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        直角坐標系的傳奇故事

        2020-08-10 09:24:30林革
        關鍵詞:笛卡兒交線天花板

        林革

        在平面直角坐標系誕生前.代數(shù)和幾何作為數(shù)學最重要的兩個分支,在很長的時間里各自獨立發(fā)展.

        直角坐標系通常也叫笛卡兒坐標系,是為了紀念創(chuàng)始人——法國著名哲學家和數(shù)學家笛卡兒而命名的.笛卡兒1596年出生于法國安德爾一盧瓦爾省的一個貴族家庭.由于體質孱弱,當8歲的他進入教會學校后,校長特批笛卡兒早晨不用起床出操,可他并沒有把時間用在睡眠上,而是從此養(yǎng)成了早晨躺在床上看書或者思考的習慣.

        1612年,16歲的笛卡兒進入巴黎普瓦捷大學,由于接觸到大量哲學和自然科學的書籍,他的思考更加深入和專注,興趣和愛好開始轉向數(shù)學.當他以最優(yōu)成績獲得法學學位后,毅然加入軍隊,決定跟隨扣人心弦的鼓號去周游世界、體驗生活,以便閱讀世界這本大書.

        笛卡兒在軍營中一直潛心思考一個看似自然卻異常深奧的問題:代數(shù)和幾何獨立發(fā)展自成體系,有什么辦法能讓數(shù)學的兩大分支結合起來呢?因此如何構造兩者之間橋梁成了笛卡兒日思夜想的內容.于是,就出現(xiàn)了直角坐標系從天而降、由夢而來的傳奇故事,

        【版本1】在1619年11月10日這個特殊的日子里,一切看起來與以往沒什么不同.患病請假的笛卡兒還是躺在床上進行思考,主題仍是一直困擾著他的代數(shù)和幾何聯(lián)系的途徑.就在他絞盡腦汁一籌莫展之時,天花板上一只爬來爬去的蜘蛛無意間引起了他的興趣.這只蜘蛛正忙著在天花板靠近墻角的地方吐絲結網(wǎng),它忽而沿著墻面爬上爬下,忽而沿著吐出的絲在空中緩緩移動,看著看著,笛卡兒眼睛發(fā)亮若有所悟.因為他朝思暮想的問題中,最大的障礙就是如何構造幾何的點與代數(shù)的數(shù)之間的對應關系,蜘蛛給了他極大的啟發(fā),

        不知不覺天色已晚,既疲倦又興奮的笛卡兒帶著焦急而愉快的心情進入夢境,頭腦中卻總浮現(xiàn)著這只懸在半空中的蜘蛛,笛卡兒突然意識到:如果用兩面墻的交線及墻與天花板的交線作為參照系,那么應用長、寬、高上的三個數(shù)不就能確定蜘蛛的空間位置了嗎?猛然驚醒的他一下從床上爬起來,在紙上畫了三條互相垂直的直線,分別表示兩面墻的交線及兩面墻與天花板的交線,并用一個點表示空間的蜘蛛.圖形清晰地印證了思路的正確性,只要測出這個點到三個平面的距離,就可以準確標出蜘蛛的空中位置.受此啟發(fā),笛卡兒毫不費力地得出用有序數(shù)對(a,b)表示平面上一點P的方法.直角坐標系由此產(chǎn)生.

        【版本2】1619年11月10日,笛卡兒隨軍駐扎在多瑙河畔的一個村莊里,兵營中燈火通明,官兵們用美酒歌聲驅散戰(zhàn)爭的陰影.而笛卡兒則早早上床,沉浸在自己的數(shù)學世界中.也許是長時間的思考使笛卡兒的頭腦一直處于高度興奮狀態(tài),也許是預示著奇跡的發(fā)生,總之,那一夜他做了夢,他夢見自己突然得到了一把金鑰匙,并順利打開一個大門,只見遍地的珍珠絢爛奪目,他忍不住隨手撿起一根珍珠項鏈,突然線斷珠落,轉眼間光華頓失,一切化為虛無.定睛四顧,只見一只黑色的蒼蠅疾飛,在他眼前不斷留下掠過的痕跡:一條條直線和各種形狀的曲線.這時笛卡兒心頭隱隱跳動似要開竅,恰在此時,蒼蠅猛然停住,并在網(wǎng)狀結構中幻化成一個黑點,從夢里一下驚醒的笛卡兒若有所悟,而天花板上一只結網(wǎng)爬行的蜘蛛讓他立刻豁然開朗:用兩面墻的交線及兩面墻與天花板的交線,不是可以確定它的空間位置嗎?

        他一骨碌從床上爬起來,在紙上畫了三條互相垂直的直線,分別表示兩面墻的交線和兩面墻與天花板的交線,用一個點表示空間的蜘蛛.這樣.測出這個點到三個平面的距離,就可以準確標出蜘蛛的空間位置點P(如圖1).類似地,用一組數(shù)(a,b)可以表示平面上的一個點,平面上的任一點可以用一對有順序的數(shù)來表示(如圖2),這就是直角坐標系的雛形,

        【版本3】1619年11月10日,夜色籠罩下的一個夜晚,多瑙河畔的烏爾姆小鎮(zhèn)萬籟俱寂,鎮(zhèn)中扎下的一排軍用帳篷里的士兵們已酣然入睡,只有一個23歲的士兵輾轉反側夜不能寐,他就是正服軍役的笛卡兒,躺著的笛卡兒看著帳篷外的星空,不自覺念叨:滿天繁星像豆子一般雜亂無章,如果用數(shù)學方法,怎么表示它們的位置呢?而這正是他一直在思考卻沒有頭緒的問題——幾何與代數(shù)的結合途徑.想著想著,笛卡兒進入了夢鄉(xiāng).

        在夢中,排長一把拉起笛卡兒向外拖去,邊走邊說:“你不是整日研究,想用數(shù)學來解釋自然和宇宙嗎?我告訴你個妙法,”身不由己的笛卡兒只得任由擺布,只見排長從身后抽出了兩支箭,拿在手里搭成一個“十”字.箭頭一個朝上,一個朝右,他將“十”字舉過頭說:“你看,這交叉的兩支箭把天空平面分成四個部分.假定這兩支箭能射無限遠,天上這么多星星,隨便哪一顆,你只要從那顆星星向這兩支箭上分別引兩條垂線,就會得出兩個數(shù)字,這顆星星的位置就被表示得一清二楚了.”

        笛卡兒若有所悟,但他還是提出了疑問:“那些抽象的負數(shù),人看不見摸不著,又怎么表示呢?”排長哈哈一笑:“只要將這兩支箭的交叉處定為零,向上、向右是正數(shù),向下、向左不就是負數(shù)嗎?比方說,這烏爾姆鎮(zhèn)是交叉點,多瑙河上游是正,下游是負,右岸是正,左岸是負.我們就可以隨時用兩個數(shù)表示出來位置了.”

        笛卡兒恍然大悟,大叫:“這真是個好主意!”狂喜之間竟一下子跌入河中.當他猛然驚醒時,發(fā)現(xiàn)排長正站在他面前大聲嚷嚷:“開拔了,快起床,還在做什么美夢!”笛卡兒待在原地不敢動彈,生怕靈感消失,好在閉目之間夢境依然清晰,他連忙取出紙筆進行記錄,畫出一條橫線為x軸,畫出一條豎線為y軸,又在x軸、y軸上標出許多正負刻度,直角坐標系由此躍然紙上.

        以上三個版本,雖然可信度無從考證,但笛卡兒的發(fā)現(xiàn)毋庸置疑、令人驚喜,笛卡兒在回憶錄中寫道:“第二天,我開始懂得這一驚人發(fā)現(xiàn)的基本原理.”后來,由這樣兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸所組成的坐標系,就被人們稱為笛卡兒坐標系,這成為一門嶄新學科——解析幾何的基礎.

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