李世君,唐國強,杜詩雪

(桂林理工大學 理學院,廣西 桂林 541006)

0 引 言

食品加工制造、飲料制造、服裝家紡、白色家電、汽車整車等行業(yè)與人們的日常生活息息相關(guān)。隨著市場需求的轉(zhuǎn)變和國際競爭日趨激烈,食品行業(yè)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)亟待優(yōu)化;飲料行業(yè)進入穩(wěn)中有升時期,不再高速增長；服裝行業(yè)內(nèi)馬太效應(yīng)進一步加強,龍頭強者恒強；白色家電行業(yè)結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定；隨著汽車的普及,全國汽車行業(yè)形成了可以滿足不同消費層次需求的市場體系。對消費行業(yè)間風險度量及相依關(guān)系的研究有重要意義。

國內(nèi)外學者對風險度量及相依性進行了大量研究： 孫紅梅等[1]以歐洲金融危機為例, 采用GARCH模型與C-Vine Copula進行金融危機的傳導效應(yīng)研究； 韓超等[2]采用AR-GJR-GARCH模型結(jié)合廣義帕累托分布, 通過蒙特卡羅方法計算組合風險價值(VaR), 運用高維動態(tài)C-Vine和D-Vine Copula對外匯對數(shù)收益率進行實證研究； 姚登寶等[3]采用ARMA(1,1)-GJR-GARCH(1,1)-Copula模型從市場流動性和市場預(yù)期兩方面來分析動態(tài)相關(guān)結(jié)構(gòu)；吳智昊[4]基于變結(jié)構(gòu)Copula模型對股市和匯市之間的波動溢出效應(yīng)進行研究； 許啟發(fā)等[5]基于D-Vine Copula-分位數(shù)回歸對能源市場3種期貨商品和不同行業(yè)5只股票進行研究； 侯仲凱等[6]采用滾動時間窗衡量動態(tài)VaR, 構(gòu)建混合R-Vine Copula模型對次貸危機、 歐洲債務(wù)危機前后行業(yè)市場傳染效應(yīng)進行研究； 余樂安等[7]通過R-Vine Copula研究不同行業(yè)數(shù)據(jù)來分析國際油價與中美股價的相依關(guān)系；孫國華等[8]選擇恰當?shù)腃opula函數(shù)證明了兩種期貨收益率的下尾相關(guān)性強于上尾相關(guān)性；勞齊瑩等[9]基于VAR-VEC模型對我國大宗商品價格指數(shù)與生產(chǎn)者價格指數(shù)進行研究,發(fā)現(xiàn)二者之間存在長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系；Goel等[10]利用SCAR C-Vine Copula分析金融危機時的市場傳染效應(yīng);Bensa?da等[11]采用馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換C-Vine和D-Vine分解學生tCopula研究G7股票市場;Song等[12]使用Vine Copula與因子Copula對金磚國家、G7國家、G20國家進行風險研究。

現(xiàn)有研究多是對大盤指數(shù)和個股進行研究, 對大盤市場的研究很難對普通投資者有直接的貢獻,對個股研究又過于局限,很難給出一般性指導意見,基于此,本文站在普通投資者的角度,采用ARMA-GARCH偏t模型求取VaR與藤Copula模型結(jié)合對涉及“衣食住行”的五項行業(yè)進行研究。

1 理論模型介紹

1.1 ARMA(p,q)-GARCH(1,1)-偏t模型

ARMA(p,q)-GARCH(1,1)-偏t模型:

(1)

式中,rt為對數(shù)收益率；μ為均值；p為自回歸階數(shù)；q為移動平均階數(shù)；at為殘差項；σt為標準差；φi為自相關(guān)系數(shù)；θj為偏自相關(guān)系數(shù)；{εt}為獨立同分布零均值白噪聲序列；α0為截距項；α1為ARCH項；β1為GARCH項，α0>0,α1>0,β1>0, 0<α1+β1<1。

1.2 VaR的計算與檢驗

對數(shù)收益率序列在時刻t的觀察值記為rt,在[t,t+h]期間的損失記為Lt+h=-(rt+h-rt)=Δr(h)。FL是損失函數(shù)的累積分布函數(shù),記為FL(x)=P(L≤x)。VaR在顯著性水平α(常取1%和5%)下的值實際上就是FL的α分位數(shù)，即VaR表示滿足不等式FL(x)≥α的最小實數(shù)。

VaRα=inf(x|FL(x)≥α)。

(2)

多頭交易頭寸的情況下, 當交易資產(chǎn)價格下降時, 損失風險就會產(chǎn)生; 而在空頭交易頭寸的情況下, 資產(chǎn)價格上升時, 風險就會產(chǎn)生。 由于我國股市不允許做空機制, 所以僅考慮多頭位置建模。

如果序列εt是具有偏t分布的隨機變量, 自由度為ν, 那么條件分布的5%分位數(shù)是

VaR=μ+skstα,ν,εσ,

(3)

其中,skstα,ν,ε表示自由度為ν的偏t分布對應(yīng)的0.05分位數(shù)的臨界值。

假定計算VaR的顯著性水平為α, 研究天數(shù)為T, 失敗天數(shù)為N,N越接近T×α，表明效果越好。Kupiec[13]提出的檢驗為似然比檢驗

LR=2ln[(1-N/T)(T-N)(N/T)N]-

2ln[(1-p)(T-N)pN],

(4)

其中,LR統(tǒng)計量服從自由度為1的卡方分布, 用于檢驗實際失敗率與設(shè)定的顯著性水平是否相同, 依此檢驗?zāi)Ｐ偷膬?yōu)劣。

1.3 C-Vine Copula與D-Vine Copula模型

Nelsen[14]將Copula定義為“將多元分布函數(shù)與其一元邊際分布函數(shù)連接或耦合的函數(shù)”。 Copulas允許模擬具有不同特征的多種多變量分布,例如偏度、尾部依賴性等。在概率論方面,n維Copula定義為

C(u1,u2,…,un)=P(U1≤u1,U2≤u2,…,Un≤un),

(5)

其中,Ui(i=1,2,…,n)是定義在[0, 1]上的均勻分布。

Sklar定理: 令F(x1,x2,…,xn)表示變量x1,x2,…,xn的聯(lián)合分布函數(shù),其邊際分布函數(shù)為F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn), 則存在Copula函數(shù)C,使得

F(x1,x2,…,xn)=C[F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)]；

(6)

反之, 如果C是Copula函數(shù),F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)是一元分布函數(shù), 則F(x1,x2,…,xn)是一個聯(lián)合分布函數(shù), 邊際分布函數(shù)為F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)。

為解決二元Copula函數(shù)存在的“維數(shù)詛咒”問題,開始研究高維Vine-Copula模型,其以pair Copula為組織框架,能夠彌補二元Copula或多元Copula存在的諸多問題與不足,對多元變量之間的非線性相依關(guān)系進行靈活描述。

常規(guī)Vine分為C-Vine和D-Vine兩種。C-Vine具有星形結(jié)構(gòu),使用根節(jié)點處的特定變量捕獲變量之間的依賴性。在每個樹中,通過選擇根節(jié)點,并調(diào)節(jié)所有先前的根節(jié)點,相對于該節(jié)點建模形成所有節(jié)點的成對相依性。而D-Vine通過選擇變量的預(yù)先特定順序來構(gòu)造。

C-Vine和D-Vine的概率密度分別為

(7)

和

(8)

其中，f(x1,x2,…,xn)為概率密度函數(shù)；fs(xs)為邊緣密度函數(shù)；ci,i+j|i+1,…,i+j-1為Pair Copula密度函數(shù)。如5維C-Vine的一種密度函數(shù)為

c23|1×c24|1×c25|1×c34|12×c35|12×c45|123。

(9)

1.4 建模步驟

①獲取行業(yè)收盤價數(shù)據(jù),對收盤價序列進行取對數(shù)求差分處理,獲得對數(shù)收益率序列。

②對五項行業(yè)對數(shù)收益率序列進行基本的描述性統(tǒng)計,自相關(guān)與偏自相關(guān)檢驗、正態(tài)性檢驗、平穩(wěn)性檢驗、白噪聲檢驗、ARCH效應(yīng)檢驗,結(jié)果顯示適合采用ARMA(p,q)-GARCH(1,1)偏t模型。

③對五項行業(yè)構(gòu)建邊緣分布,采用auto.arima()函數(shù)構(gòu)建ARMA(p,q), 使其與GARCH(1,1)偏t模型相結(jié)合,模型很好地消除了自相關(guān)性與ARCH效應(yīng)。

④通過對邊緣分布產(chǎn)生的條件方差序列進行處理,求解VaR序列,并檢驗ARMA(p,q)-GARCH(1,1)偏t模型的風險度量效果。

⑤將VaR序列用經(jīng)驗累積分布函數(shù)進行轉(zhuǎn)換。

⑥對轉(zhuǎn)換后的VaR序列構(gòu)建C-Vine Copula與D-Vine Copula模型。

2 風險度量研究

2.1 數(shù)據(jù)來源及預(yù)處理

選取食品加工制造(881134)、 飲料制造(881133)、 服裝家紡(881136)、 白色家電(881131)、 汽車整車(881125)五項行業(yè)板塊指數(shù)2007年8月1日—2019年6月20日的日收盤價作為研究樣本, 共2 891個交易數(shù)據(jù), 數(shù)據(jù)來源于同花順客戶端, 所選行業(yè)涉及“吃、 穿、 住、 行”。 采用日對數(shù)收益率進行分析, 日對數(shù)收益率定義為rt=lncpt-lncpt-1,cpt為第t日的收盤價,日對數(shù)收益率的數(shù)據(jù)量為2 890個。本文僅考慮多頭位置建模。研究結(jié)果由R語言得出。

2.2 基本描述性統(tǒng)計

食品加工制造行業(yè)、飲料制造行業(yè)、服裝家紡行業(yè)、白色家電行業(yè)、汽車整車行業(yè)等五項行業(yè)板塊指數(shù)收盤價走勢圖如圖1所示?？梢钥闯?食品加工制造行業(yè)、服裝家紡行業(yè)與白色家電行業(yè)(圖1a、c、d)波動范圍較為一致, 飲料制造行業(yè)與汽車整車行業(yè)(圖1b、e)波動范圍較為一致。

圖1 五項行業(yè)板塊指數(shù)收盤價走勢圖Fig.1 Closing price chart of five industry sector index

對五項行業(yè)指數(shù)收盤價數(shù)據(jù)作取對數(shù)求差分處理,繪制對數(shù)收益率時序圖, 如圖2所示。 可以看出,五項行業(yè)板塊指數(shù)日對數(shù)收益率序列在0上下波動,波動范圍大致是-0.10～0.10。存在波動聚集現(xiàn)象,即大幅波動后面是大幅波動,小幅波動后面是小幅波動。在2007與2015年期間存在大幅波動,對應(yīng)于我國股市的牛市期間,牛熊轉(zhuǎn)化過程中,振幅變大。

圖2 五項行業(yè)板塊指數(shù)日對數(shù)收益率時序圖Fig.2 Timing chart of five industry sector index daily logarithmic yield

五項行業(yè)指數(shù)日對數(shù)收益率基本特征見表1,可知,五項行業(yè)指數(shù)日對數(shù)收益率均值均大于0,食品加工制造行業(yè)均值最大為0.000 460,汽車整車行業(yè)均值最小為0.000 070,偏度均小于0,峰度均大于3,呈現(xiàn)出左偏、尖峰厚尾特征。樣本量為2 890,不存在缺失值,中位數(shù)均接近0,波動范圍與通過圖2觀察所得一致。

表1 五項行業(yè)指數(shù)日對數(shù)收益率基本特征Table 1 Basic characteristics of daily logarithmic yield of five industry indices

2.3 相關(guān)統(tǒng)計檢驗

由R語言繪出自相關(guān)與偏自相關(guān)圖,如圖3、圖4所示,探討食品加工制造行業(yè)、 飲料制造行業(yè)、服裝家紡行業(yè)、白色家電行業(yè)、汽車整車行業(yè)對數(shù)收益率序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)性。

由圖3可知, 五項行業(yè)均存在自相關(guān)性; 由圖4可知, 五項行業(yè)均存在偏自相關(guān)性。

圖3 五項行業(yè)板塊指數(shù)日對數(shù)收益率自相關(guān)圖Fig.3 Return autocorrelation chart of five-item sector index daily logarithmic rate

圖4 五項行業(yè)板塊指數(shù)日對數(shù)收益率偏自相關(guān)圖Fig.4 Bias autocorrelation chart of five industry sector index daily logarithmic yield

對五項行業(yè)作基本的統(tǒng)計檢驗,結(jié)果見表2～4。由表2可知,正態(tài)性檢驗的p值均小于0.05,五項行業(yè)均拒絕對數(shù)收益率序列服從正態(tài)分布的原假設(shè);由表3可知,平穩(wěn)性檢驗與白噪聲檢驗的p值均小于0.05,拒絕存在單位根和序列為白噪聲的原假設(shè);由表4可知,ARCH效應(yīng)檢驗的p值均小于0.05,五項行業(yè)均存在ARCH效應(yīng)。五項行業(yè)指數(shù)對數(shù)收益率均為平穩(wěn)非正態(tài)非白噪聲序列,具有ARCH效應(yīng)。

表2 Jarque-Bera正態(tài)性檢驗表Table 2 Jarque-Bera normality test

表3 平穩(wěn)性檢驗與白噪聲檢驗表Table 3 Stationarity test and white noise test

表4 ARCH效應(yīng)檢驗表Table 4 ARCH effect check list

2.4 邊緣分布構(gòu)建

通過auto.arima()函數(shù)對五項行業(yè)自動選取ARMA(p,q)模型:食品加工制造行業(yè)選取ARMA(1,1),飲料制造行業(yè)選取ARMA(2, 3), 服裝家紡行業(yè)選取ARMA(1,1),白色家電行業(yè)選取ARMA(0,3),汽車整車行業(yè)選取ARMA(1,1)。

對五項行業(yè)分別構(gòu)建ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-偏t模型, ARMA(2,3)-GARCH(1,1)-偏t模型,ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-偏t模型, ARMA(0,3)-GARCH(1,1)-偏t模型,ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-偏t模型。 通過構(gòu)建ARMA(p,q)-GARCH(1,1)偏t模型,條件均值方程消除了自相關(guān)與偏自相關(guān),條件方差方程消除了ARCH效應(yīng)。

為檢驗?zāi)Ｐ蛿M合效果, 以食品加工制造行業(yè)為例, 利用R語言生成食品加工制造行業(yè)的擬合效果圖, 如圖5所示。 從圖5f可以看出, 邊緣分布擬合效果很好。 由標準殘差自相關(guān)圖(圖5c)、 標準殘差平方項的自相關(guān)圖(圖5d)可以得出ARCH效應(yīng)已消除。

圖5 食品加工制造行業(yè)ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-偏t模型擬合圖Fig.5 ARMA (1,1)-GARCH (1,1)-partial t model fitting map for food processing and manufacturing industry

2.5 VaR求解與Kupiec 檢驗

食品加工制造行業(yè)日收益率與VaR(99%)對比圖(圖6)表明，在99%的置信水平下, ARMA(1,1)-GARCH(1,1)-偏t模型進行的食品加工制造行業(yè)的風險度量效果較好, 其他行業(yè)亦如此。 對五項行業(yè)指數(shù)的構(gòu)建模型進行Kupiec檢驗,結(jié)果如表5所示,模型所對應(yīng)的失敗天數(shù)越接近期望失敗天數(shù),表示模型擬合效果越好。 cc.LRp在5%的顯著性水平下均大于0.05,在1%的顯著性水平下均大于0.01,表明采用上述模型對五項行業(yè)擬合是合適的。

圖6 食品加工制造行業(yè)日收益率與VaR(99%)對比Fig.6 Comparison of daily yield and VaR(99%) in the food processing and manufacturing industry

表5 各模型的Kupiec檢驗結(jié)果Table 5 Kupiec test results for each model

3 風險相依性研究

3.1 五項行業(yè)相關(guān)性研究

通過邊緣分布擬合求得99%置信水平下的VaR,使用經(jīng)驗累積分布函數(shù)將其轉(zhuǎn)化,對其求Kendall秩相關(guān)系數(shù),如圖7所示。

圖7 五項行業(yè)VaR之間kendall秩相關(guān)系數(shù)圖Fig.7 Kendall rank correlation coefficients among five industry VaR

可以看出,五項行業(yè)VaR之間相關(guān)系數(shù)均大于0,均為正相關(guān)。食品加工制造行業(yè)與服裝家紡行業(yè),服裝家紡與白色家電行業(yè)相關(guān)性最強,相關(guān)系數(shù)為0.81。這說明吃好和穿好息息相關(guān),穿好與住好緊密相連。飲料制造與汽車整車行業(yè)相關(guān)性最弱,相關(guān)系數(shù)為0.67，最大可能損失之間風險傳染性最低的也是飲料制造行業(yè)與汽車整車行業(yè)。汽車整車與其他四項行業(yè)相關(guān)系數(shù)較小,均表明人們考慮問題的優(yōu)先級,即先保障吃穿住,再完善其他。

3.2 C-Vine Copula 與D-Vine Copula的應(yīng)用

使用C-Vine Copula對轉(zhuǎn)換之后的VaR序列進行分析,如圖8所示。

圖8 C-Vine Copula生成樹Fig.8 C-Vine Copula spanning trees

C-Vine Copula構(gòu)建了4棵樹,其中,數(shù)字1代表食品加工制造；2代表飲料制造；3代表服裝家紡；4代表白色家電；5代表汽車整車。由第1棵樹可知五項行業(yè)中最大可能損失之間風險傳遞的中心行業(yè)是服裝家紡行業(yè),第4棵樹在給定服裝家紡、白色家電、汽車整車的情況下,食品加工制造與飲料制造相連接,表明食品加工制造與飲料制造間相關(guān)性很弱。這與圖7所顯示結(jié)果并不一致,而且與常識不符。雙重矛盾表明了C-Vine Copula模型并不是處理此類相關(guān)性的最優(yōu)選擇。若僅是找出風險傳染的中心行業(yè),C-Vine Copula模型是適用的,更進一步的研究則顯得無能為力。因此,采用D-Vine Copula模型來進行研究,利用R語言生成D-Vine Copula生成樹,如圖9所示。

圖9 D-Vine Copula 生成樹Fig.9 D-Vine Copula spanning trees

D-Vine Copula構(gòu)建了4棵樹,由第1棵樹可知飲料制造、汽車整車僅與一個行業(yè)相連,且飲料制造與汽車整車處于首尾但不相連的地位;由第4棵樹可知,在給定食品加工制造、服裝家紡、白色家電的情況下,飲料制造與汽車整車相連接,且tau值為0.13;以上兩點均表明飲料制造與汽車整車行業(yè)相關(guān)性很弱,與圖7所表達結(jié)果一致。人們多是在滿足基本的吃飽穿暖住好的情況下再去考慮其他,吃飽穿暖住好即對應(yīng)食品加工制造、服裝家紡、白色家電。五項行業(yè)間存在不同相依性的原因在于不同社會階層所迫切需要的服務(wù)是不同的,食品加工制造、服裝家紡、白色家電多對應(yīng)于中低端階層,且相關(guān)性較強。而飲料制造與汽車整車多對應(yīng)于高端階層,但相關(guān)性較低。飲料制造以茅臺為代表,汽車整車行業(yè)以新能源汽車為代表。茅臺代表的是傳統(tǒng)行業(yè),新能源汽車代表新興行業(yè),傳統(tǒng)與新興的關(guān)系必不會如同傳統(tǒng)行業(yè)內(nèi)部一樣強烈。

綜合圖7～9分析,圖7與圖9一致性更高,即D-Vine Copula模型表現(xiàn)更好,更能刻畫五項行業(yè)的相依關(guān)系?，F(xiàn)實當中很難出現(xiàn)某一行業(yè)為風險中心,向不同行業(yè)進行風險傳染,大都是鏈式結(jié)構(gòu),即D-Vine Copula的形式。

4 結(jié) 論

采用ARMA-GARCH-偏t模型構(gòu)建邊緣分布,求得VaR并檢驗,對VaR序列采用經(jīng)驗累積分布函數(shù)變換,利用C-Vine Copula與D-Vine Copula模型對VaR進行相依性研究,C-Vine Copula表明服裝家紡行業(yè)為風險傳遞的中心行業(yè);D-Vine Copula表明飲料制造與汽車整車相關(guān)性最弱。D-Vine Copula相比于C-Vine Copula更能體現(xiàn)風險傳染的相依性。

本文創(chuàng)新性的將ARMA-GARCH-偏t模型求得的VaR應(yīng)用于風險的相依性研究,區(qū)別于以往利用收益率數(shù)據(jù)進行相依性研究,更能體現(xiàn)風險的相依性;局限性在于本文僅選擇5個行業(yè)進行分析,未考慮到其他行業(yè)沖擊帶來的影響,僅從數(shù)據(jù)進行分析,未考慮突發(fā)事件,政策等因素的影響。進一步研究可將重大事件、政策的影響進行數(shù)據(jù)化,作為變量納入分析,形成類似于恐慌指數(shù)(VIX)一樣的指標。