王 顏

1 頻域?yàn)V波產(chǎn)生的時域端點(diǎn)效應(yīng)

濾波是數(shù)字信號處理中的常見過程。通過選頻濾波可以提取時域信號有用的頻率分量，壓制干擾信號。選頻濾波通常在頻域進(jìn)行，其具體步驟是：

（1）對長度為N 的時域信號x（n）作離散傅里葉變換（DFT），得到對應(yīng)的頻域信號X（k）。通常使用快速傅里葉變換算法（FFT）進(jìn)行。

（2）將頻域信號X（k）各點(diǎn)處的值與頻域?yàn)V波器F（k）相同頻率處的值相乘，得到濾波后的頻域信號Y（k）：

（3）對 Y（k）做離散傅里葉反變換（IDFT），即得到頻域?yàn)V波后的時域信號 y（n）。通常使用快速傅里葉反變換算法（IFFT）進(jìn)行。

對時域信號進(jìn)行頻域?yàn)V波后所得到的信號可能在時域的一端被截斷，被截去的部分在另一端出現(xiàn)，造成時域信號失真。本文稱這種時域信號截斷和移位造成的信號失真為頻域?yàn)V波的時域端點(diǎn)效應(yīng)。下文通過編寫MATLAB 程序，應(yīng)用式（2）所表示的帶余弦鑲邊的帶通濾波器對地震勘探數(shù)據(jù)處理中廣泛應(yīng)用的雷克子波[1]進(jìn)行頻域?yàn)V波，說明頻域?yàn)V波的流程，并指出這一過程產(chǎn)生的時域截斷和移位現(xiàn)象，即頻域?yàn)V波的時域端點(diǎn)效應(yīng)。

式（2）中，l1和h1分別是低頻端和高頻端的截止頻率，l1-l2和h1-h2分別是低頻端和高頻端的過渡帶，在過渡帶內(nèi)濾波器的幅值以余弦函數(shù)的形式從1 衰減到0. 顯然，對于連續(xù)的頻率，該濾波器的頻譜是光滑的。

現(xiàn)將濾波器低頻端和高頻端的截止頻率分別設(shè)為20Hz，60Hz，過渡帶寬度設(shè)為 3Hz，即 l2=16，l1=20，h1=60，h2=64，則濾波器的頻譜如圖1 所示。

圖2 和圖 3 分別是主頻 40Hz 的雷克子波信號及其頻譜。

圖2 40Hz 的雷克子波信號

圖4 和圖5 分別是應(yīng)用圖1 所示濾波器進(jìn)行步驟（2）所述濾波后的信號的頻譜和經(jīng)過離散傅里葉反變換后所得的時域信號。

圖3 40Hz 對應(yīng)的頻譜

圖4 濾波后的信號的頻譜

圖5 經(jīng)過離散傅里葉反變換后所得的時域信號

從圖5 可以看出，濾波后的信號在t=0 處被截斷，被截去的部分出現(xiàn)在了時間軸的末端，即出現(xiàn)了前文所述的端點(diǎn)效應(yīng)。

2 端點(diǎn)效應(yīng)產(chǎn)生的原因分析

根據(jù)離散傅里葉變換和反變換的性質(zhì)[2]，對頻域信號進(jìn)行點(diǎn)數(shù)為N 的等間隔采樣，其離散傅里葉反變換對應(yīng)的時域信號為

由（3）式可知，如果原來的時域信號x（n）經(jīng)過頻域?yàn)V波后對應(yīng)的延伸至a ≤n ＜0 范圍內(nèi)，則這段信號會被截除，同時因?yàn)楸唤爻男盘枙霈F(xiàn)在時間軸末端的a+N ≤n ≤N-1 位置。類似的，如果延伸至N ≤n ≤b 范圍內(nèi)，這段信號同樣會被截除，并出現(xiàn)在0≤n ≤b-N 位置。

3 頻域?yàn)V波中避免時域端點(diǎn)效應(yīng)的原理

本文現(xiàn)從時域和頻域運(yùn)算間的關(guān)系角度分析為避免時域端點(diǎn)效應(yīng)，頻域?yàn)V波過程應(yīng)滿足的條件。

由傅里葉變換的性質(zhì)可知，頻域的乘積運(yùn)算等價于時域的卷積運(yùn)算，所以。

由上式可知經(jīng)過頻域?yàn)V波后的信號相當(dāng)于原信號在時域與濾波器的時域響應(yīng)做卷積運(yùn)算的結(jié)果。假設(shè)x（n）和 f（n）在時間軸上的第一個和最后一個非零值出現(xiàn)的位置分別為 N1、N2和 N3、N4，濾波后的信號為 xf（n），則：

若xf（x）≠0，則x（m）≠0 且f（n-m）≠0，所以m ≤N2，nm ≤ N4，兩式相加得。

由（7）式可知，原信號的采樣總時長N 滿足（8）式時，可以確保濾波后的信號在時間軸末端不被截斷。

（8）式可以變形為

因?yàn)閷τ诟道锶~反變換，時間軸的兩個方向是等價的，所以由（9）可以得到確保濾波后的信號在時間軸起始端不被截斷的條件。

（9）式和（11）式指出了原信號和濾波器的參數(shù)滿足什么條件時，可以保證經(jīng)過頻域?yàn)V波的信號在時域不出現(xiàn)端點(diǎn)效應(yīng)。從推導(dǎo)過程可以看出，這兩個不等式表達(dá)的是避免時域端點(diǎn)效應(yīng)的充分條件，而非必要條件。所以若頻域?yàn)V波過程中出現(xiàn)了時域端點(diǎn)效應(yīng)，可以按滿足（8）（11）兩式的方向調(diào)整相關(guān)參數(shù)，但相關(guān)參數(shù)并非必須滿足兩式才能避免端點(diǎn)效應(yīng)。

4 避免時域端點(diǎn)效應(yīng)的方法及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)介紹了避免頻域?yàn)V波的時域端點(diǎn)效應(yīng)的兩種具體的方法，并以濾波后的信號在時間軸起始端被截斷造成的端點(diǎn)效應(yīng)為例，通過MATLAB 程序進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

4.1 時域補(bǔ)零

通過在原信號的末端增加M 個零值點(diǎn)，可使式（8）中的N增大M 而N2、N4不變，各參數(shù)整體向滿足該不等式變化，因此當(dāng)M 大于某個值時，信號在時間軸末端被截斷造成的端點(diǎn)效應(yīng)會得到避免。

類似的，通過在原信號的起始端增加M 個零值點(diǎn)，可使式（11）中的N、N1各增大M。因?yàn)轭l域采樣點(diǎn)數(shù)增加了M，所以濾波器的離散傅里葉反變換時長增加了M，由離散傅里葉反變換結(jié)果的對稱性可知，N3增大了M/2。因此（11）式左端增大了M，右端增大了3M/2，各參數(shù)整體向滿足該不等式變化，因此當(dāng)M大于某個值時，信號在時間軸起始端被截斷造成的端點(diǎn)效應(yīng)會得到避免。

在圖2 所示信號起始端增加100 個零值點(diǎn)，得到圖6 所示延時0.25s 后的信號。

圖6 延時0.25s 后的信號

根據(jù)離散傅里葉變換的性質(zhì)，信號的頻譜（振幅譜）不發(fā)生變化，且仍為均勻采樣，但采樣數(shù)比原來增加100，采樣間隔變小。因此要通過頻域?yàn)V波獲取與第一節(jié)中相同的頻率成分，所使用的濾波器應(yīng)滿足連續(xù)頻譜與第一節(jié)實(shí)驗(yàn)中的濾波器相同，但采樣位置與圖6 信號頻譜的采樣位置相同。該濾波器的頻譜如圖 7 所示。

圖7 與圖6 信號頻譜的采樣位置相同下的濾波器頻譜

圖8 紅線和藍(lán)線分別是第一節(jié)的實(shí)驗(yàn)和本實(shí)驗(yàn)所用濾波器的時域響應(yīng)，可以看出藍(lán)線第一個非零值的位置比紅線增大了50，與理論分析相符。

圖8 不同實(shí)驗(yàn)所用濾波器的時域響應(yīng)

圖9 是經(jīng)過頻域?yàn)V波得到的時域信號，可見圖5 中的端點(diǎn)效應(yīng)消失，證明了時域補(bǔ)零方法的有效性。

圖9 經(jīng)過頻域?yàn)V波得到的時域信號

4.2 拓寬濾波器頻譜

通過拓寬濾波器頻譜，使其時域響應(yīng)變窄，（8）式中的N4變小，（11）式中的N3 變大，兩式中的參數(shù)都向使不等式成立的方向變化。因此信號在時間軸起始端和末端被截斷造成的端點(diǎn)效應(yīng)都可以通過拓寬濾波器頻譜來解決。

將第一節(jié)實(shí)驗(yàn)所用濾波器的過渡帶寬度增加到9Hz，其頻譜如圖10 所示。

圖1 0 濾波器過渡帶寬度增加到9Hz 時的頻譜

圖11 紅線和藍(lán)線分別是第一節(jié)的實(shí)驗(yàn)和本實(shí)驗(yàn)所用濾波器的時域響應(yīng)，可以看出本實(shí)驗(yàn)濾波器的時域響應(yīng)變窄，第一個零值點(diǎn)位置后移，最后一個零值點(diǎn)位置前移。

圖12 是用過渡帶寬度增加的濾波器對圖2 所示信號進(jìn)行頻域?yàn)V波的結(jié)果，可見圖5 中的端點(diǎn)效應(yīng)消失，證明了拓寬濾波器頻譜方法的有效性。同時因?yàn)闉V波器的過渡帶變得更加平緩，吉布斯效應(yīng)也得以減弱。

圖11 不同實(shí)驗(yàn)所用濾波器的時域響應(yīng)

圖12 經(jīng)過頻域?yàn)V波得到的時域信號

5 結(jié)論

對數(shù)字信號進(jìn)行頻域?yàn)V波所得到的時域信號可能在一端被截斷，被截去的部分出現(xiàn)在另一端，造成時域信號失真。本文稱這一現(xiàn)象為頻域?yàn)V波的時域端點(diǎn)效應(yīng)。通過理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)，得出以下結(jié)論：

（1）頻域?yàn)V波的時域端點(diǎn)效應(yīng)產(chǎn)生的原因是原信號經(jīng)過頻域?yàn)V波后時寬變長，因采樣總時長有限而在一端或兩端被截斷。同時因?yàn)轭l域信號對應(yīng)的時域信號的周期性，在一端被截除的信號在另一端重現(xiàn)。

（2）假設(shè)原信號采樣總時長為N，原信號和濾波器的時域響應(yīng)在時間軸上的第一個和最后一個非零值出現(xiàn)的位置分別為 N1、N2和 N3、N4，則上述參數(shù)滿足 N-1≤N1+N3可以確保不出現(xiàn)信號在起始端被截斷造成的端點(diǎn)效應(yīng)；滿足N-1≥N2+N4可以確保不出現(xiàn)信號在末端被截斷造成的端點(diǎn)效應(yīng)。

（3）若頻域?yàn)V波過程中出現(xiàn)了時域端點(diǎn)效應(yīng)，可以按滿足結(jié)論（2）中的兩個不等式的方向調(diào)整相關(guān)參數(shù)。但因?yàn)檫@兩個不等式表達(dá)的是避免時域端點(diǎn)效應(yīng)的充分條件而非必要條件，所以調(diào)整后參數(shù)并非必須滿足兩式。

（4）通過在原信號的起始端補(bǔ)零，可以避免濾波后的信號在起始端被截斷造成的端點(diǎn)效應(yīng)；在原信號的末端補(bǔ)零，可以避免濾波后的信號在末端被截斷造成的端點(diǎn)效應(yīng)。

（5）通過拓寬濾波器頻譜，信號在時間軸起始端和末端被截斷造成的端點(diǎn)效應(yīng)都可以得到解決。