◇ 山東 張世強

在極坐標(biāo)系中,我們經(jīng)常會遇到點與點的三種特殊的位置關(guān)系,即同一個點、共線的點、共圓的點這三種“點”的問題.由于極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)之間的差別,在解決這三種“點”的極坐標(biāo)問題時,經(jīng)常會由于平面直角坐標(biāo)知識的負(fù)遷移而導(dǎo)致錯誤,在解答此類問題時一定要加以重視.

1 同一個點

在極坐標(biāo)系中,一個點的極坐標(biāo)可以有多種表達(dá)形式,即極坐標(biāo)系中的點與它的極坐標(biāo)不是一一對應(yīng)的.

例1“ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2”是“兩點A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析

由ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2可得兩點A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)是重合的;而若兩點A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合,可得當(dāng)ρ1＝ρ2 時,θ1＝2kπ＋θ2(k∈Z);當(dāng)ρ1＝－ρ2時,θ1＝(2k＋1)π＋θ2(k∈Z);所以“ρ1＝ρ2 且θ1＝θ2”是“兩點A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)重合”的充分不必要條件,故選擇A.

點評

在解決同一個點的問題時,一定要注意點的極坐標(biāo)是不唯一的.

2 共線的點

在極坐標(biāo)系中,要研究點共線的點問題時,往往可以把點的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo),再結(jié)合平面直角坐標(biāo)中的相關(guān)知識來處理問題.

例2在極坐標(biāo)系中,已知三點試判斷A,B,C三點是否在同一條直線上.

解析

方法1由的直角坐標(biāo)分別為那么所以kAB＝kAC,因此A,B,C三點在同一條直線上.

方法2由于那么

點評

解答此類問題,常用的方法是將極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)問題,再利用平面直角坐標(biāo)的相關(guān)知識加以求解.

3 共圓的點

在極坐標(biāo)系中,要判斷點是否在相應(yīng)的圓上,一般把圓的方程與點的坐標(biāo)都轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程中對應(yīng)的坐標(biāo),再利用相關(guān)的知識加以判斷.

例3圓M的極坐標(biāo)方程為判斷點是否在M上.

解析

點評

本題可直接根據(jù)相應(yīng)的極坐標(biāo)方程確定相應(yīng)的圓心與半徑,再巧妙轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)方程,從而實現(xiàn)順利求解.