杜太行，陳 霞，孫曙光，郝 靜，王銳雄，梁 杰

(1.河北工業(yè)大學(xué)人工智能與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，天津 300130；2.河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院，河北石家莊 050000；3.河北水利電力學(xué)院自動(dòng)化與通信工程學(xué)院，河北滄州 061000)

0 引言

弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)在故障診斷、無線電監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，實(shí)際環(huán)境中，由于電磁信號(hào)的復(fù)雜性，而且還伴隨著噪聲干擾，無線電信號(hào)在傳播過程中，導(dǎo)致信號(hào)接收的不確定性，加之無線電信號(hào)頻率很高，因此用常規(guī)的信號(hào)檢測(cè)方法難以將它們檢測(cè)出來并加以利用。因此，從嘈雜的背景中實(shí)現(xiàn)無線電弱信號(hào)檢測(cè)既是研究的熱點(diǎn)，也是廣大學(xué)者研究的方向[1]。

由意大利學(xué)者R BENZI.等人研究古氣象冰期周期性遞歸現(xiàn)象時(shí)提出的隨機(jī)共振是一種與傳統(tǒng)去噪方法不同的新方法[2]，將噪聲變廢為寶，與傳統(tǒng)處理噪聲的方法相比，讓噪聲、周期激勵(lì)信號(hào)和隨機(jī)共振非線性系統(tǒng)達(dá)到某種匹配，一定程度的噪聲不僅不會(huì)給信號(hào)造成負(fù)面作用，還可顯著增強(qiáng)隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出，增強(qiáng)弱信號(hào)的同時(shí)又削弱噪聲信號(hào)，進(jìn)而達(dá)到信號(hào)檢測(cè)的目的。

目前為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)隨機(jī)共振的模型對(duì)稱反射四次勢(shì)的研究已經(jīng)較為成熟，學(xué)者們又發(fā)現(xiàn)其他勢(shì)阱也能發(fā)生隨機(jī)共振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[3]提出了周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)用來檢測(cè)軸承故障。文獻(xiàn)[4]對(duì)周期勢(shì)系統(tǒng)中的共振進(jìn)行了理論研究。文獻(xiàn)[5]研究了布朗粒子受到諧波激勵(lì)和有色噪聲影響時(shí)的周期勢(shì)系統(tǒng)。文獻(xiàn)[6]利用周期勢(shì)系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)作為隨機(jī)共振的數(shù)學(xué)模型，其與傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)相比具有更好的檢測(cè)效果。文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]將Woods-Saxon勢(shì)阱模型與徑向Gaussian Potential勢(shì)阱模型結(jié)合，分別檢測(cè)葉片裂紋和軸承故障，與傳統(tǒng)隨機(jī)共振進(jìn)行對(duì)比，目標(biāo)頻率處的頻譜更清晰。

針對(duì)傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)只能適用于小參數(shù)信號(hào)即低頻(f≤1 Hz)周期信號(hào)的檢測(cè)這一問題，學(xué)者們提出了頻移變換[9]，歸一化變換[10]，二次采樣技術(shù)[11]，調(diào)節(jié)阻尼系數(shù)與頻率相匹配的高頻檢測(cè)方法[12]。

基于以上基礎(chǔ)，本文將周期勢(shì)系統(tǒng)勢(shì)阱與GP勢(shì)阱結(jié)合提出一種GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)，然后采用調(diào)節(jié)阻尼系數(shù)與頻率相匹配的方法克服隨機(jī)共振檢測(cè)小參數(shù)信號(hào)的限制，來檢測(cè)無線電弱信號(hào)，同時(shí)就檢測(cè)效果與傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)和周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比。

1 隨機(jī)共振系統(tǒng)模型

1.1 傳統(tǒng)隨機(jī)共振

產(chǎn)生隨機(jī)共振有3個(gè)條件必不可少：非線性系統(tǒng)，周期激勵(lì)信號(hào)和噪聲驅(qū)動(dòng)。

傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)的描述方程如下：

(1)

(2)

〈n(t)〉=0

(3)

〈n(t)n(t′)〉=2Dδ(t-t′)

(4)

將式(2)代入式(1)中，可得到描述傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)的非線性Langevin方程為

(5)

式中：t為時(shí)間變量；x為系統(tǒng)響應(yīng)；a和b為傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)的參數(shù)；k為隨機(jī)共振系統(tǒng)阻尼系數(shù)；s(t)為輸入的周期激勵(lì)信號(hào)；D為噪聲強(qiáng)度；n(t)為均值為0，方差為1的高斯白噪聲；U(x)為傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)；δ(t)為狄拉克函數(shù)。

1.2 Gaussian Potential(GP)勢(shì)阱模型

在核物理學(xué)的研究中，一般用GP模型來描述復(fù)核散射[7]，徑向GP模型可以表示為

(6)

式中：V為勢(shì)阱深度；R為勢(shì)阱寬度。

圖1和圖2表明了不同參數(shù)對(duì)GP勢(shì)阱的影響。由圖1所示，固定V，僅調(diào)節(jié)R改變的是GP勢(shì)阱的寬度，并且隨著R減小，勢(shì)阱寬度也在逐漸變窄，勢(shì)阱的兩壁也逐漸變得陡峭，勢(shì)阱的兩端也越來越快地收斂于0。由圖2所示，固定R，僅調(diào)節(jié)V改變的是GP勢(shì)阱的深度，并且隨著V減小，GP勢(shì)阱的深度也逐漸變淺，并且勢(shì)阱深度由V唯一決定。

圖1 GP勢(shì)阱結(jié)構(gòu)參數(shù)R影響分析

圖2 GP勢(shì)阱結(jié)構(gòu)參數(shù)V影響分析

1.3 周期勢(shì)系統(tǒng)

周期勢(shì)系統(tǒng)[6]的勢(shì)函數(shù)Up(x)可表示為

Up(x)=-acos(bx)

(7)

式中：a,b為周期勢(shì)系統(tǒng)的參數(shù)。

上述勢(shì)阱也可描述為受到白噪聲干擾的外部的扭矩的擺動(dòng)。周期勢(shì)系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)可描述為如圖3所示。

圖3 周期勢(shì)系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)

1.4 GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)的勢(shì)阱模型

基于以上GP勢(shì)阱和周期勢(shì)系統(tǒng)勢(shì)阱，將GP勢(shì)阱模型和周期勢(shì)系統(tǒng)勢(shì)阱模型相結(jié)合，提出一種GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)模型，勢(shì)函數(shù)如下：

(8)

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)Ub(x)進(jìn)行求導(dǎo)，得到GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)的勢(shì)阱力Ub′(x)為

(9)

將GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)替代傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)中的勢(shì)函數(shù)，可以得到GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)方程為

(10)

圖4是GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)圖。該勢(shì)阱讓在單一的周期勢(shì)系統(tǒng)勢(shì)阱中振蕩的布朗粒子的運(yùn)動(dòng)變成在2個(gè)勢(shì)阱間進(jìn)行躍遷的運(yùn)動(dòng)，可以提高噪聲的利用率，從而改善輸出頻譜，使非線性系統(tǒng)、周期激勵(lì)信號(hào)、噪聲三者良好匹配，得到更好的隨機(jī)共振效果，進(jìn)而提高系統(tǒng)檢測(cè)信號(hào)的性能。

圖4 GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)

1.5 調(diào)節(jié)阻尼系數(shù)

源于絕熱近似理論[13]和線性響應(yīng)理論[14]的隨機(jī)共振系統(tǒng)，只能適用于小參數(shù)信號(hào)即低頻(f≤1 Hz)周期信號(hào)的檢測(cè)，而無線電信號(hào)通常都是高頻甚至超高頻，因此，采用文獻(xiàn)[12]調(diào)節(jié)阻尼系數(shù)與頻率相匹配的方法，來打破傳統(tǒng)隨機(jī)共振檢測(cè)小參數(shù)信號(hào)的限制，從而檢測(cè)無線電信號(hào)。

由于隨機(jī)共振系統(tǒng)隸屬于非線性系統(tǒng)，目前對(duì)隨機(jī)共振系統(tǒng)的非線性方程通常采用數(shù)值法求解，一般選用四階龍格-庫(kù)塔(Runge-Kutta)算法求解式(10)，如式(11)：

(11)

式中：h為步長(zhǎng)；n為采樣點(diǎn)。

2 仿真信號(hào)分析

為了說明上述GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)的有效性，通過仿真信號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證，采用式(11)算法對(duì)隨機(jī)共振系統(tǒng)非線性方程進(jìn)行求解，同時(shí)對(duì)隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出的信號(hào)進(jìn)行頻譜分析。

2.1 混合信號(hào)分析

首先構(gòu)造了頻率為10 MHz和30 MHz，噪聲強(qiáng)度系數(shù)為D=0.6的無線電弱信號(hào)。sn(t)由無線電弱信號(hào)和高斯白噪聲構(gòu)成：

sn(t)=Asin(2πf1t)+Bsin(2πf2t)+n(t)

式中：A=B=0.3；f1為10 MHz；f2為30 MHz；n(t)為高斯白噪聲。

將含噪信號(hào)分別輸入GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)、傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)和周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)中。含噪信號(hào)經(jīng)GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出的頻譜圖如圖5所示，和圖6傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)和圖7周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出頻譜相比有明顯的2個(gè)譜峰并且波形平坦，雜頻干擾少。

(a)系統(tǒng)輸出信號(hào)時(shí)域圖

(b)系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜圖圖5 GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)

(a)系統(tǒng)輸出信號(hào)時(shí)域圖

(b)系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜圖圖6 傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)

(a)系統(tǒng)輸出信號(hào)時(shí)域圖

(b)系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜圖圖7 周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)

隨機(jī)共振系統(tǒng)檢測(cè)信號(hào)的獨(dú)特之處就是利用噪聲，在非線性系統(tǒng)，周期激勵(lì)信號(hào)和噪聲共同的作用下，達(dá)到信號(hào)檢測(cè)的目的。為了進(jìn)一步說明GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)對(duì)高斯噪聲的利用率，通過在無線電弱信號(hào)中加入含噪更少的信噪比為50 dB的高斯白噪聲進(jìn)行驗(yàn)證，sn(t)由無線電弱信號(hào)和n(t)信噪比是50 dB的高斯白噪聲構(gòu)成。

sn(t)=Asin(2πf1t)+Bsin(2πf2t)+n(t)

式中：A=B=0.3；f1為10 MHz；f2為30 MHz。

如圖8所示，含噪信號(hào)經(jīng)GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出的頻譜，與圖9所示傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出頻譜波形相比更為平坦，整個(gè)輸出頻段上的噪聲幾乎被濾除干凈，并且與圖10所示周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出頻譜峰值相比約高0.05。由此可知，GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)對(duì)噪聲的利用率更高。

2.2 調(diào)制信號(hào)分析

無線電信號(hào)包括調(diào)制信號(hào)，下文對(duì)調(diào)制信號(hào)進(jìn)行分析。采用阻尼系數(shù)與被調(diào)制信號(hào)頻率fe相適應(yīng)的原則?；旌闲盘?hào)由無線電弱信號(hào)和高斯白噪聲構(gòu)成。

(a)系統(tǒng)輸出信號(hào)時(shí)域圖

(b)系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜圖圖8 GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)

(a)系統(tǒng)輸出信號(hào)時(shí)域圖

(b)系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜圖圖9 傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)

(a)系統(tǒng)輸出信號(hào)時(shí)域圖

(b)系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜圖圖10 周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)

式中：A=1；B=0.3；fc為調(diào)制頻率，fc=1 500 Hz；fe為被調(diào)制頻率，fe=60 Hz；D為噪聲強(qiáng)度系數(shù)，D=0.6。

將無線電弱信號(hào)分別輸入GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)、傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)和周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)中。含噪無線電弱信號(hào)經(jīng)GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出后如圖11所示，清晰可見1 500 Hz的調(diào)制信號(hào)，并且在1 500 Hz前后的頻譜波形都很平坦，噪聲干擾少。經(jīng)傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出如圖12所示，60 Hz的信號(hào)能被調(diào)制到1 500 Hz處，但是在頻譜圖中，明顯看到頻譜波形中1 000 Hz之前的信號(hào)頻譜有明顯的噪聲干擾，“毛刺”較多，經(jīng)周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出如圖13所示，60 Hz被調(diào)制到1 500 Hz處，和圖11相比，頻譜平坦性較差。由此可知，GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)對(duì)調(diào)制信號(hào)有良好的檢測(cè)效果。

(a)系統(tǒng)輸出信號(hào)時(shí)域圖

(a)系統(tǒng)輸出信號(hào)時(shí)域圖

(b)系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜圖圖12 傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)

(a)系統(tǒng)輸出信號(hào)時(shí)域圖

(b)系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜圖圖13 周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)

3 結(jié)束語

本文將GP勢(shì)阱模型與周期勢(shì)系統(tǒng)勢(shì)阱模型相結(jié)合，建立GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)，并結(jié)合調(diào)節(jié)阻尼系數(shù)與頻率相匹配的原則，檢測(cè)高頻和調(diào)制無線電弱信號(hào)。通過對(duì)高斯白噪聲背景下的無線電弱信號(hào)檢測(cè)，仿真結(jié)果表明，所提出的GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)，與傳統(tǒng)隨機(jī)共振系統(tǒng)和周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)相比，減少了干擾頻率成分的同時(shí)，突顯了目標(biāo)特征頻率信號(hào)；同時(shí)增強(qiáng)了待測(cè)信號(hào)頻譜幅值，提高了隨機(jī)共振對(duì)噪聲的利用率。表明GP-周期勢(shì)隨機(jī)共振系統(tǒng)檢測(cè)無線電弱信號(hào)具有優(yōu)勢(shì)。