宋 娟，劉琪才，陸顥瓚，楊佳慧，朱宇宬,王德波

(1.青島黃海學院智能制造學院，山東青島 266427；2.南京郵電大學電子與光學工程學院，江蘇南京 210023)

0 引言

在振動能量收集領域中，壓電式振動能量收集器作為一種較好的解決方案，有著結(jié)構(gòu)簡單、輸出功率大、電能直接輸出、發(fā)熱較小、不受電磁干擾以及易于通過MEMS技術(shù)集成等諸多優(yōu)點，目前成為振動能量收集領域應用較多、研究較多的一種能量收集方式[1-3]。現(xiàn)有的大多數(shù)能量收集器件均為基于線性幾何構(gòu)型設計的懸臂梁結(jié)構(gòu)，但是單一懸臂梁能量收集器工作頻帶窄，輸出電壓低且受到激勵方向的限制，針對上述存在的缺點，人們開發(fā)出了多種不同的懸臂梁結(jié)構(gòu)以提高能量收集器的性能[4-6]。

Kasyap等設計了具有多種諧振頻率的能量收集器結(jié)構(gòu)，通過改變自由端質(zhì)量塊的大小實現(xiàn)多種諧振頻率的線性懸臂梁組合構(gòu)型[7]，或通過線性幾何構(gòu)型的尺寸變化來改變多階諧振頻率的間距[8]，進而實現(xiàn)不同頻率寬帶的壓電振動能量收集器[9]；陳仁文等提出了褶皺型懸臂梁結(jié)構(gòu)，利用曲面懸臂梁實現(xiàn)輸出性能的提升；侯志偉提出了蒲公英狀懸臂梁結(jié)構(gòu)[10]，利用不同指向的線性懸臂梁構(gòu)型實現(xiàn)不同方向的能量收集，當能量收集器的方向偏離最佳方向時，收集器的效率明顯下降。上述新型結(jié)構(gòu)雖然為提高壓電式振動能量收集器性能提出了較為可行的解決方案，但實際應用中可能會面臨諸多問題，尤其是線性幾何構(gòu)型的設計理念無法實現(xiàn)單一構(gòu)型下多方向同頻率振動能量的吸收，其效率方面也沒有突破性的提高。

針對現(xiàn)有方案的不足，本文綜合考慮工作頻帶、多方向效率和負載特性3個因素，提出了一種基于平面工藝集成的“圓弧樹杈型壓電式能量收集器”，并且建立了相應的器件陣子模型用于分析圓弧懸臂梁的受力情況。在非線性圓弧構(gòu)型理論的基礎上，建立多自由度系統(tǒng)理論，并通過測試分析器件的工作狀態(tài)，檢驗該模型的穩(wěn)定性，得到理論輸出電壓、輸出功率、方向性效率以及耦合度大小，為下一代壓電式振動能量收集器的設計提供新思路。

1 圓弧樹杈型能量收集器的理論分析

1.1 圓弧樹杈型懸壓電能量收集器結(jié)構(gòu)

圓弧樹杈型壓電式能量收集器結(jié)構(gòu)如圖1所示，整個結(jié)構(gòu)通過固定梁、直形主梁，圓弧形副梁以及副梁上的質(zhì)量塊組成，其中每個副梁上的質(zhì)量塊的厚度不同，因此質(zhì)量塊的質(zhì)量不同，以及每個副梁上的質(zhì)量塊距固定端的有效距離也不同，由此可以達到不同諧振頻率的目的，本文所述的結(jié)構(gòu)為一種演示結(jié)構(gòu)，實際應用時可根據(jù)實際需求擴展副梁的數(shù)量。

圖1 圓弧樹杈型壓電式能量收集器結(jié)構(gòu)

該結(jié)構(gòu)通過4個質(zhì)量塊不同的圓弧懸臂梁實現(xiàn)4個相鄰的諧振頻率，從而提高器件的整體工作帶寬，同時通過樹杈的方式組合降低了器件占用面積，提高了面積使用率。在懸臂梁的設計上，基于非線性幾何構(gòu)型的設計理念，使用了新穎的圓弧梁設計，不同于常見的線性直型梁構(gòu)型，只能利用彎矩產(chǎn)生的應力變化，圓弧梁在受到外部激勵的作用下能同時產(chǎn)生彎矩和扭矩兩種應力源，其中扭矩產(chǎn)生的應力變化遠大于彎矩產(chǎn)生的應力變化，而壓電式能量收集器的輸出電能是與壓電材料表面所受應力成正比的，因此基于圓弧梁的壓電能量收集器能夠產(chǎn)生更大的輸出電壓和輸出功率。因此，圓弧梁能夠有效吸收各個方向的激勵，而常見的直形懸臂梁的最佳接收方向為梁平面的法方向，一旦激勵偏離這一方向就無法有效產(chǎn)生彎矩，懸臂梁的形變、表面應力以及壓電材料的電能輸出將大幅度下降。

1.2 樹杈型懸臂梁多階頻率

根據(jù)能量守恒理論，系統(tǒng)的動能和勢能在任意時間之和為常數(shù)，即

(1)

式中：Ed為系統(tǒng)動能；Es為系統(tǒng)勢能。

推廣至樹杈振動系統(tǒng)，樹杈圓弧壓電式能量收集器的動能和勢能分別表示為[11]

(2)

式中：kz為直形主梁的等效彈性系數(shù)；kf為圓弧副梁的等效彈性系數(shù)；mz為直形主梁的等效質(zhì)量；mf為圓弧副梁以及副梁上質(zhì)量塊的等效質(zhì)量；rf為各圓弧副梁的振動偏移；rz為直形主梁的振動偏移。

由于直形主梁的幾何構(gòu)型呈線性，當發(fā)生自由振動時，固定端向載重端一方的截面應力分布均勻，所以線性構(gòu)型下的振動偏移方程rz可近似等效為

rz=Acos(vt+φ)

(3)

式中：A為直形主梁的振幅；v為振動速度；φ為直形主梁與固定梁之間的相對轉(zhuǎn)角。

將式(3)代入式(2)，可得樹杈振動系統(tǒng)的自由振動方程[12]：

(4)

對式(4)進一步求解可得：

(5)

該行列式中線性主梁構(gòu)型的彈性系數(shù)經(jīng)化簡得：

(6)

式中：d為直形主梁的長度；Tt為直形主梁彈性模量；Jl為直形主梁的慣性矩。

假定直形主梁的彈性系數(shù)kz理想狀態(tài)下對各圓弧形副梁的振動影響相同，但實際中由于圓弧形副梁固定于直形主梁的位置存在差異，所以對各圓弧形副梁的振動影響不同。假定各圓弧形副梁間振動無耦合，各圓弧形副梁的彈性系數(shù)kf均可等效為單圓弧形壓電能量收集器的彈性系數(shù)k0：

(7)

式中：b為質(zhì)量塊邊長；l為圓弧副梁的弧中點半徑；Ec為圓弧副梁彈性模量；Ic為圓弧副梁的慣性矩。

基于此，聯(lián)立式(5)-式(7)可得到樹杈系統(tǒng)在理想情況下前四階諧振頻率的值分別為

(8)

1.3 樹杈型懸臂梁開路電壓分析

由于圓弧梁的幾何構(gòu)型呈非線性，當發(fā)生自由振動時，固定端向載重端一方的截面應力分布不均勻，根據(jù)文獻[13]的微分方程組和模態(tài)分析理論用于處理非線性圓弧副梁構(gòu)型，可解得各圓弧形副梁的振動偏移為

(9)

式中：ρc1(x)為圓弧梁模態(tài)；υm為圓弧形樹杈振動模型的多階諧振頻率；Cc各圓弧副梁的壓電層間電容;Rl為層間電阻；Fo為外部激勵；υn為系統(tǒng)的一階固有頻率；υo為外部激勵頻率；ζm為阻尼比。

由式(9)可得各圓弧形副梁的開路電壓方程為

(10)

式中：Rd為負載電阻；χ為等效耦合系數(shù)。

1.4 建模與仿真

建立樹杈圓弧形懸臂梁壓電式能量收集器的模型，其器件結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，材料參數(shù)如表2所示。

表1 圓弧樹杈型壓電能量收集器結(jié)構(gòu)參數(shù) mm

表2 能量收集器材料參數(shù)

利用Comsoltm有限元仿真軟件，設定激勵加速度1.1g(g為重力加速度)，設定頻率取值在3～6 Hz，假設圓弧樹杈型及單自由度能量收集器的振動方向為Z軸方向，通過改變作用在其上的振動頻率，仿真結(jié)果如圖2所示。

(a)X軸激勵方向的理論頻率響應

(b)Y軸激勵方向的理論頻率響應

(c)Z軸激勵方向的理論頻率響應

單自由度與樹杈型的諧振頻率都與式(8)的理論諧振頻率基本一致。根據(jù)仿真結(jié)果，樹杈及單自由度圓弧形器件的諧振頻率及對應開路電壓如表3所示。

從表3可以看出：樹杈圓弧形壓電式能量收集器的四階諧振頻率分別為：4.08、4.38、4.50、4.74 Hz，對應的開路電壓分別為：19.45、26.93、25.93、21.1 V。單自由度圓弧形器件的一階諧振頻率及開路電壓為4.74 Hz和31.38 V。由于樹杈型結(jié)構(gòu)具有四階諧振頻率且在各方向上相差不大，較之于只有一階諧振頻率的單自由度結(jié)構(gòu)顯著提高了其工作頻率，具有高寬帶的優(yōu)勢。

表3 圓弧樹杈形壓電能量收集器頻率響應理論值

2 圓弧樹杈型能量收集器實驗測量

2.1 圓弧樹杈型能量收集器頻率響應測試

為驗證圓弧樹杈型壓電式能量收集器具有寬頻帶特性，首先以Z振動方向為例，利用振動臺控制振動頻率變化進行掃頻實驗測量開路電壓，獲取能量收集器的頻率響應測試值，由該模型的電壓理論式(10)可得Z軸振動方向下兩系統(tǒng)開路電壓與頻率的關(guān)系如圖3所示。

圖3 Z軸方向下開路電壓與頻率關(guān)系圖

由圖2(a)可知單自由度圓弧型能量收集器的理論寬帶為0.24 Hz，圓弧樹杈型能量收集器的理論寬帶為0.98 Hz，有效帶寬擴展了0.74 Hz。根據(jù)圖3及測試得到的數(shù)據(jù)可知：單自由度圓弧型能量收集器的測量寬帶也是0.24 Hz，而圓弧樹杈型的測量寬帶為1.45 Hz，有效帶寬擴大了1.21 Hz。對比實測與理論的頻帶寬度結(jié)果發(fā)現(xiàn)其存在一定的差異，造成這個差異的原因可能為理論模型采用的是無級間耦合時的理想情況，忽略了外力及阻尼的影響。而實際測試中圓弧懸臂梁在同一主梁上的振動將相互傳遞，從而使得其阻尼比之差減小，阻尼比的差異將導致實測的系統(tǒng)具有較寬的頻帶。

2.2 樹杈及單自由度圓弧型能量收集器方向性對比

通過理論結(jié)果可知兩圓弧形系統(tǒng)在X軸及Y軸方向仍有有效輸出，為驗證圓弧樹杈型壓電式能量收集器在不同方向激勵下的效率，按照上述測試方法分別施加X軸、Y軸方向的振動激勵以獲得其頻率響應，水平振動方向下開路電壓與頻率的關(guān)系如圖4與圖5所示。振動激勵方向的變化不會影響各圓弧懸臂梁諧振頻率的變化，即兩圓弧形結(jié)構(gòu)具備多方向同頻率吸收能量的特點。分析兩系統(tǒng)不同方向下的頻率響應特性可知：同時激勵方向為Z軸和Y軸時電能輸出變化差異小，激勵方向為X軸時電能輸出有明顯下降，但依舊有有效輸出。因此，對比樹杈型及單自由度圓弧型能量收集器的理論及實測數(shù)據(jù)，由于樹杈型系統(tǒng)具有四階諧振頻率，提高了壓電式能量收集器的寬帶工作特性，但在Z軸和X軸激勵方向下較之于單自由度圓弧型系統(tǒng)具有較低的開路電壓輸出。

圖4 X軸方向下開路電壓與頻率關(guān)系圖

圖5 Y軸方向下開路電壓與頻率關(guān)系圖

3 結(jié)束語

本文通過對樹杈型圓弧壓電式能量收集器的設計，在單圓弧多方向壓電能量收集理論的基礎上建立了新的理論模型，并且分析了圓弧非線性構(gòu)型在不同方向激勵作用下的輸出。該系統(tǒng)成功縮減了多階頻率間距，通過對理論模型的分析以及實驗測試驗證了樹杈型圓弧壓電式能量收集器在工作頻帶、輸出電壓、輸出功率、方向效率上的諸多優(yōu)點。實驗結(jié)果表明：該能量收集器的四階諧振頻率差異小，相比于單圓弧壓電能量收集器具有大寬帶接收能力，同時相比于傳統(tǒng)的直型懸臂梁可輸出更高的電能；由于非線性構(gòu)型較傳統(tǒng)線性構(gòu)型的優(yōu)勢，該模型各圓弧副梁均具備單一構(gòu)型多方向振動能量吸收的優(yōu)點。實際應用中可以通過增加圓弧副梁的方式進一步擴寬器件的工作頻帶，也能通過改變圓弧副梁的指向進一步改善器件整體的方向效率。