吳金塵,劉 俊,葉華文

(中南大學自動化學院,湖南長沙 410083)

1 引言

滑?？刂铺幚聿淮_定系統(tǒng)時具有魯棒性強的特點,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于實際工程中[1–3].相較于傳統(tǒng)滑?？刂?積分滑?？刂朴捎谠黾恿朔e分項,可消除加性擾動的影響.

最初,Utkin提出積分滑模設(shè)計的基本方法[4],隨后,國內(nèi)外很多學者開展了多方面的研究[1,5–6].Cao等人在文獻[4]的基礎(chǔ)上給出了具有匹配和非匹配擾動的非線性系統(tǒng)的積分滑?？刂品桨竅7–8].積分滑模控制系統(tǒng)的動態(tài)性能主要取決于滑模面與積分項的選取.李鵬等人設(shè)計了一類具有“小誤差放大,大誤差飽和”功能的光滑非線性飽和函數(shù)來重設(shè)積分滑模面[9].

近年來,已經(jīng)有學者將有限時間穩(wěn)定與積分滑模結(jié)合著展開研究.比如Nair等人提出了基于積分滑模的魯棒有限時間事件觸發(fā)控制策略,利用快速到達定律來提高收斂速度,并適用于具有模型不確定性干擾的系統(tǒng)[10].Laghrouche等人針對不確定非線性系統(tǒng),基于積分滑模提出了一種高階滑?？刂品桨?解決了有界不確定性的高階輸入輸出系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定問題[11].上述兩個工作均研究模型不確定干擾的情形.

本文在文獻[4]的基礎(chǔ)上,針對一類具有加性擾動的雙積分器,受嵌套飽和控制的啟發(fā),設(shè)計一種新的積分滑模面,實現(xiàn)受擾雙積分器的有限時間鎮(zhèn)定.相對文獻[4]而言,本文的積分滑模面表達式中有分數(shù)指數(shù),在參數(shù)選擇上可能出現(xiàn)奇異性.有趣的是,利用Haimo[12]有限時間穩(wěn)定原理,可證明,雖然積分滑模面含有分數(shù)指數(shù),但因為滑模面的合理設(shè)置,不會產(chǎn)生奇異性.

本文余下部分的內(nèi)容安排如下:第2節(jié)給出幾個重要引理,為后面滑模面與控制器的設(shè)計提供理論基礎(chǔ);第3節(jié)針對帶加性擾動的雙積分器,給出新滑模面及控制器的設(shè)計;第4節(jié)將本文算法應(yīng)用于直流電機角速度控制系統(tǒng).

2 準備工作

本節(jié)給出幾個重要引理.

引理1[12]假設(shè)是有限時間穩(wěn)定的Lipschitz連續(xù)系統(tǒng),x ∈Rn,g(0)0.若x(t)在tT <∞到達原點,那么

引理2[13]為雙積分器系統(tǒng)選取嵌套飽和控制器

其中Ik(k1,2,3)為

若b1,b2滿足

則控制器u0有限時間鎮(zhèn)定上述雙積分器系統(tǒng).

3 有限時間積分滑?？刂圃O(shè)計

本文考察如下帶加性擾動的雙積分器

3.1 基本設(shè)計過程

根據(jù)文獻[4]的積分滑模設(shè)計思想,為系統(tǒng)(1)設(shè)計控制輸入

其中: u0代表理想控制,u1為抵消不確定加性擾動h(x,t)的不連續(xù)控制.積分滑模面s設(shè)計為傳統(tǒng)滑模面只設(shè)置s0,現(xiàn)在增加變量z是為了消除加性擾動的影響.

假設(shè)u1u1eq?h(x,t),且使變量z的動態(tài)方程滿足

當u1?h(x,t),應(yīng)設(shè)置合適的u1趨使系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面.具體過程如下:

2)s(u1+h(x,t))<0;

3)方程(4)的非奇異.

3.2 積分滑模面設(shè)計

與傳統(tǒng)積分滑模中用狀態(tài)的線性組合不同,現(xiàn)在的滑模面表達式中出現(xiàn)了分數(shù)指數(shù).特別是,將出現(xiàn)負的分數(shù)指數(shù).

直接計算有

下面說明方程(4)不會因為負分數(shù)指數(shù)而導致奇異性.

此時I2?1是負分數(shù)指數(shù),必須審慎討論是否出現(xiàn)奇異性,也即是否會出現(xiàn)“除零”的現(xiàn)象.對此,本文利用Haimo的有限時間穩(wěn)定原理給出相關(guān)解釋.

首先,根據(jù)引理2,下面的控制器有

即x2(t)比x1(t)更快地收斂到零.注意到

又知道x1(t)比更快地收斂到零.因此,是非奇異的,所以變量z的動態(tài)方程(4)是合理的.

3.3 控制器設(shè)計

當u1控制器設(shè)計?h(x,t)時,設(shè)置不連續(xù)控制器u1保證條件2成立.具體地,令

至此,本文給出了整個積分滑模設(shè)計,由式(2)–(7)描述.

結(jié)合理想控制器,最終的控制器為

3.4 有限時間穩(wěn)定分析

下面證明整個積分滑模設(shè)計保證狀態(tài)x1,x2有限時間收斂到原點.以下是簡單的分析過程.

首先,對于系統(tǒng)(1),若設(shè)置積分滑模控制(2)–(7),則系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間達到積分滑模面.事實上,選取Lyapunov函數(shù)直接計算有

這也意味著該積分滑模面是有限時間可達的[14].

至此,證明了系統(tǒng)狀態(tài)于有限時間到達滑模面,而滑模面上的動態(tài)系統(tǒng)又有限時間收斂到原點.總結(jié)起來,得到本文的主要結(jié)論.

定理1為系統(tǒng)(1)設(shè)計積分滑?？刂?2)–(7),則系統(tǒng)狀態(tài)x1,x2有限時間收斂到原點.

李小樹在電話里說，他已經(jīng)在柳江古鎮(zhèn)的下游找到許春花了。我迷糊中忘記了許春花是誰。李小樹提醒我說：“就你在柳江古鎮(zhèn)采風時在鎮(zhèn)口那棵黃桷樹下逗著洋娃娃的許春花?！?/p>

4 在電機系統(tǒng)上的應(yīng)用

就實際工程控制系統(tǒng)而言,電機控制是一個相當活躍的研究課題[15–21].下面處理一類帶減速機的直流電機角速度控制系統(tǒng)[16],作為本文所建議的算法的應(yīng)用.

4.1 直流電機角速度控制系統(tǒng)的模型

所考察系統(tǒng)的模型圖如圖1所示.圖中:i代表電感電流也就是電樞回路電流,u是施加在電樞電路輸入端子上的電壓,可以作為整個電路的控制輸入,w1表示減速機輸出軸的角速度,L和R分別表示電樞電阻和電感,ke和km分別表示電動勢常數(shù)和電機轉(zhuǎn)矩常數(shù),n是減速機速降,J0和J1分別表示電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量和減速機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量.另外,τL表示有界負載轉(zhuǎn)矩,p0和p1分別表示電機粘性阻尼系數(shù)和減速機自身粘性阻尼系數(shù).

圖1 帶減速機的直流永磁電機模型Fig.1 DC permanent magnet motor model with reducer

由電路方程與力學方程可得如下數(shù)學模型:

以減速機輸出軸的角速度ω1和角加速度作為狀態(tài)變量,令JeqJ1+n2J0,peqp1+n2p0,記系統(tǒng)輸出為yω1,直接計算得到

這里ξ作為時變轉(zhuǎn)矩干擾,滿足

當有界負載轉(zhuǎn)矩τL滿足利普希茨連續(xù)條件時,時變轉(zhuǎn)矩干擾ξ有界.

4.2 積分滑?？刂破鞯脑O(shè)計

其中積分滑模面為

根據(jù)定理1,整個閉環(huán)系統(tǒng)是有限時間穩(wěn)定的.

4.3 仿真分析

該電機控制系統(tǒng)的參數(shù)如下[16]:

km82.2 mN·m/A,n81.

不妨令負載轉(zhuǎn)矩τL2(1 ?e?5t)N·m,則

選取初始狀態(tài)和控制參數(shù)為

仿真結(jié)果如圖2–3所示.

直流電機穩(wěn)態(tài)運行時,減速機角速度與角加速度應(yīng)為0,電動機能以穩(wěn)定的角速度運轉(zhuǎn),這是本文最終需要的結(jié)果.仿真結(jié)果表明,積分滑?？刂颇茉谟邢迺r間使直流電機角速度控制系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂到平衡點.

圖2 系統(tǒng)(11)的角速度與角加速度狀態(tài)軌跡Fig.2 Angle velocity and angular acceleration state trajectory of system(11)

圖3 系統(tǒng)(11)的控制輸入軌跡Fig.3 Control input trajectory of system(11)

5 結(jié)論

本文針對一類具有加性擾動的雙積分器,在文獻[4]的研究基礎(chǔ)上設(shè)計了一類新的含有分數(shù)指數(shù)的積分滑模面,不僅消除了加性擾動的影響而且保證滑模上的動態(tài)有限時間穩(wěn)定.而利用Haimo的有限時間穩(wěn)定原理,本文證明了:雖然積分滑模面設(shè)計中出現(xiàn)分數(shù)指數(shù),但滑模動態(tài)不會出現(xiàn)奇異性.通過直流電機控制系統(tǒng)實現(xiàn)了角速度的快速控制,驗證了該種方法的有效性.