0)=0出發(fā)，可以得到

A(y)=a1(y)-a2(y)≡0

。

(44)

定理4.5證明完畢。

本文主要關(guān)注了基于均值回歸價格過程重構(gòu)隱含波動率的反問題。運用偏微分方程的最優(yōu)控制理論，討論了隱含波動率系數(shù)的存在性，并且證明了最優(yōu)解的局部唯一性。這些結(jié)果為數(shù)值仿真提供了強有力的理論基礎(chǔ)。在接下來的工作中，我們將利用金融市場上的一些具體觀測數(shù)據(jù)，結(jié)合計算機編程得到隱含波動率的數(shù)值解。這些結(jié)果可以用來預(yù)測未來金融衍生品的價格走勢，還可以為相關(guān)金融行業(yè)的從業(yè)者做出恰當(dāng)?shù)耐顿Y策略提供一些參考。