鄭睿， 李方東， 趙傳超

(1.安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院， 安徽 蕪湖 241002； 2.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院， 江蘇 南京 210096；3.安徽省智能機(jī)器人信息融合與控制工程實(shí)驗(yàn)室， 安徽 蕪湖 241002)

0 引言

基于物質(zhì)波薩格納克效應(yīng)，超流體4He物質(zhì)波干涉式陀螺儀(以下簡稱超流體陀螺)對(duì)旋轉(zhuǎn)有極高的靈敏度，理論比光學(xué)陀螺儀的靈敏度高10個(gè)數(shù)量級(jí)[1]。與另一種主流的物質(zhì)波干涉式陀螺——冷原子陀螺比較，超流體陀螺具有物質(zhì)波產(chǎn)生簡單、體積小、工作溫度易實(shí)現(xiàn)、感應(yīng)面積可增大等突出特點(diǎn)和技術(shù)優(yōu)勢(shì)[2-4]，今后有望應(yīng)用于宇航、深空探測(cè)、地震學(xué)測(cè)量、探測(cè)引力波等具有長期高精度要求的領(lǐng)域[5-8]。

靈敏度和分辨率是超流體陀螺的重要性能指標(biāo)，二者之間互有關(guān)聯(lián)，反映了陀螺的精度。靈敏度反映陀螺輸出信號(hào)相對(duì)于輸入信號(hào)(角速度)的變化率。文獻(xiàn)[9]提出，由于超流體陀螺的工作曲線(描述了陀螺輸入與輸出關(guān)系的曲線)是非線性的，因此陀螺的靈敏度在不受控制情況下是變化的。但文獻(xiàn)[9]僅開展了定性分析，陀螺靈敏度與其影響因素之間的定量關(guān)系尚不清楚。超流體陀螺在工作過程中，其工作點(diǎn)(工作曲線上的點(diǎn))通常是被鎖定的[4]，這時(shí)陀螺的靈敏度將是恒定值。因此只有精確獲得陀螺靈敏度的數(shù)學(xué)模型，才能把工作點(diǎn)鎖定在最佳位置，確保陀螺在高靈敏度的狀態(tài)下工作，使陀螺能分辨更小的角速度變化。

角速度引起超流體陀螺的輸出變化，陀螺中的噪聲同樣也能引起輸出變化，因此陀螺的分辨率(最小可以分辨的角速度變化)不僅與靈敏度相關(guān)，還與其噪聲密切相關(guān)[10-12]。相關(guān)研究工作已探明了陀螺的噪聲來源，分析了噪聲類型，研究噪聲的變化規(guī)律[13-14]。在此基礎(chǔ)上，還需進(jìn)一步分析噪聲與分辨率之間的關(guān)系，并針對(duì)與陀螺分辨率相關(guān)的噪聲開展深入研究。

基于超流體陀螺的工作機(jī)理，研究超流體陀螺靈敏度與其工作點(diǎn)之間的關(guān)系；推導(dǎo)超流體陀螺噪聲方程，構(gòu)建其分辨率的數(shù)學(xué)模型。通過對(duì)超流體陀螺靈敏度和分辨率間關(guān)聯(lián)研究，確定陀螺的最佳工作點(diǎn)，并開展在最佳工作點(diǎn)時(shí)的陀螺靈敏度和分辨率分析，對(duì)于開發(fā)超流體陀螺高測(cè)量精度的潛力有重要意義。

1 超流體陀螺的靈敏度研究

超流體陀螺的結(jié)構(gòu)和原理如圖1所示，白色部分內(nèi)充滿4He超流體，“×”的位置是弱連接，由數(shù)千個(gè)孔徑為幾十納米的微孔構(gòu)成。圖1(a)中，薄膜和弱連接之間的超流體構(gòu)成內(nèi)腔，其余部分超流體構(gòu)成外腔，R1和R2為精密電阻。圖1(b)表示超流體物質(zhì)波干涉原理，超流體管路被等效為環(huán)形，Ω為角速度矢量，I1和I2為流過兩個(gè)弱連接的超流體質(zhì)量流量，I為環(huán)路中的總質(zhì)量流量(干涉流量)。

圖1 超流體陀螺結(jié)構(gòu)和原理圖Fig.1 Schematic diagrams of structure and principle of superfluid gyroscope

采用R1進(jìn)行加熱，使得內(nèi)腔、外腔之間的溫度和壓力發(fā)生變化。內(nèi)腔與外腔之間的溫度差ΔT和壓力差Δp共同產(chǎn)生化學(xué)勢(shì)能差Δμ=m4(Δp/ρ-sΔT)，其中m4為4He原子的質(zhì)量，ρ為超流體密度，s為熵密度。在化學(xué)勢(shì)能差作用下，超流體在弱連接處發(fā)生約瑟夫森效應(yīng)，產(chǎn)生兩路物質(zhì)波I1和I2[10]：

I1=Ic1sin(2πfJt)，
I2=Ic2sin(2πfJt+Δφe)，

(1)

式中：Ic1和Ic2分別為I1和I2的最大值；Δφe為超流體相移；fJ為約瑟夫森頻率；t為時(shí)間。在角速度矢量Ω和熱相移的作用下，超流體相移Δφe[10]為

(2)

式中：Δφ1、Δφ2分別為兩個(gè)弱連接兩側(cè)的相位差；Δφs為角速度矢量產(chǎn)生的薩格納克相移，Δφh為由熱阻R2加熱產(chǎn)生的熱相移；κ4=h/m4，h是普朗克常數(shù)；A為感應(yīng)面積矢量，其方向是感應(yīng)面積法線方向；Ω的方向?yàn)樾D(zhuǎn)軸的指向。A與Ω之間關(guān)系表示為

Ω·A=ΩAcosθ，

(3)

式中：A和Ω分別為矢量A和Ω的大??；θ為矢量A和Ω間的夾角。由圖1(b)可知，I=I1+I2，因此干涉流量呈現(xiàn)正弦變化的規(guī)律，其幅值Im[10]為

(4)

式中：Ict=Ic1+Ic2；γ是雙弱連接的非對(duì)稱因子，γ=(Ic1-Ic2)/(Ic1+Ic2). 由Δφe和Im所決定的曲線被稱為超流體陀螺的工作曲線，該曲線上的點(diǎn)即為陀螺工作點(diǎn)。

從超流體陀螺的工作原理可以看出，超流體陀螺敏感的輸入量是超流體相移，輸出為干涉流量的幅值，因此定義Im變化與Δφe變化之比超流體陀螺的靈敏度S，即

(5)

Im單位為kg/s，Δφe單位為rad，則(5)式中超流體陀螺的靈敏度單位為kg/(s·rad-1)。由(5)式可以看出，超流體陀螺的靈敏度不僅與其結(jié)構(gòu)參數(shù)γ和Ict相關(guān)，還與Δφe相關(guān)，因此與其工作點(diǎn)的位置相關(guān)。

2 超流體陀螺的分辨率研究

在超流體陀螺靈敏度研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步開展其分辨率的研究。

超流體陀螺的分辨率與其噪聲有密切相關(guān)的聯(lián)系。一般情況下，可認(rèn)為噪聲決定了陀螺的分辨率[12-13]。超流體陀螺噪聲類型主要有：由熱能量引起的熱噪聲、由超流體溫度變化引起的溫度波動(dòng)噪聲，由化學(xué)勢(shì)能差變化引起的約瑟夫森頻率波動(dòng)噪聲、由測(cè)量薄膜位移裝置引起的檢測(cè)元件噪聲等組成。由于檢測(cè)元件噪聲的數(shù)量級(jí)要高于其他類型的噪聲，是最為主要的[11]，因此超流體陀螺的分辨率主要由檢測(cè)元件噪聲所決定。

超流體陀螺是超高精度的新型慣性傳感器，其極限測(cè)量能力同樣受到關(guān)注。在上述噪聲中，由于熱噪聲是由熱能量引起，它是一直存在、不可消除的[15]，因此它決定了超流體陀螺的極限分辨率。

以下分別推導(dǎo)超流體陀螺的檢測(cè)元件噪聲和熱噪聲方程，從而構(gòu)建其分辨率以及極限分辨率的數(shù)學(xué)模型。

2.1 超流體陀螺分辨率的數(shù)學(xué)模型

超流體流過弱連接引起薄膜位移變化，通過高精度的位移檢測(cè)系統(tǒng)測(cè)量薄膜位移，這樣就可以監(jiān)測(cè)到超流體流量。超流體陀螺薄膜腔體的示意如圖2所示。

圖2 超流體陀螺薄膜腔體示意圖Fig.2 Schematic diagram of membrane chamber in superfluid gyroscope

在圖2中，雙弱連接被等效為一個(gè)小孔。由圖2可知，超流體通過小孔會(huì)引起薄膜偏離其初始位置，引起腔體內(nèi)流體體積V變化。因此，V的變化與薄膜位移x的變化是呈正比的：

(6)

式中：Ad為薄膜的表面積。由(5)式和(6)式可知，薄膜位移與總流量的積分呈正比，因此有

(7)

由(7)式可知，超流性成分的約瑟夫森效應(yīng)引起了薄膜發(fā)生周期為fJ的振蕩，其振蕩的幅值xm為

(8)

設(shè)位移檢測(cè)系統(tǒng)在測(cè)量薄膜位移時(shí)產(chǎn)生了δxmn的噪聲，由(4)式和(8)式可知，角速度測(cè)量值Ωd與xm之間呈現(xiàn)非線性函數(shù)關(guān)系。根據(jù)非線性隨機(jī)變量的方差求解方法[16]，位移檢測(cè)系統(tǒng)噪聲引起Ωd波動(dòng)的噪聲Ωdn為

(9)

檢測(cè)元件噪聲決定了超流體陀螺的分辨率，因此由(5)式和(9)式可得，超流體陀螺的分辨率δΩmin為

(10)

2.2 超流體陀螺極限分辨率的數(shù)學(xué)模型

隨著技術(shù)的發(fā)展，溫度波動(dòng)噪聲、約瑟夫森頻率波動(dòng)噪聲、檢測(cè)元件噪聲等都還有進(jìn)一步減小趨勢(shì)和可能性。但受到超流體陀螺工作溫度范圍的限制，熱能量被限制在一定的范圍內(nèi)，不可能無限減小。如果由于上述噪聲源足夠小，使得熱噪聲的數(shù)量級(jí)最高，那么陀螺噪聲將由熱噪聲所決定。因此熱噪聲決定了超流體陀螺的極限分辨率。

在單一微孔情況下，超流體的動(dòng)能EJ和熱能量ET[10]可以分別表示為

(11)

式中：ρs為超流體中超流性成分的密度；a為微孔孔徑；τ為微孔連接的厚度；vs為超流體的流速；KB為玻爾茲曼常數(shù)；T是當(dāng)前溫度。

由于超流體流速vs與弱連接兩側(cè)相位差Δφ的關(guān)系[17]為

(12)

把超流體的熱能量折算為其動(dòng)能，令ET=EJ，并結(jié)合(12)式可得由熱能量引起的相位波動(dòng)為

(13)

(14)

圖3 弱連接處微孔陣列的示意圖Fig.3 Schematic diagram of aperture arrays at the weak link

由(2)式可知，當(dāng)熱相移Δφn=0時(shí)，Δφs=Δφ1-Δφ2，所以Δφs是隨機(jī)變量。雙弱連接在位置上相互獨(dú)立，因此Δφ1和Δφ2相互獨(dú)立，其標(biāo)準(zhǔn)偏差由(14)式?jīng)Q定。那么，熱能量引起Δφs波動(dòng)的噪聲Δφsn為

試驗(yàn)結(jié)果表明：新品種科河699和大民3307在正常栽培條件下，產(chǎn)量高于常規(guī)品種先玉335?？共⌒院瓦m應(yīng)性強(qiáng)，產(chǎn)量高，適宜于民勤縣種植，建議今后在民勤縣沙漠灌溉區(qū)大面積推廣種植。

(15)

由(2)式可知,當(dāng)熱相移Δφn=0時(shí)，Ωd與Δφs之間呈現(xiàn)線性的函數(shù)關(guān)系，那么熱能量引起Ωd波動(dòng)的噪聲ΩdTn為

(16)

(16)式描述了熱噪聲與其影響因素之間的關(guān)系。因此超流體陀螺的極限分辨率δΩmin，l為

δΩmin，l=ΩdTn.

(17)

(17)式描述了超流體陀螺的極限分辨率與其影響因素之間的關(guān)系，是其極限分辨率的數(shù)學(xué)模型。由(16)式和(17)式可知，超流體陀螺的極限分辨率只與其結(jié)構(gòu)參數(shù)和工作溫度有關(guān)。

3 半物理仿真實(shí)驗(yàn)與分析

在理論研究的基礎(chǔ)上，利用超流體陀螺半物理仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，開展超流體陀螺的靈敏度和分辨率的分析。

3.1 超流體陀螺半物理仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

超流體陀螺半物理仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)如圖4所示。在該平臺(tái)中，基于大量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，模擬超流體干涉儀的工作過程，包括熱驅(qū)動(dòng)模塊、熱相移輸入模塊、角速度敏感模塊和薄膜位移產(chǎn)生模塊4個(gè)部分。超流體陀螺的相移控制系統(tǒng)則由硬件實(shí)現(xiàn)，包括角速度信息提取模塊、高精度反饋熱相移處理電路和熱相移控制電路3個(gè)部分。平臺(tái)中各部分之間的關(guān)聯(lián)如圖4中箭頭指向所示。

圖4 超流體陀螺仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Structure block diagram of superfluid gyroscope simulation experimental platform

3.2 工作曲線的周期內(nèi)靈敏度和分辨率分析

由(5)式和(9)式可知，超流體陀螺的靈敏度和分辨率與其工作點(diǎn)的位置相關(guān)。而超流體陀螺工作過程中，其工作點(diǎn)是要被實(shí)時(shí)鎖定的，因此，在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中通過相移控制系統(tǒng)，取超流體陀螺工作曲線的一個(gè)周期，在該范圍內(nèi)開展靈敏度和分辨率分析，獲取靈敏度和分辨率的變化規(guī)律，并確定陀螺的最佳工作點(diǎn)。

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中的基本參數(shù)設(shè)置[10]為：

1) 結(jié)構(gòu)參數(shù)：面積矢量大小A=5×10-4m2, 角速度矢量與面積矢量的夾角θ=0 rad，弱連接處的微孔數(shù)量N=5 625, 微孔孔徑a=10-7m,微孔連接的厚度τ=8×10-9m，雙弱連接非對(duì)稱因子γ=0.3，薄膜面積Ad=5×10-5m2，Ict=1.1×10-11kg/s(Ict與微孔陣列參數(shù)相關(guān)，屬于結(jié)構(gòu)參數(shù))。

2) 工作參數(shù)：工作溫度T=2.167 K, 約瑟夫森頻率fJ=700 Hz.

4) 工作曲線：超流體陀螺的工作曲線周期性變化，因此只取工作曲線的一個(gè)周期開展研究，即設(shè)置超流體相移Δφe的變化范圍是0 ～2π rad.

根據(jù)設(shè)置的參數(shù)可得，工作曲線周期內(nèi)超流體陀螺的靈敏度和分辨率如圖5所示。

圖5 工作點(diǎn)變化范圍內(nèi)靈敏度和分辨率曲線Fig.5 Curves of sensitivity and resolution in the changing range of working point

由圖5可知，當(dāng)超流體相移由0 rad變化到2πrad，超流體陀螺工作曲線經(jīng)歷了一個(gè)周期。在此期間，超流體陀螺的靈敏度呈現(xiàn)先增大、再減小，隨后又增大、再次減小的變化規(guī)律。由于超流體陀螺的分辨率與其靈敏度呈反比，因此其分辨率呈現(xiàn)先減小、再增大，隨后又減小、再次增大的變化規(guī)律。而超流體陀螺的極限分辨率與其靈敏度無關(guān)，始終保持恒定。

由圖5可以分析出，當(dāng)超流體相移為2.1 rad和4.1 rad時(shí)，超流體陀螺靈敏度達(dá)到最大值，此時(shí)超流體陀螺可分辨最小的角速度變化。因此根據(jù)本文的通用參數(shù)，超流體相移為2.1 rad和4.1 rad是陀螺的最佳工作點(diǎn)。

3.3 被鎖定在最佳工作點(diǎn)時(shí)靈敏度和分辨率分析

利用仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中的相移控制系統(tǒng)，把超流體陀螺的工作點(diǎn)鎖定在Δφe=2.1 rad的最佳工作點(diǎn)，其他參數(shù)同3.2節(jié)的設(shè)置，此時(shí)超流體陀螺工作點(diǎn)的鎖定值及工作點(diǎn)的變化范圍如圖6所示。

圖6 工作點(diǎn)的鎖定值及變化范圍曲線Fig.6 Locking value and varying range of working point

3.4 角速度輸入情況下超流體陀螺的靈敏度分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證超流體陀螺的分辨率，在兩類典型的角速度情況下，研究超流體陀螺的噪聲大小。研究參數(shù)同3.2節(jié)中的設(shè)置，并且把超流體陀螺的工作點(diǎn)鎖定在最佳工作點(diǎn)。輸入角速度設(shè)置為兩種典型類型：第1種是恒定角速度，Ω=2×10-6rad/s；第2種是正弦輸入角速度，Ω=2×10-6sin(2πt)rad/s. 角速度輸入的時(shí)間為1 s.

根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中超流體陀螺的工作過程，可得輸入角速度恒定時(shí)的角速度測(cè)量值、角速度測(cè)量值誤差分別如圖7、圖8所示。輸入角速度正弦變化時(shí)的角速度測(cè)量值、角速度測(cè)量值誤差分別如圖9和圖10所示。

圖7 角速度測(cè)量值(輸入角速度恒定)Fig.7 Measured value of angular velocity (constant input angular velocity)

圖8 角速度測(cè)量值的誤差(輸入角速度恒定)Fig.8 Error of measured value of angular velocity (constant input angular velocity)

圖9 角速度測(cè)量值(輸入角速度正弦變化)Fig.9 Measured value of angular velocity (sinusoidal input angular velocity)

圖10 角速度測(cè)量值的誤差(輸入角速度正弦變化)Fig.10 Rrror of measured value of angular velocity (sinusoidal input angular velocity)

4 結(jié)論

為研究新型超流體陀螺的靈敏度和分辨率，本文在分析其靈敏度與工作曲線之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，對(duì)陀螺的噪聲進(jìn)行分析，構(gòu)建其分辨率的數(shù)學(xué)模型。得出以下主要結(jié)論：

1) 超流體陀螺靈敏度與其工作點(diǎn)的位置相關(guān)，其分辨率由檢測(cè)元件噪聲所決定，其極限分辨率由熱噪聲所決定。

2) 在工作曲線的周期內(nèi)，超流體陀螺靈敏度和分辨率呈現(xiàn)周期性的變化，其極限分辨率保持恒定。