張新宇，張軍，吳國榮，賈子君

基于數(shù)學(xué)建模思想構(gòu)建概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的知識結(jié)構(gòu)

張新宇，張軍，吳國榮，賈子君

（內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010018）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是高等院校理工類、經(jīng)濟(jì)管理類和農(nóng)林類專業(yè)均需要學(xué)習(xí)的一門大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程．分析當(dāng)前概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學(xué)現(xiàn)狀，運用課堂的理論教學(xué)與實踐應(yīng)用相融合的教學(xué)手段，探討使用一種基于數(shù)學(xué)建模思想構(gòu)建課堂知識結(jié)構(gòu)的新型教學(xué)模式．該模式通過對數(shù)學(xué)建模實例的引入激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)出所學(xué)理論知識，通過對實例的深入分析，幫助學(xué)生構(gòu)建對應(yīng)理論知識的框架結(jié)構(gòu)．通過理論知識與實踐應(yīng)用的相互結(jié)合，培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用理論知識解決實際問題的創(chuàng)新能力，提高了其實踐水平．

概率論與數(shù)理統(tǒng)計；數(shù)學(xué)建模；理論教學(xué)；實踐應(yīng)用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是各高校大部分專業(yè)都需要學(xué)習(xí)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，需要清晰的邏輯思維能力以及數(shù)學(xué)符號的解讀能力．目前，在授課中存在著重理論輕應(yīng)用的問題，很多教師過于追求數(shù)學(xué)體系本身的完整性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，卻忽略了數(shù)學(xué)的根源與歸宿問題，導(dǎo)致很多學(xué)生被課程中大量艱澀難懂的定義和定理阻撓，無法克服學(xué)習(xí)的恐懼，失去了對該門課程的學(xué)習(xí)興趣，更談不上后續(xù)的應(yīng)用以及創(chuàng)新．這樣的教學(xué)模式顯然已經(jīng)無法適應(yīng)當(dāng)前階段培養(yǎng)創(chuàng)新復(fù)合型人才培養(yǎng)目標(biāo)的要求，對此中國科學(xué)院李大潛院士就提出了將數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)主干課程的實踐教學(xué)中的建議[1]．在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學(xué)實踐中，通過數(shù)學(xué)建模的思想來解決實際問題，能讓學(xué)生感受到概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程不只是通過復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號傳遞知識，也可以應(yīng)用在實踐中解決實際問題．

使用實例引導(dǎo)課堂知識內(nèi)容結(jié)構(gòu)的建立，將數(shù)學(xué)建模思想融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中是非常重要的教學(xué)模式．目前，越來越多的高校開始注重數(shù)學(xué)建模相關(guān)內(nèi)容的建設(shè)，鼓勵各專業(yè)學(xué)生積極參加數(shù)學(xué)建模相關(guān)比賽，隨著參加人數(shù)的日益增多，規(guī)模逐漸擴(kuò)大，影響力日漸加強(qiáng)．參加該類比賽能夠培養(yǎng)參賽學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，但由于比賽規(guī)模的限制以及參賽水平的制約，能夠獲益的大學(xué)生只能說是很小一部分．因此，要想全面提高高校大學(xué)生創(chuàng)新能力以及實踐水平，必須要以大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程為載體，融入數(shù)學(xué)建模的思想方法，而不是將兩者脫離開來．將數(shù)學(xué)建模思想融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)實踐之中是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程改革的必經(jīng)之路，在教學(xué)方法的探索中，很多教師都提出在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的理論知識講解中插入與之相關(guān)的數(shù)學(xué)建模案例，以例題形式介紹該理論的實用性[2-3]，從教師的教與學(xué)生的學(xué)等不同的測度分析闡述將數(shù)學(xué)建模思想引入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的必要性和重要性[4-6]，探討在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)實踐過程中，將兩者相結(jié)合時會遇到的一些問題，并且給出了一些相應(yīng)的解決措施[7-9]．

本文總結(jié)了用數(shù)學(xué)建模實例引導(dǎo)課堂理論知識結(jié)構(gòu)建立的新型教學(xué)模式，使數(shù)學(xué)建模的案例不再是幾道例題中的背景，而是要建構(gòu)起一節(jié)完整教學(xué)內(nèi)容的框架，形成結(jié)構(gòu)完整的邏輯思維，并且將數(shù)學(xué)建模的每一步都與課堂教學(xué)充分融合．在探索實際案例的過程中，以學(xué)生為中心，教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模的思想形成新知識的框架，最終達(dá)到解決實際問題的目標(biāo)．

1　用數(shù)學(xué)建模實例引導(dǎo)課堂理論知識結(jié)構(gòu)建立的新型教學(xué)模式

數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，它不應(yīng)使學(xué)生僅學(xué)到一些數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論，而應(yīng)使學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的精神實質(zhì)和思想方法．以培養(yǎng)創(chuàng)新型、應(yīng)用型人才為目標(biāo)，總結(jié)出用數(shù)學(xué)建模實例引導(dǎo)課堂理論知識結(jié)構(gòu)建立的新型教學(xué)模式，該模式分為3個階段，具體構(gòu)成見圖1．

圖1　用數(shù)學(xué)建模實例引導(dǎo)課堂理論知識結(jié)構(gòu)建立的新型教學(xué)模式

1.1　以數(shù)學(xué)建模實例引入教學(xué)新知識

在傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，教師總是使用一些機(jī)械枯燥的開場白引入新知識的內(nèi)容，純理論的講解使得課堂氛圍比較沉悶．如果能夠以實例為背景，以一個生動有趣的故事或者問題作為一堂數(shù)學(xué)課的開端，不僅可以調(diào)動課堂氣氛，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可以將理論知識有機(jī)地融入到實際問題中，將理論與實踐完美地結(jié)合．

在講授假設(shè)檢驗時，可以引入故事：在20世紀(jì)20年代末一個夏日的午后，在英國劍橋，一群大學(xué)教員、他們的妻子以及一些客人圍坐在室外的一張桌子周圍喝下午茶．一位女士堅持認(rèn)為，將茶倒進(jìn)牛奶里和將奶倒進(jìn)茶里的味道是不同的．在座的科學(xué)家都覺得這種觀點很可笑，沒有任何意義．２種液體的混合物在化學(xué)成分上不可能有任何區(qū)別．這時，一位又瘦又矮、戴著厚厚眼鏡的男子激動地說：“讓我們來檢驗這個命題吧”[10]．相信這樣的一個開場白出現(xiàn)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課中會令人耳目一新，能夠激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時也引出了該節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容——假設(shè)檢驗．

很多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的只是為了應(yīng)付考試，機(jī)械地背誦題目，甚至完全不了解課程內(nèi)容的本質(zhì)．不知道為什么學(xué)，怎么學(xué)，怎么用是無法學(xué)好一門課程的．而數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路，而且是啟迪數(shù)學(xué)心靈的必勝之途．教師在引入新內(nèi)容時若以實例開頭，不僅可以將理論內(nèi)容徐徐展開，啟發(fā)學(xué)生，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與積極性，也可以讓學(xué)生感受到這些內(nèi)容是切實有用的，強(qiáng)調(diào)了學(xué)習(xí)該內(nèi)容的必要性，同時說明理論知識是可以解決實際問題的．

1.2　分析實例構(gòu)建新知識的結(jié)構(gòu)框架

在將理論知識與實際問題有機(jī)融合之后，進(jìn)入下一環(huán)節(jié)——通過對實例的分析，引導(dǎo)學(xué)生逐漸揭開新內(nèi)容的面紗，建立新知識的框架．這一環(huán)節(jié)是最重要的一步，關(guān)鍵是將對實際問題的分析過程與所講理論知識的邏輯結(jié)構(gòu)一一對應(yīng)，層層遞進(jìn)．在整個剖析問題的過程中，應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的自我能動性，鼓勵學(xué)生使用數(shù)學(xué)建模的思想思考問題，不斷地提出問題，解決問題，進(jìn)而由實例問題構(gòu)建出新知識的理論框架，達(dá)到理論與實際問題貫穿整個知識體系．對于概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的假設(shè)檢驗內(nèi)容，可以使用女士品茶的實例構(gòu)建其基本思想框架（見圖2）．

圖2　引用女士品茶實例幫助學(xué)生構(gòu)建假設(shè)檢驗內(nèi)容的基本思想

通過對女士品茶問題的逐步分析，讓學(xué)生找到假設(shè)檢驗的基本原理，體會在實例中如何使用假設(shè)檢驗的方法來解決問題．首先，提出原假設(shè)與備擇假設(shè)的概念，從女士能否品嘗出２種不同的茶為背景說明２種假設(shè)是完全對立的；接著引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計試驗進(jìn)行抽樣檢查，幫助其進(jìn)行最后結(jié)論的判斷，在此實例中可以讓這位女士去品嘗提前準(zhǔn)備好的茶來進(jìn)行判斷，學(xué)生進(jìn)行記錄；試驗結(jié)束后，面臨２種選擇，拒絕原假設(shè)或者接受原假設(shè)，這就涉及到了拒絕的條件，即小概率事件在一次試驗中發(fā)生是不合理的．在這個過程中，仍然可以借助品茶的女士幫助解釋該原理，如果這位女士品嘗了100杯茶，都成功分辨出了茶的類型，也就是小概率事件發(fā)生了，說明原假設(shè)根本不成立．

通過對照案例的每一步，教師引導(dǎo)學(xué)生從中提煉出假設(shè)檢驗的基本思想與檢驗步驟，分析如何設(shè)計合理的試驗進(jìn)行抽樣調(diào)查，根據(jù)試驗的結(jié)果分析樣本觀察值，得到接受或者拒絕原假設(shè)的決策．

這里所使用的方法正是將概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的理論知識框架依托數(shù)學(xué)建模的案例進(jìn)行建構(gòu)的核心部分，其中每一步都是發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的過程．從中讓學(xué)生深刻體會到知識的內(nèi)涵，并激發(fā)其主動學(xué)習(xí)、主動探索的積極性．在這個教學(xué)過程中，最難的環(huán)節(jié)是如何將實例與理論完美地結(jié)合，使實例的每一步都與理論的邏輯結(jié)構(gòu)相契合，將理論驗證包含在實例的生動說明中，拋開枯燥乏味的數(shù)學(xué)符號和生澀難懂的理論證明，用簡單有趣的案例故事引導(dǎo)學(xué)生掌握和理解相關(guān)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識．

1.3　理論與實踐相結(jié)合解決實際問題

最后要進(jìn)入數(shù)學(xué)建模的求解模型階段，在這個環(huán)節(jié)中，教師需要在已構(gòu)建好的新知識的主框架上，通過對實際問題的變形與深入提問，引導(dǎo)學(xué)生充分思考，轉(zhuǎn)換分析，不斷充實內(nèi)容，從基礎(chǔ)框架變成系統(tǒng)的知識體系，最終可以解決實際問題，并可觸類旁通，舉一反三．

教學(xué)的最終目標(biāo)是希望學(xué)生運用新知識解決實際問題，讓學(xué)生體會知識的實用性．提煉出核心內(nèi)容，讓學(xué)生鞏固加強(qiáng)，再結(jié)合其它例題的練習(xí)，會有非常好的教學(xué)效果．

2　引入新型教學(xué)模式的重點與難點

在引入實例，融入數(shù)學(xué)建模的思想中要注重方式方法．在使用數(shù)學(xué)建模實例建構(gòu)課堂理論知識結(jié)構(gòu)框架的新型教學(xué)模式中，要注意的問題：（1）充分考慮所選擇實例的準(zhǔn)確性，要與所講理論內(nèi)容高度銜接與融合；（2）實例的難易程度要適中，不能太復(fù)雜，要適當(dāng)進(jìn)行簡化，否則會適得其反，既要生動有趣，能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，更要切合知識點，有效地幫助學(xué)生完成知識框架的構(gòu)建；（3）實例的選擇應(yīng)盡可能地切合所教授學(xué)生的學(xué)科專業(yè)，讓學(xué)生體會知識的實用性，也為后續(xù)的專業(yè)打好基礎(chǔ)，如經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生可以列舉與收入、消費相關(guān)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計問題；交通相關(guān)專業(yè)可以列舉有關(guān)道路交通的概率論與數(shù)理統(tǒng)計問題等．

在使用實例構(gòu)建知識框架時也有一些難點．一方面，針對理論性較強(qiáng)的內(nèi)容，有時很難找到合適的數(shù)學(xué)建模案例與之融合，這需要教師涉獵更多領(lǐng)域?qū)W科的內(nèi)容，不斷拓展、更新知識庫，更要不斷地積極創(chuàng)新，構(gòu)思合適的教學(xué)模型．另一方面，所用到的數(shù)學(xué)模型實例往往不能很全面地完全覆蓋某一節(jié)課程的所有知識點，因此授課教師要靈活變換實例的條件、情景、變量，使之更適用于所講內(nèi)容，覆蓋面更廣．更為重要的是所選用的建模實例不僅要貼合知識點，更要傳遞正能量，為學(xué)生樹立正確的科學(xué)觀與價值觀．

為了使這種新型課堂教學(xué)方式真正能夠發(fā)揮作用，需要改變以往教與學(xué)的模式，教師要從心理上、行動中真正轉(zhuǎn)變角色，把學(xué)生放在主導(dǎo)地位，引導(dǎo)他們有自我構(gòu)建知識框架的意識．轉(zhuǎn)變以往傳統(tǒng)的教師教與學(xué)生聽的授課方式，把主動權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生在實例中探索新知識，構(gòu)建自己的知識框架．教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，成果展示，以互相答疑的互動方式讓他們自己主動學(xué)習(xí)新知識，積極探索，深入挖掘．教師引導(dǎo)學(xué)生對實例一步步分析挖掘，將理論與實際相結(jié)合，可同時使用其它交叉學(xué)科的內(nèi)容和一些必要的計算機(jī)軟件工具，增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)．通過開展課堂活動，挖掘?qū)W生的創(chuàng)新思維，讓他們主動學(xué)習(xí)，對實際問題構(gòu)思建模，以最終實現(xiàn)解決實際問題的終極目標(biāo)．

3　結(jié)語

信息技術(shù)不斷發(fā)展，將數(shù)學(xué)建模思想融入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中已經(jīng)成為一個新的趨勢．本文基于數(shù)學(xué)建模的思想性與實踐性，提出了用數(shù)學(xué)建模實例引導(dǎo)課堂理論知識結(jié)構(gòu)建立的新型教學(xué)模式，該模式在教學(xué)中的運用需要進(jìn)一步精心設(shè)計，深度實踐，不斷學(xué)習(xí)，逐步成熟，以求達(dá)到學(xué)生與教師的雙贏局面．學(xué)生不僅提高了運用概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程內(nèi)容解決實際問題的能力，也為后續(xù)的專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)；而教師會在課堂上與學(xué)生產(chǎn)生更多共鳴，引發(fā)強(qiáng)烈的職業(yè)榮譽感，并且也會在教學(xué)過程中增加個人的知識儲備，不斷地進(jìn)步．

[1] 數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用編輯部．全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會主任李大潛院士的講話[J]．?dāng)?shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2012（2）：4-6

[2] 王澤龍，朱炬波，劉吉英．?dāng)?shù)學(xué)建模在概率統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2019，22（1）：115-117

[3] 陳濤．?dāng)?shù)學(xué)建模思想驅(qū)動下的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)研究[J]．高教學(xué)刊，2018（18）：107-108，111

[4] 張愛華，楊冬香．?dāng)?shù)學(xué)建模思想融入“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的教學(xué)改革研究[J]．科技研究，2019，3（8）：80-81

[5] 張云霞，崔瑜，鄭國萍．淺談概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程與數(shù)學(xué)建模思想的融合[J]．商情，2018（48）：262

[6] 曹國鳳．在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想[J]．教育界，2018，4（33）：73-74

[7] 劉素兵，張華．概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)融入數(shù)學(xué)建模思想的研究與實踐[J]．科技風(fēng)，2018（31）：205

[8] 王宇．?dāng)?shù)學(xué)建模融入概率統(tǒng)計教學(xué)存在的問題與對策[J]．?dāng)?shù)理化解題研究，2018（12）：26-27

[9] 于梅菊，袁華，叢玉華，等．以數(shù)學(xué)建模競賽為依托，促進(jìn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)改革[J]．通化師范學(xué)院學(xué)報，2016（10）：66-67

[10] David Salsburg．女士品茶[M]．劉清山，譯．南昌：江西人民出版社，2016

Construcing knowledge structure of probability theory and mathematical statistics course based on mathematical modeling

ZHANG Xinyu，ZHANG Jun，WU Guorong，JIA Zijun

（School of Science，Inner Mongolia Agricultural University，Hohhot 010018，China）

Probability theory and mathematical statistics is a common basic course of university mathematics，which is required to be studied by science and engineering，economic management and agriculture and forestry majors in colleges and universities．The current teaching situation of probability theory and mathematical statistics wasanalyzed，a new teaching mode of constructing classroom knowledge structure based on mathematical modeling was summarized by means of integrating theoretical teaching and practical application in classroom．This model stimulates students′ interest in learning by introducing examples of mathematical modeling，educates the theoretical knowledge，and helps students to construct the framework of corresponding theoretical knowledge through analyzing deeply about examples．Through the combination of theoretical knowledge and practical application, students′ innovative ability to solve practical problems by applying theoretical knowledge was cultivated, and their practical level was improved．

probability theory and mathematical statistics；mathematical modeling；theoretical teaching；practical application

1007-9831（2020）07-0058-05

O21∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.07.014

2020-02-21

內(nèi)蒙古自治區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度課題（NGJGH2019333）；內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)教育教學(xué)改革研究項目（JGZD201815）；2019年第一批教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項目（201901148037）

張新宇（1991-），女，內(nèi)蒙古烏蘭察布人，講師，碩士，從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究．E-mail：xinyuzhang103056@163.com

張軍（1980-），男，山西懷仁人，副教授，博士，從事數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用研究．E-mail：zj325328333@163.com