摘 ?要：本節(jié)探討如何用數(shù)學的語言精確地刻畫數(shù)列無限變化的過程。強調(diào)極限是在求解精確解的問題中產(chǎn)生，以及利用極限解決問題的思想與方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列 ?函數(shù) ?極限

高等數(shù)學是為大學一年級新生開設(shè)的一門數(shù)學基礎(chǔ)課。而數(shù)學課程具有的較強理論性使得學生常常對其形成一種枯燥乏味的感受。如何結(jié)合實際背景，在傳統(tǒng)的數(shù)學課中注入豐富的數(shù)學思想與文化是高等數(shù)學教與學中一個值得探討的問題^[1]。

在同濟大學第7版的高等數(shù)學中，第一章第2節(jié)展開了對數(shù)列極限的分析^[2]。在前面的課程中我們介紹了函數(shù)的概念，這是定義在數(shù)集與數(shù)集之間的映射。而當輸入的數(shù)集為自然數(shù)集時即為一種特殊的函數(shù)：數(shù)列。由于數(shù)列的這一特殊性，其常常用來描述某些無限變化的過程問題，例如割圓術(shù)等。通過無限變化的過程來求解一些問題的精確解。這也是中國古代早期的樸素的極限思想的體現(xiàn)。古今中外的數(shù)學家都嘗試著描述這個無窮無盡的抽象的變化過程。那怎樣給出嚴格的數(shù)學形式的極限定義呢？這就是本節(jié)探討的主題。

一、極限思想的發(fā)展

首先，結(jié)合引例的分析引導學生感受極限思想的發(fā)展。例如《莊子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時代數(shù)學家劉徽使用割圓術(shù)，分割圓為192邊形，得：3.141024<π<3.142704。瑞典數(shù)學家科赫提出的“不斷生長”的科赫雪花。

但是如何給出嚴格的數(shù)學定義來刻畫數(shù)列的變化趨勢卻是一個長久未能解決的問題^[3]。這使微積分的發(fā)展產(chǎn)生了嚴重的危機。

二、數(shù)列極限的定義

刻畫數(shù)列在無限變化過程中的趨勢是一個比較抽象的過程。接下來，采用逐層深入的方式討論極限定義的提出過程。結(jié)合例題歸納出需要引入的變量。

例如：

三、數(shù)列極限的應用

最后，運用數(shù)列極限的定義判斷數(shù)列的斂散性，分析數(shù)列在無限變化過程中的精確解。并且，將數(shù)列的變化趨勢與實際問題的分析相結(jié)合^[4]。列舉不同類型的函數(shù)極限問題。首先討論學生比較熟悉的等比數(shù)列。探討其在無限變化過程中的變化趨勢，強調(diào)數(shù)列中的參數(shù)對數(shù)列斂散性的影響。接下來運用這一結(jié)論解釋與分析實際問題，加深大家對數(shù)列極限的理解。在極限的分析中注意啟發(fā)同學們提出問題，根據(jù)學生的想法及時調(diào)整講授內(nèi)容的側(cè)重點。其次，在極限的證明過程中以板書的形式與學生一起揣摩如何進行不等式的放縮。注意對常用技巧的理解與積累。運用對比的方式讓學生感受不同程度的放縮產(chǎn)生的差異性。

本節(jié)探討了數(shù)列極限的定義。采用了問題引導式的教學方法，結(jié)合極限思想的發(fā)展過程感受極限定義的嚴謹性與必要性。思考函數(shù)在無限變化過程的刻畫與分析方法。如何將其思想推廣到一般的函數(shù)情形，這是下一次課的內(nèi)容。

參考文獻

[1]左玲.淺談人工智能時代的工科數(shù)學教育[J].考試周刊，2018.

[2]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第七版上冊）[M].高等教育出版社，2018.

作者簡介

左玲（1981.8—），女，漢族，籍貫：湖北武漢，博士研究生，副教授，工作年限15年，湖北工業(yè)大學，理學院。