覃桂茳 覃學文 石向東

0 引言

《高等數(shù)學》是大學生為將來學習與工作的基礎學科，是專業(yè)知識課程的橋梁，體現(xiàn)專業(yè)學生的職業(yè)素養(yǎng)。開展《高等數(shù)學》教學活動的目的是通過本課程的學習，使學生理解和掌握微積分的基本概念、理論和方法，培養(yǎng)學生具有熟練的基本運算能力，為后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學基礎。

本文結合自身的教育工作經(jīng)驗，以一道定積分的計算題作為案例分析，通過案例的拓展和延伸，提高學者們的計算能力。

1 案例分析

本文以文獻[1]中（教材第175 頁）的例1 作為案例進行分析。

解：設 x=asint，則 dx=acostdt，且當 x=0 時，t=0；當 x=a 時于是，

2 拓展與應用

為了提高學者對定積分計算知識的掌握，利用定積分的運算法則和性質(zhì)，結合函數(shù)的四個性質(zhì)（奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性）以及換元法，對例1 進行拓展與應用。

2.1 利用定積分的幾何意義求定積分

2.2 在對稱區(qū)間下利用函數(shù)的奇偶性求定積分

2.3 利用函數(shù)的周期性求定積分

引理[2]：

2.4 利用函數(shù)的單調(diào)性求定積分

若f（x）在[a，b]上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)時，則：

注：滿足以下兩個條件，可由對x 軸積分轉(zhuǎn)化為對y 軸積分：f（x）的反函數(shù)容易找出；相對更容易計算。

2.5 利用函數(shù)的有界性求定積分

利用定積分的中值定理，有：

利用由極限的夾逼定理，可得：

2.6 利用換元法求定積分

計算定積分時，首先觀察被積分函數(shù)，然后觀察上限和下限。不能立即得到被積分函數(shù)的原函數(shù)，則不能直接使用牛頓—萊布尼茨公式，就應該考慮被積分函數(shù)是否具有上述的四種性質(zhì)，然后按照相應的解法計算定積分。比如，像這道證明題無法從定積分的被積分函數(shù)找出解題思路，則需要考慮換元法求解問題。

代入原式，并利用定積分的可加性，得：

3 小結

通過上面的例子可以看到，使用單一的方法是不能計算較復雜定積分，需要多種方法和技巧的結合方可解決問題。培養(yǎng)學生分析問題能力，提高學生的計算能力等綜合能力，一直是教育工作者追求的目標。