孫 超，楊天翼，李明熹，馮智慧*

1吉林建筑大學(xué) 測繪與勘查工程學(xué)院,長春 130118 2河海大學(xué),南京 210000

0 引言

分形理論最早是由美籍?dāng)?shù)學(xué)家Mandelbrot B B.等[1-2]提出的,1967年Mandelbrot B B.[3]在美國權(quán)威期刊《科學(xué)》上發(fā)表了著名論文《英國的海岸線有多長?統(tǒng)計自相似和分?jǐn)?shù)維度》,并于1975年創(chuàng)立了分形幾何學(xué),形成了研究分形性質(zhì)及應(yīng)用的科學(xué),稱為分形理論.分維被用來描述分形的幾何復(fù)雜程度和比較分形在歐氏空間的充填程度,分維數(shù)值小于3.如果用M(x)表示d維歐幾里得空間(x,d)的非空子集,它的集合A∈M(x),假設(shè)此集合A能夠被有限個(N個)半徑為r的閉集合所覆蓋,將此N表示為N(A,r),則集合A的分形維數(shù)D定義為:

(1)

式中,D為分形維數(shù).

由于土中孔隙具有很好的自相似性,利用這一特征可以應(yīng)用分形理論對非飽和土參數(shù)進(jìn)行預(yù)測.徐永福等[4]用應(yīng)用分形理論得到非飽和土的土-水特征曲線、滲透系數(shù)以及吸力強度公式,通過已有實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證,擬合效果較好,說明了分形理論在預(yù)測非飽和土力學(xué)參數(shù)的可行性.馮君等[5]通過土-水特征曲線的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用分形理論得到非飽和土體積含水量和基質(zhì)吸力有很好的分形行為,進(jìn)而得到土中孔隙具有分形特征.

土-水特征曲線(Soil-water characteristic curve,英文縮寫為SWCC)是描述土持水能力的非線性函數(shù),其橫坐標(biāo)為基質(zhì)吸力φ,縱坐標(biāo)為飽和度S或體積含水量θw,當(dāng)土中基質(zhì)吸力增加很少時,開始有孔隙水從土中排出,此時對應(yīng)的基質(zhì)吸力為土的進(jìn)氣值φe,而后土的體積含水量隨基質(zhì)吸力的增加而降低,當(dāng)基質(zhì)吸力增加到一定值后,土中水沒有明顯的排出,此時對應(yīng)的體積含水量θw(或飽和度S)稱為殘余體積含水量θr(或殘余飽和度Sr),定義為氣連通而水不連通時土的體積含水量或飽和度.有效飽和度Se在非飽和土土力學(xué)與滲透系數(shù)中廣泛應(yīng)用,也有用有效飽和度Se作為橫坐標(biāo)用來表征土-水特征曲線的,其與飽和度S的關(guān)系如下:

(2)

式中,Se為有效飽和度,%;S為飽和度,%;Sr為殘余飽和度,%.

擬合土-水特征曲線的函數(shù)有很多,諸如van Genuchten模型[6]、Brooks & Corey模型[7]等.一般而言,以van Genuchten模型應(yīng)用最為廣泛,其模型函數(shù)如下所示:

(3)

式中,θr為殘余體積含水量,%;θs為飽和體積含水量,%;φ為基質(zhì)吸力,kPa;a,m,n均為方程擬合參數(shù),其中n=1-1/m.

大量研究表明土中的孔隙體積具有分形特征,分形理論用來預(yù)測非飽和土參數(shù)具有得天獨厚的優(yōu)勢,由Young-Laplace公式結(jié)合分形理論,得到如下非飽和土的土-水特征曲線關(guān)系式:

(4)

式中,Se為有效飽和度,%;φ為基質(zhì)吸力,kPa;φe為土的進(jìn)氣值,kPa;D為分形維數(shù).

1 基于分型理論的土-水特征曲線參數(shù)分析

單喜壘[8]以長春市吉林建筑大學(xué)南區(qū)粉質(zhì)黏土為對象,利用非飽和GDS三軸儀對所取土樣進(jìn)行了土-水特征曲線實驗研究,并得到了粉質(zhì)黏土的土-水特征曲線,具體實驗數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 土-水特征曲線實驗數(shù)據(jù)[8]Table 1 Experimental data of soil-water characteristic curve[8]

續(xù)表1

本文借助Origin軟件并應(yīng)用4參數(shù)(即2個擬合參數(shù)α,n、飽和體積含水量θs和殘余體積含水量θr)van Genuchten模型對表1數(shù)據(jù)進(jìn)行了曲線擬合,實測值與擬合值吻合較好,擬合曲線如圖1所示.

由擬合結(jié)果得到van Genuchten模型中的4個參數(shù)α,n,θs,θr與擬合優(yōu)度R2,如表2所示.

表2 van Genuchten模型擬合參數(shù)[8]Table 2 Fitting parameters fromvan Genuchten model[8]

通過van Genuchten模型擬合出的粉質(zhì)黏土的殘余體積含水量θr=14.39 %、殘余飽和度Sr=32.38 %,再結(jié)合表1中給出的飽和度,應(yīng)用式(2)計算各個基質(zhì)吸力下的有效飽和度Se, 得到的結(jié)果如表3所示.

表3 有效飽和度與基質(zhì)吸力數(shù)據(jù)Table 3 Data of effective saturation and matrix suction

參照土-水特征曲線及進(jìn)氣值的定義(進(jìn)氣值是指特殊的基質(zhì)吸力值,表示土由飽和狀態(tài)到非飽和狀態(tài)的基質(zhì)吸力值),可以得到粉質(zhì)黏土的進(jìn)氣值φe=0.87 kPa.

將式(4)變換成雙對數(shù)形式(即lgSe=(D-3)lgφ+(3-D)lgφe)，并用表3數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合,擬合結(jié)果如圖2所示,擬合優(yōu)度R2=0.974,說明土中孔隙具有分形特征.由線性擬合的直線斜率為-0.22,可得分形維數(shù)D=2.78.

圖1 van Genuchten模型擬合曲線[8]Fig.1 Fitted curve from van Genuchten model[8]

圖2 雙對數(shù)坐標(biāo)下有效飽和度Se-基質(zhì)吸力φ的擬合曲線Fig.2 Fitted curve of effective saturation Se-matrix suction φ in double logarithmic coordinate system

2 低基質(zhì)吸力下基于分形理論的非飽和土抗剪強度理論預(yù)測研究

根據(jù)D.G.弗雷德隆德等[9]提出的雙應(yīng)力非飽和土抗剪強度公式,結(jié)合式(4)可得到基于分形理論的非飽和土的抗剪強度公式:

τf=c′+(σn-ua)tan?′+φe3-DφD-2tan?′

(5)

式中,τf為抗剪強度,kPa;σn為軸向應(yīng)力,kPa;ua為孔隙氣壓,kPa;?′為有效摩擦角,°.

為了進(jìn)一步驗證式(5)預(yù)測效果,本文引用郭浩天[10]基于非飽和三軸實驗的結(jié)果(見表4)作為驗證數(shù)據(jù).單喜壘[8]與郭浩天[10]的實驗樣本采集地均為長春市吉林建筑大學(xué)南區(qū),可以認(rèn)定其分形維數(shù)相同.利用由土-水特征曲線得到的分形維數(shù)D應(yīng)用在式(5)中作為非飽和三軸實驗的預(yù)測值,并與實驗值進(jìn)行比較,若較為相符,說明在一定基質(zhì)吸力下應(yīng)用基于分形理論的非飽和土抗剪強度公式預(yù)測較好.

表4 非飽和三軸實驗結(jié)果[10]Table 4 Unsaturated tri-axial test results[10]

非飽和三軸實驗獲得凈軸壓為100 kPa,200 kPa,300 kPa,400 kPa和500 kPa時的抗剪強度實驗值與由式(5)計算的預(yù)測值如表5所示,并將實驗值與預(yù)測值作圖對比,結(jié)果如圖3所示.經(jīng)比較發(fā)現(xiàn),在低基質(zhì)吸力下通過分形理論計算得到的抗剪強度預(yù)測值與其實驗值吻合度較高.

表5 不同凈軸壓下抗剪強度實驗值與預(yù)測值Table 5 Experimental and predicted values of shear strength under different net axial pressure

圖3 50 kPa基質(zhì)吸力作用下基于孔隙體積分形模型的非飽和土抗剪強度理論預(yù)測值與實驗值的比較Fig.3 Comparison of theoretical predictions and experimental values of shear strength of unsaturated soils based on pore volume fractal model under the matrix suction of 50 kPa

3 結(jié)論

非飽和土中的孔隙體積具有很好的分形特征,通過土-水特征曲線可以獲得土的孔隙體積分形維數(shù),在低基質(zhì)吸力下將基于孔隙體積的分形模型應(yīng)用于非飽和土抗剪強度理論中并與實驗結(jié)果相比較,預(yù)測效果很好.該方法優(yōu)勢在于只需通過易獲得的有效粘聚力,有效內(nèi)摩擦角及通過土-水特征曲線獲得的進(jìn)氣值與基于孔隙體積分形模型的分形維數(shù)就可以通過式(5)預(yù)測在低基質(zhì)吸力下的非飽和土抗剪強度值,而往往非飽和土抗剪強度值在工程上較難獲取，因此，該方法可大大提高工作效率.