張爾光

（廣東省韶關(guān)市人大機(jī)關(guān)，廣東 韶關(guān)510600）

任何一個(gè)大于6 的偶數(shù)均可表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)相加之和。這就是著名的哥德巴赫猜想。

2016 年1 月，筆者在《中華少年》第3 期發(fā)表了《哥德巴赫猜想成立的兩種證明方法》的文章。在該文，筆者根據(jù)哥德巴赫猜想表達(dá)的內(nèi)涵，找到了破題的關(guān)鍵點(diǎn)，尋求到既能反映奇素?cái)?shù)共同特征、又能被偶數(shù)所接受的兩個(gè)表達(dá)式，進(jìn)而尋求到證明哥德巴赫猜想能夠成立的兩種方法。

證明方法1：任何一個(gè)大于4 的偶數(shù)均可表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。筆者研究結(jié)果表明，任何一個(gè)大于3 的奇素?cái)?shù)均可表示為“一個(gè)小于其的素?cái)?shù)＋（2×n）之和”，又任何一個(gè)大于4 的偶數(shù)均可表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。其證明定理為：

n= P1＋P2= P1＋[P1＋2×（n÷2－P )]

（注：式中n 為＞4 的偶數(shù)，P1、P2表示素?cái)?shù)，P1、P2＜n，P1≤n÷2）

證明方法2：任何一個(gè)大于8 的偶數(shù)均可表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和筆者研究結(jié)果表明，任何一個(gè)大于3 的奇素?cái)?shù)均可表為“P=6×m±1”，又任何一個(gè)大于8 的偶數(shù)可表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，其證明定理為：

n=（6×m1±1）＋（6×m2±1）（式中n＞8）

兩種方法的證明結(jié)果表明，哥德巴赫猜想成立。

最近，筆者受一道數(shù)學(xué)奧數(shù)題的啟發(fā)，將哥德巴赫猜想表達(dá)的內(nèi)涵與本人發(fā)現(xiàn)的組合數(shù)學(xué)的循序逐增原理聯(lián)系起來(lái)，發(fā)現(xiàn)了證明哥德巴赫猜想成立的第三種方法。

1 我對(duì)哥德巴赫猜想的解讀及第三種證明方法的設(shè)定

哥德巴赫猜想表達(dá)的內(nèi)涵是，任何一個(gè)大于6 的偶數(shù)均可表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。我們已知，奇素?cái)?shù)是奇數(shù)的一部分。又知，任何一個(gè)大于6 的偶數(shù)均可表示為兩個(gè)奇數(shù)之和。根據(jù)這兩個(gè)已知的事實(shí)，對(duì)哥德巴赫猜想證明可作這樣的解讀：對(duì)“任何一個(gè)大于6 的偶數(shù)均可表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”的證明，實(shí)際上就是驗(yàn)證在“任何一個(gè)大于6 的偶數(shù)均可表示為兩個(gè)奇數(shù)之和”的等式中，是否均存在“其兩個(gè)加數(shù)同為奇素?cái)?shù)”的等式。如果所有大于6 的偶數(shù)的“兩個(gè)奇數(shù)相加的等式”中，均存在“其兩個(gè)加數(shù)同為奇素?cái)?shù)的等式”，那么，證明哥德巴赫猜想成立；如果某個(gè)偶數(shù)的“兩個(gè)奇數(shù)相加的等式”中不存在“兩個(gè)加數(shù)同為奇素?cái)?shù)的等式”，那么，證明哥德巴赫猜想不成立。又換言之，對(duì)哥德巴赫猜想的證明，就是驗(yàn)證所有大于6 的偶數(shù)是否全都存在于純屬于“兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”中，如果驗(yàn)證結(jié)果是肯定的，則證明成立，否則證明不成立。據(jù)此，可以說(shuō)，找到了只是表達(dá)“兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”的方法，也就找到了證明哥德巴赫猜想的方法。本人創(chuàng)立的應(yīng)用組合數(shù)學(xué)循序逐增原理對(duì)哥德巴赫猜想做出證明的方法，就是這樣的一種證明方法。

2 組合數(shù)學(xué)的循序逐增原理

筆者研究發(fā)現(xiàn)，從n 個(gè)不同的元素中“按以m 個(gè)不同元素為一組”而進(jìn)行的組合（不許重復(fù)），其組合過(guò)程完全是一個(gè)循序逐增的組合過(guò)程，其循序逐增的組合過(guò)程之原理，完全可以三角數(shù)陣表達(dá)出來(lái)。設(shè)S=｛1,2,3,4，5｝為例，按以兩個(gè)不同元素為一組進(jìn)行組合，其循序逐增的組合過(guò)程請(qǐng)見(jiàn)下圖。

從圖1 看出：其一，每一組的“兩個(gè)元素”組合，均是新增元素跟前有元素的組合，且其組合組數(shù)循著元素逐增而逐增；其二，組合結(jié)果的正確表達(dá)為：12；13,23；14,24,34；15,25,35,45。從其組合結(jié)果看出，組合為一組的“兩個(gè)元素”中的后一個(gè)元素?cái)?shù)字，循著逐增元素的次序而出現(xiàn)。其三，“逐增數(shù)”欄和“累加數(shù)”欄的數(shù)字告訴我們，其組合的加法原則算式為：1+2+3+4=10。筆者根據(jù)“逐增數(shù)”欄和“累加數(shù)”欄的數(shù)字規(guī)律，求得其加法原則定理為：1+2+3+……+（n-1）=Cn2。在此須指出的，一些教科書(shū)將這個(gè)例題的組合結(jié)果表達(dá)為“12，13，14,15；23,24,25；34,35；45”（即以組合的“兩個(gè)元素”中的前一個(gè)元素?cái)?shù)字為序取出的表達(dá)方式），將其組合的加法原則算式表達(dá)為“4+3+2+1=10”，是有悖于組合過(guò)程中的循序逐增原理的。

3 應(yīng)用數(shù)學(xué)組合的循序逐增原理證明哥德巴赫猜想成立的方法

所謂“應(yīng)用數(shù)學(xué)組合的循序逐增原理證明哥德巴赫猜想成立的方法”，就是將可表為偶數(shù)之和的兩個(gè)奇素?cái)?shù)，轉(zhuǎn)換為從n 個(gè)不同的元素中按2 個(gè)元素為一組組合的兩個(gè)組合元素，再將這兩個(gè)已轉(zhuǎn)換為組合元素的奇素?cái)?shù)相加，以求得各組“兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”，并以三角數(shù)陣表達(dá)出來(lái)，進(jìn)而從中證明哥德巴赫猜想是否成立。

現(xiàn)以證明偶數(shù)“6 至100”為例。第一步，將“3 至100”范圍內(nèi)的奇素?cái)?shù)當(dāng)作組合元素，并以三角矩陣將其兩個(gè)奇素?cái)?shù)的組合依序列出。見(jiàn)圖2。

圖2

第二步，計(jì)算出各組組合的兩個(gè)奇素?cái)?shù)相加之和，并以三角矩陣表達(dá)出來(lái)。見(jiàn)圖3。

圖3

從圖2、圖3 可看出：

奇素?cái)?shù)3 為重復(fù)元素時(shí)，其和為6；5 與3 兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和為8，奇素?cái)?shù)5 為重復(fù)元素時(shí)，其和為10；7 與3 兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和為10，7 與5 兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和為12，奇素?cái)?shù)7 為重復(fù)元素時(shí)，其和為14；11 與3 兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和為14，11 與5 兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和為16，11 與7 兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和為18，奇素?cái)?shù)11 為重復(fù)元素時(shí)，其和為22；其余略。

為讓人們對(duì)圖2、圖3 的“兩個(gè)組合元素（即兩個(gè)奇素?cái)?shù)）之和”中存在“6 至100”偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)有準(zhǔn)確的了解，筆者進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，見(jiàn)圖4。

圖4

從圖3、圖4 看出：其一，“6 至100”的各個(gè)偶數(shù)均存在于“兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”中，不存在漏缺現(xiàn)象。出現(xiàn)次數(shù)最低的是一位數(shù)的偶數(shù)“6 和8”，各為1 次；偶數(shù)10 起，出現(xiàn)次數(shù)均在2 次以上，最高的為84、90 此兩個(gè)可被6 整除的偶數(shù)。其二，偶數(shù)越大，其在“兩個(gè)組合元素（即兩個(gè)奇素?cái)?shù)）之和”中出現(xiàn)的次數(shù)越多。其三，可被6 整除的偶數(shù)，其在“兩個(gè)組合元素（即兩個(gè)奇素?cái)?shù)）之和”中出現(xiàn)的次數(shù)，比與其左右鄰近的偶數(shù)要多。第三步，驗(yàn)證。即是檢驗(yàn)“6 至100”范圍內(nèi)的偶數(shù)在兩個(gè)奇素?cái)?shù)相加之和中有無(wú)漏缺。經(jīng)將“6 至100”范圍內(nèi)的偶數(shù)與“3 至100”范圍內(nèi)的奇素?cái)?shù)相加之和進(jìn)行檢驗(yàn)核對(duì)，驗(yàn)證結(jié)果：圖3 所表達(dá)的“兩個(gè)組合元素（即兩個(gè)奇素?cái)?shù)）之和”中，均可找到“6 至100”范圍內(nèi)的偶數(shù)，不存在漏缺現(xiàn)象?？梢?jiàn)，哥德巴赫關(guān)于“任何一個(gè)大于6 的偶數(shù)均可表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)相加之和”的猜想成立。此證。

4 與證明結(jié)論有關(guān)的數(shù)字依據(jù)

為著更有力證明這種證明方法的可靠性，本人對(duì)“6 至1000”范圍內(nèi)的偶數(shù)在“兩個(gè)組合元素（即兩個(gè)奇素?cái)?shù)）之和”中出現(xiàn)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。見(jiàn)圖5。

圖5

從圖5 看出：其一，偶數(shù)越大，其在“兩個(gè)組合元素（即兩個(gè)奇素?cái)?shù)）之和”中出現(xiàn)的次數(shù)越多。其二，可被6 整除的偶數(shù)，其在“兩個(gè)組合元素（即兩個(gè)奇素?cái)?shù)）之和”中出現(xiàn)的次數(shù)，比與其左右鄰近的偶數(shù)要多。上述“其二、其三”兩種情況，與本人在《哥德巴赫猜想成立的兩種證明方法》所研究的結(jié)果相一致。它有力證明第三種證明方法得到的結(jié)論是可靠的。

在此，筆者要說(shuō)的，第一，應(yīng)用組合數(shù)學(xué)的循序逐增原理，將“其和”為偶數(shù)的兩個(gè)（加數(shù)）奇素?cái)?shù)轉(zhuǎn)換為兩個(gè)組合元素，并求得各組兩個(gè)組合元素（即奇素?cái)?shù)）之和，在方法上，它是一種可窮盡的方法，即是可將“兩個(gè)奇素?cái)?shù)相加等式”窮盡表達(dá)的方法。

第二，本人研究結(jié)果表明，偶數(shù)越大，其在“兩個(gè)組合元素（即兩個(gè)奇素?cái)?shù)）之和”中出現(xiàn)的次數(shù)越多（即其表示為“兩個(gè)奇素?cái)?shù)相加等式”越多）。因此，當(dāng)我們已知道一位數(shù)的偶數(shù)“6 和8”可表示為“兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”后，沒(méi)有理由懷疑兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)……更多位數(shù)的偶數(shù)不可表示為“兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”，更沒(méi)有理由懷疑哥德巴赫猜想不成立。

第三，破解數(shù)學(xué)命題，其證明方法不只一個(gè)。至于本人創(chuàng)立的應(yīng)用組合數(shù)學(xué)的循序逐增原理證明哥德巴赫猜想成立的方法，究竟算不算得上一種證明方法？這有請(qǐng)數(shù)學(xué)權(quán)威來(lái)做定論了。