◎任 玲 （江蘇省邳州市八義集初級(jí)中學(xué)，江蘇 徐州 221361）

人類(lèi)總是喜歡比較一些具有相似性質(zhì)的事物，或者習(xí)慣于把取得成功的事物之經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于另一些相似的事物，這就是類(lèi)比思想．類(lèi)比思想是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段重要的思想方法之一，也是由特殊到特殊的一種推理思想．具體來(lái)說(shuō)，“所謂類(lèi)比是這樣的一種推理，它把不同的兩個(gè)（兩類(lèi)）對(duì)象進(jìn)行比較，根據(jù)兩個(gè)（兩類(lèi)）對(duì)象在一系列屬性上的相似，而且已知其中一個(gè)對(duì)象還具有其他的屬性，由此推出另一個(gè)對(duì)象也具有相似的其他屬性的結(jié)論”．

常用的類(lèi)比思想有降維類(lèi)比、簡(jiǎn)化類(lèi)比、結(jié)構(gòu)類(lèi)比、有限類(lèi)比四種．在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師運(yùn)用這些類(lèi)比思想組織教學(xué)，能提升學(xué)生分析與解決問(wèn)題的能力，利于新知的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生鞏固舊知識(shí)，達(dá)到溫故知新的效果，更有助于開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力．所以說(shuō)類(lèi)比思想在初中數(shù)學(xué)中特別重要，它給初中數(shù)學(xué)的教和學(xué)的過(guò)程帶來(lái)了不容小覷的方便和好處．下面筆者將根據(jù)教學(xué)實(shí)踐談?wù)勗诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用類(lèi)比思想的幾個(gè)教學(xué)策略．

一、用降維類(lèi)比思想助力學(xué)生解決問(wèn)題

我們都知道“維數(shù)”是線(xiàn)性空間理論里面的概念，即線(xiàn)、面、體分別對(duì)應(yīng)著一維、二維和三維空間．所謂降維類(lèi)比，就是在研究高維問(wèn)題時(shí)，先思考解決與它類(lèi)似的低維問(wèn)題，再解決高維問(wèn)題．降維類(lèi)比思想能幫助學(xué)生簡(jiǎn)化探索問(wèn)題所運(yùn)用的知識(shí)，降低思考的難度，從而順理成章地獲取．

課例一：探究“勾股定理的應(yīng)用”

有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，一個(gè)圓柱形玻璃杯的高度為16 cm，底面周長(zhǎng)為30 cm．一只螞蟻在這個(gè)玻璃杯外壁上距離玻璃杯上沿4 cm 的點(diǎn)A 處，它發(fā)現(xiàn)與它相對(duì)的玻璃杯底部有一滴蜂蜜．這只螞蟻想盡快吃到蜂蜜，求螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B 處的最短距離（玻璃厚度忽略不計(jì)）．

圖1

我們知道，螞蟻需要從A 處在外壁沿某條路線(xiàn)爬到玻璃杯上沿的某一點(diǎn)，再沿內(nèi)壁的某條路線(xiàn)爬到B 處，也就是說(shuō)要求的是這兩段路程之和的最小值．

教師引導(dǎo)：平面圖形中，有一種求解直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)同側(cè)的兩點(diǎn)距離之和最小問(wèn)題的方法，請(qǐng)大家回顧．

我們先來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖2，一段高速公路a 的同一側(cè)有A，B 兩個(gè)村莊，要在這段高速公路a 上設(shè)一個(gè)出口P，使A，B 兩個(gè)村莊到P 的距離之和最小，如何設(shè)？

圖2

學(xué)生回顧并展示解決方法：作點(diǎn)A 關(guān)于a 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B 與a 的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．

這時(shí)，運(yùn)用降維類(lèi)比思想將圓柱的一半側(cè)面展開(kāi)，作點(diǎn)A 關(guān)于EF 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，可知A′B 的長(zhǎng)度即為所求（如圖3）．

圖3

這是一個(gè)在立體圖形中求最短距離的問(wèn)題，我們運(yùn)用降維類(lèi)比思想，將其類(lèi)比轉(zhuǎn)化為在平面圖形中求最短距離的問(wèn)題加以解決．

二、用簡(jiǎn)化類(lèi)比思想幫助學(xué)生理清知識(shí)點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系

簡(jiǎn)化類(lèi)比就是將原問(wèn)題類(lèi)比到比原問(wèn)題更加簡(jiǎn)單的類(lèi)似問(wèn)題中，即通過(guò)類(lèi)比簡(jiǎn)單問(wèn)題的處理辦法和解題思路，從中獲得啟發(fā)，從而尋求待解決問(wèn)題的解題思路和處理辦法的過(guò)程．

課例二：探究“三元一次方程組的解法”

教師提問(wèn)：怎樣解二元一次方程組？

學(xué)生回顧二元一次方程組的解法．

學(xué)生發(fā)現(xiàn)①式中的5y 和②式中的-5y 互為相反數(shù)，故①＋②便可消去未知數(shù)y 得到一元一次方程，從而先求出x，再將x 的值代入①求出y，得到方程組的解．

師：解二元一次方程組的關(guān)鍵是消元，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．

那么，怎樣解下面這個(gè)方程組呢？

生：既然二元一次方程組可以通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程，那么三元一次方程組也可以通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為二元一次方程組．

運(yùn)用簡(jiǎn)化類(lèi)比思想，將三元一次方程組類(lèi)比更為簡(jiǎn)單的二元一次方程組，從而輕松探究出三元一次方程組的解法．這樣，學(xué)生就弄清了三元一次方程組和二元一次方程組的關(guān)系，同時(shí)認(rèn)識(shí)到二者的解法又是有區(qū)別的，教學(xué)目標(biāo)從而順利實(shí)現(xiàn)．

三、用結(jié)構(gòu)類(lèi)比思想促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系

不是所有的問(wèn)題都有現(xiàn)成的類(lèi)比物可供觀察和借鑒，所以上述的類(lèi)比思想不是萬(wàn)能的．那么可以應(yīng)用定義和性質(zhì)對(duì)問(wèn)題加以類(lèi)比分析，再借助結(jié)構(gòu)相似性搜尋類(lèi)比問(wèn)題，從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成類(lèi)比問(wèn)題加以解決．所以，結(jié)構(gòu)類(lèi)比思想可以幫助學(xué)生自主地形成知識(shí)體系，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行整體把握．

課例三：探究“矩形、菱形、正方形的判定”

教師提問(wèn)：請(qǐng)大家回憶并交流，平行四邊形的判定條件有哪些？ 這些條件是如何得到的？

學(xué)生回顧：根據(jù)平行四邊形的邊、角、對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)得出逆命題，經(jīng)歷比較、猜想、驗(yàn)證的探究過(guò)程，從而得出平行四邊形的判定條件．

教師追問(wèn)：矩形有哪些性質(zhì)？

學(xué)生：既然平行四邊形的判定條件是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)探究得到的，而矩形又是特殊的平行四邊形，那么也應(yīng)該根據(jù)矩形的性質(zhì)得出矩形的判定條件．

教師引導(dǎo)，學(xué)生為主體，運(yùn)用結(jié)構(gòu)類(lèi)比思想探索矩形的判定條件．首先，學(xué)生由矩形的性質(zhì)進(jìn)行逆向思考：邊、角、對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足什么條件的四邊形才能是矩形？ 然后，學(xué)生猜想、嘗試、分析、證明、總結(jié)，從而明確矩形的判定條件．

探究“菱形的判定”時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生結(jié)構(gòu)類(lèi)比矩形的判定條件的探索過(guò)程和方法，結(jié)合菱形的性質(zhì)得出菱形的判定條件，最后結(jié)構(gòu)類(lèi)比矩形和菱形的判定條件的探索過(guò)程和方法，進(jìn)行知識(shí)的升華，得出正方形的判定條件．

這樣，運(yùn)用結(jié)構(gòu)類(lèi)比思想一步步形成了環(huán)環(huán)相扣的知識(shí)鏈，從而把從平行四邊形到矩形、菱形最后到正方形這一系列知識(shí)融合為整體，便于學(xué)生準(zhǔn)確高效地把握各種平行四邊形的性質(zhì)和判定．

四、用有限類(lèi)比思想增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和開(kāi)放性思維

當(dāng)遇到無(wú)限的問(wèn)題時(shí)，如曲線(xiàn)，可以先研究類(lèi)似的有限問(wèn)題，如直線(xiàn)，再把解決有限問(wèn)題所用的方法應(yīng)用到解決無(wú)限問(wèn)題中，這就是有限類(lèi)比思想．有限類(lèi)比思想有助于培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)放性思維，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)．

課例四：探究“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)”

教師提出：請(qǐng)回憶一次函數(shù)的表達(dá)式中的自變量和函數(shù)值的取值范圍是什么．

學(xué)生：自變量x 和函數(shù)值y 都可以取任意實(shí)數(shù)．

教師：一次函數(shù)的圖像是什么樣的？ 畫(huà)圖像的一般步驟是什么？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有限類(lèi)比思想提出新的問(wèn)題：既然一次函數(shù)的圖像是直線(xiàn)，也就是說(shuō)直線(xiàn)是一次函數(shù)的圖像，那么曲線(xiàn)是哪種函數(shù)的圖像呢？

教師：反比例函數(shù)的表達(dá)式中的自變量和函數(shù)值的取值范圍是什么？ 反比例函數(shù)的圖像是什么形狀的？ 如何畫(huà)呢？

學(xué)生運(yùn)用有限類(lèi)比思想進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：一次函數(shù)的表達(dá)式中的自變量和函數(shù)值都可以為0，所以一次函數(shù)的圖像可以與坐標(biāo)軸相交．但是反比例函數(shù)的表達(dá)式中的自變量x≠0，函數(shù)值y≠0，所以反比例函數(shù)的圖像是曲線(xiàn)，而且不能與坐標(biāo)軸相交．

教師：畫(huà)反比例函數(shù)的圖像需要描幾個(gè)點(diǎn)呢？

學(xué)生運(yùn)用有限類(lèi)比思想更進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：畫(huà)一次函數(shù)的圖像時(shí)，根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”只描兩個(gè)點(diǎn)便可以準(zhǔn)確畫(huà)出，但是要想比較準(zhǔn)確地畫(huà)出反比例函數(shù)的圖像就需要多描點(diǎn)．然后學(xué)生類(lèi)比畫(huà)一次函數(shù)的圖像的步驟，即列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)，繪制出反比例函數(shù)的圖像．

運(yùn)用有限類(lèi)比思想，學(xué)生根據(jù)一次函數(shù)的圖像的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行拓展延伸，得到反比例函數(shù)的圖像的新知．

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，類(lèi)比思想對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)有著十分重要的意義．類(lèi)比思想能讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，讓抽象的問(wèn)題具體化，讓分散的知識(shí)體系化，可以使學(xué)生不滿(mǎn)足已有知識(shí)現(xiàn)狀，勇于提出新問(wèn)題，激發(fā)他們的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，從而使數(shù)學(xué)的教與學(xué)更加高效，更有價(jià)值．