林志興, 楊忠鵬, 陳梅香, 晏瑜敏

( 莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院， 福建 莆田 351100 )

0 引言

由于正交矩陣具有良好的運(yùn)算性質(zhì)，所以一直受到學(xué)者們的關(guān)注.文獻(xiàn)[1]研究了用兩個(gè)未知的正交矩陣求解線性系統(tǒng)的問題，文獻(xiàn)[2-8]的作者分別研究了AX=B,XA=B和AXB=C等矩陣方程的對(duì)稱正交解和反對(duì)稱正交解問題，文獻(xiàn)[9-10]給出了如下一個(gè)3階的行列式為1的正交矩陣跡等式：

命題1設(shè)A為3階正交矩陣(記A=(al j)∈O3×3)， 行列式|A|=1， 則

受命題1啟發(fā)，本文從矩陣跡方程角度出發(fā)給出如下跡方程：

(1)

由例1可知命題1未包括跡方程(1)的全部正交解.以下本文將考慮更有意義的一般跡方程：

(2)

由例2可知A=(al j)∈O4×4是否為跡方程(2)的正交解與|A|=1沒有關(guān)系.基于上述問題，本文應(yīng)用正交矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形和不變性，給出跡方程(2)有正交解的充分必要條件及其對(duì)稱正交解的通解的顯示表達(dá)，并指出不存在反對(duì)稱正交解.為了討論方便，下面給出各記號(hào)的說明.

設(shè)C為復(fù)數(shù)域,R為實(shí)數(shù)域，Z為所有整數(shù)的集合.E(En)為(n階)單位矩陣，r(A)、AT、|A|、trA分別表示矩陣A的秩、轉(zhuǎn)置、行列式、跡.復(fù)數(shù)i∈C滿足i2=-1, 記|a|為a∈C的模.實(shí)矩陣A∈Rn ×n的特征多項(xiàng)式pA(x)=|xE-A|在C上的n個(gè)根(λ1,λ2,…,λn)為其特征值，且記σ(A)={λ1,λ2,…,λn}.如果ATA=E, 稱A∈Rn ×n為正交矩陣.On ×n、SOn ×n和IOn ×n分別為n階正交矩陣、對(duì)稱正交矩陣和特征值全為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)正交矩陣的集合.當(dāng)A∈Rn ×n滿足AT=-A=A-1時(shí)，稱其為反對(duì)稱正交矩陣，類似于文獻(xiàn)[2]用ASOn ×n表示n階反對(duì)稱正交矩陣的集合.以下總假設(shè)t,s分別為A=(al j)∈On ×n的特征值1和-1的重?cái)?shù)，k為A兩兩共軛的非實(shí)特征值的對(duì)數(shù).

1 正交矩陣為跡方程(2)的正交解的充要條件

引理1設(shè)A=(al j)∈On ×n,σ(A)={λ1,λ2,…,λn}， 則

|λj|=1,λj∈σ(A), 且 |A|=(-1)s, -1為A的s重特征值.

(3)

證明由文獻(xiàn)[9]和[11]知|λj|=1， 進(jìn)而由行列式性質(zhì)可知式(3)成立.

Q-1AQ=diag(Et,-Es,W1,…,Wk)=OA,t+s+2k=n,

(4)

且A∈SOn ×n?式(4)中k=0，A∈ASOn ×n?式(4)中t=s=0, 其中aj=0,bj=1,j=1,2,…,k.

證明由文獻(xiàn) [12-14]可得到正交標(biāo)準(zhǔn)形(4).由式(4)知A∈SOn ×n?式(4)中k=0,A∈ASOn ×n?式(4)中t=s=0, 其中aj=0,bj=1,j=1,2,…,k.

引理3[14]設(shè)A∈Rn×n,σ(A)={λ1,λ2,…,λn}， 則trA=-tr(-A),σ(-A)={-λ1,-λ2,…,-λn}， 且A∈On ×n?-A∈On ×n.

引理4設(shè)A∈Rn ×n, 如果pA(x)=|xE-A|=xn+c1xn -1+c2xn -2+…+cn -1x+cn, 則c1=

下面考慮跡方程(2)的“對(duì)偶”方程：

(5)

定理1設(shè)A=(al j)∈On ×n, 則：

(6)

(7)

A為矩陣跡方程(2)的正交解? (trA)2-2trA=trA2,

(8)

A為矩陣跡方程(5)的正交解? 2trA+(trA)2=trA2.

(9)

由式(6)即可得到式(8)，由式(5)和式(7)即可得到式(9).

式(6)和式(7)不僅給出了跡方程(2)和方程(5)有正交解A=(al j)∈On ×n的充要條件,而且還表明求解跡方程(2)和方程(5)的正交解就是確定矩陣跡方程(trA)2-2trA=trA2和(trA)2+2trA=trA2的正交解.因A和A2在跡相似下不變, 所以求跡方程(2)和方程(5)的正交解可轉(zhuǎn)化為對(duì)正交矩陣的正交標(biāo)準(zhǔn)形的研究.由定理1和引理3可得以下推論:

推論1設(shè)A=(al j)∈On ×n, 則A是跡方程(2)或方程(5)的正交解?OA是跡方程(2)或方程(5)的正交解，且A滿足跡方程(2)?B=-A滿足跡方程(5).

推論1說明跡方程(2)和方程(5)的正交解是互為確定的,因此本文只討論跡方程(2)的正交解.

2 跡方程(2)的所有特征值為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)的正交通解的顯示表達(dá)式

IOn ×n={A∈On ×n|OA=diag(Et,-Es,H2k)},t+s+2k=n.

(10)

引理5設(shè)A∈IOn ×n, 則:

trA=t-s∈Z, 0≤t,s≤n,A∈IOn ×n;

(11)

(12)

(13)

引理6設(shè)任意A∈IO2 ×2, 則A不滿足跡方程(2).

由引理6可知,討論IOn ×n的跡方程(2)的正交解時(shí)設(shè)n≥3是合理的.以下用UIOn ×n表示跡方程(2)的IOn ×n正交解集合.

定理2設(shè)A=(al j)∈IOn ×n,n≥3， 則A∈UIOn ×n， 即A為跡方程(2)的正交解?

(14)

式中s,t都是非負(fù)的,同時(shí)

或

(15)

(trA-1)2=trA2+1, 當(dāng)A∈UOn ×n時(shí).

(16)

(17)

由式(17)知

(18)

或

(19)

當(dāng)式(18)成立時(shí),如果k=0， 則由n≥3和式(18)得

其次證明充分性.當(dāng)式(14)成立且非負(fù)的t,s取式(15)的第1組數(shù)時(shí), 由式(11)得

由例3可以看出，用式(10)中的正交標(biāo)準(zhǔn)形無法判定是否A∈IOn ×n， 因此本文給出以下實(shí)用的判別方法.

引理7設(shè)A∈On ×n， 則A∈IOn ×n?A2∈SOn ×n.

(20)

由bj≠0和式(20)中的2ajbj=0可知aj=0, 進(jìn)而可知bj=±1.于是由引理2可知A的特征值為實(shí)數(shù)或純虛數(shù),即A∈IOn ×n.

由引理7知IOn ×n={A∈On ×n|A2∈SOn ×n}與式(10)等價(jià)，因此由定理2、引理8和推論1可得如下定理3成立.

定理3設(shè)A=(al j)∈On ×n,n≥3,A2∈SOn ×n,t和s由式(15)確定, 則

(21)

定理3給出了跡方程(2)的所有特征值為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)的正交解的簡單實(shí)用的判定方法.設(shè)USOn ×n、UASOn ×n分別是跡方程(2)的對(duì)稱正交解、反對(duì)稱正交解的集合，則由引理2和引理7、式(10)、定理2和定理3、推論1可得如下定理4成立.

定理4不僅給出了跡方程(2)存在對(duì)稱正交解的等價(jià)描述,還給出了跡方程(2)的對(duì)稱正交解的通解表達(dá).由引理2的結(jié)論和定理2可得定理5.

定理5不存在A∈ASOn ×n滿足跡方程(2),即跡方程(2)的反對(duì)稱正交解的集合UASOn ×n=?.

定理6設(shè)A=(al j)∈On ×n,n≥3, 且A2∈SOn ×n， 則A∈UOn ×n? 4|n或4|n-3 (4整除n或4整除n-3).

其次證明必要性.當(dāng)n≥3時(shí)，如果對(duì)某個(gè)n有UIOn ×n≠?且4|/n, 4|/n-3， 則必有4|n-1或4|n-2.當(dāng)存在正整數(shù)q使得n=4q+1, 且A∈UIOn ×n時(shí)，由式(14)知有整數(shù)l∈Z使得n-4k+1=4(q-k)+2=l2， 因此存在t∈Z使得l=2t∈Z.于是可知有4(q-k)+2=4t2， 進(jìn)而得到矛盾式1=2(t2-q+k).當(dāng)存在正整數(shù)q使得n=4q+2, 且A∈UIOn ×n時(shí)，由式(14)知有整數(shù)l∈Z使得n-4k+1=4(q-k)+3=l2, 因此存在t∈Z使得l=2t+1∈Z.于是可知有4(q-k)+3=4t2+4t+1, 進(jìn)而得到矛盾式 2=4(t2+t-q+k).必要性得證.

表1 滿足的非負(fù)整數(shù)k及其對(duì)應(yīng)的正交標(biāo)準(zhǔn)形

表1中數(shù)組(t,s,k)是正交標(biāo)準(zhǔn)形diag(Et,-Es,H2k)的簡單記法.由定理3和定理4知，當(dāng)n=5,6,9,10,13,14,17,18時(shí),相應(yīng)的UIOn ×n為空集，依此可列出3≤n≤20時(shí)矩陣跡方程(2)在相似意義下的UIOn ×n的全部元素.

由例4知，當(dāng)UIOn ×n=?時(shí),UOn ×n=?不一定成立.