◇ 山東 曲開(kāi)菊

天體運(yùn)動(dòng)中涉及的“三星”問(wèn)題，通常情況下以三顆星體質(zhì)量相等為前提，以兩種運(yùn)動(dòng)形式呈現(xiàn).第一種形式是三顆星在同一條直線上，兩邊的兩顆星繞著中間一顆星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；第二種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，繞等邊三角形的中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如果三顆星質(zhì)量不等，又該如何分析解決呢?

1 直線型質(zhì)量不等三星問(wèn)題

例1在宇宙中，單獨(dú)存在的恒星占少數(shù)，更多的是雙星、三星甚至多星系統(tǒng).如圖1所示為一個(gè)簡(jiǎn)化的直線三星系統(tǒng)模型：其中a、b 星球質(zhì)量為m，c 星球質(zhì)量為2m，a、b 兩個(gè)星球繞處于二者中心的c 星球做半徑為r 的勻速圓周運(yùn)動(dòng).已知引力常量為G，忽略其他星體的引力作用，則下列說(shuō)法正確的是( ).

圖1

D.若因某種原因c 星球的質(zhì)量緩慢減小，則星球a、b 的線速度均將緩慢增大

a 星球所受的c、b 兩星體萬(wàn)有引力的合力提供了其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有解得故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤；對(duì)a 星球有故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)b 星球有解得T＝故選項(xiàng)C正確；若因某種原因c 星球的質(zhì)量緩慢減小，則星球a、b 做離心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑變大，所以線速度均將緩慢減小，故選項(xiàng)D 錯(cuò)誤.

2 正三角形質(zhì)量不等三星問(wèn)題

例2由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對(duì)它們的作用，其中有一種運(yùn)動(dòng)形式：三顆星體在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，分別位于一等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同圓心O 在等邊三角形所在的平面內(nèi)做角速度相同的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所示.已知A 星體質(zhì)量為2m，B、C 兩星體質(zhì)量均為m，AD 為BC 邊的中垂線，三角形的邊長(zhǎng)為a.下列說(shuō)法正確的是( ).

A.圓心O 在中垂線AD 中點(diǎn)處

圖2

圓心位置的確定：由于B、C 兩星體質(zhì)量相等，則A 星體所受B、C 兩星體萬(wàn)有引力的合力必定在AD 線上.再對(duì)B 星體進(jìn)行受力分析，假設(shè)C 星體對(duì)B 星體的萬(wàn)有引力為F，則A 星體對(duì)B星體的萬(wàn)有引力為2F，由力的合成，作出平行四邊形如圖3所示，平行四邊形對(duì)角線與AD 交于點(diǎn)O，根據(jù)平行四邊形的規(guī)律可知兩對(duì)角線的交點(diǎn)就是對(duì)角線的中點(diǎn)，故圓心O 在中垂線AD 的中點(diǎn)處.選項(xiàng)A 正確.B、C 兩 星 體 對(duì)A 的 引 力FBA＝所受合力為選項(xiàng)B 錯(cuò)誤.在Rt△OCD 中，由勾股定理得其中選項(xiàng)C錯(cuò)誤.A 星體所受的B、C 兩星體萬(wàn)有引力的合力提供了其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則選項(xiàng)D 正確.

圖3

對(duì)于不等質(zhì)量的三星問(wèn)題，解題的思路依然為找到每個(gè)星體的向心力來(lái)源，再結(jié)合力的合成、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、幾何關(guān)系進(jìn)行求解.