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        拓展分析 歸納方法

        2020-08-10 09:24:30張丹
        關鍵詞:縱坐標橫坐標直角坐標

        張丹

        同學們要善于在解題后進行反思,把解題過程中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律或結論,進行拓展,歸納出深層次的方法或經驗.這樣不僅有利于今后解題時自我指導,還能在拓展的過程中鞏固所學知識,感受數(shù)學魅力.并且在潛移默化中提升自己的數(shù)學素養(yǎng).張老師以一道課本習題為例,拋磚引玉,希望能給同學們一些幫助,

        例1 (人教版數(shù)學教科書七年級下冊第70頁第8題)建立一個平面直角坐標系,描出點A (-2,4),B(3,4),畫直線AB.若點C為直線AB上任意一點,則點C的縱坐標是什么?想一想:

        (1)如果一些點在平行于x軸的直線上,那么這些點的縱坐標有什么特點?

        (2)如果一些點在平行于y軸的直線上,那么這些點的橫坐標有什么特點?

        解析:如圖1所示,直線AB即為所求,若點C為直線AB上任意一點,則點C的縱坐標是4.由此可以歸納出如下一般性結論:

        (1)如果一些點在平行于x軸的直線上,那么這些點的縱坐標都相等;

        (2)如果一些點在平行于y軸的直線上,那么這些點的橫坐標都相等.

        【反思l】回顧上述問題解答過程,逆向思考:在平面直角坐標系中,如果兩個點的縱坐標相等且不等于0,那么這兩點確定的直線與x軸平行嗎?如果兩個點的橫坐標相等且不等于0,那么這兩點確定的直線與y軸平行嗎?

        如圖2,設點A (xi,y),B(X2,y),其中x1≠x2,y≠0.分別過點A.B作x軸的垂線,垂足分別是點C,D,則∠ACD=∠BDC=90°,故AC//BD.

        又因為AC=BD= |y| >0,所以線段BD可以看成是由線段AC平移得到的,所以4B//CD,即AB//x軸.

        同理,可以證明:若點M(x,Yi),N(x,y2),其中y1≠y2,x≠O,則MN//y軸.

        于是我們歸納得到如下結論:在平面直角坐標系中,如果兩個點的縱坐標相等且不為0,那么這兩點確定的直線與x軸平行;同樣地,如果兩個點的橫坐標相等且不為0,那么這兩點確定的直線與y軸平行.

        【反思2】回顧上面的分析過程,想一想,在AC=BD= |y| >0中,為什么要把坐標y加上“絕對值”?

        理解這一點并不難,因為這里AC,BD表示線段的長度,而坐標y描述“有方向的量”,是一個賦予“+”或“一”屬性的數(shù),根據(jù)絕對值的定義,|y|正好表示平面直角坐標系中的點到x軸的距離.對此,我們強調,凡是用坐標表示相關線段的長度,一定要加上絕對值符號,防止漏解,而且加上絕對值符號,進而參與運算,可以回避分類討論帶來的麻煩,

        例2在平面直角坐標系中,已知點A(m-2,0),B(0,4-2m),若S△ABO=9,求點A,B的坐標.

        解析:根據(jù)題意得AO= |m-2|,BO=|4-2m|=2|m-2|.

        所以.S△ABO=1/2AOxBO= 1/2|m-2|×2|m-2|=|m-2|2,故|m-2|2=9,即(m-2)2=9.

        解得m=5或m=-1.故點A.B的坐標可分別為(3,0),(0,-6),也可分別為(-3,0),(0,6).

        【反思3】數(shù)軸上表示數(shù)a,b的兩個點A,B,它們之間的距離可以表示為AB=|a-b|.把這個規(guī)律拓展到平面直角坐標系中,得到:x軸上或平行于x軸的直線上兩個點A (x1,y),B(x2,y),其中XI≠X2,它們之間的距離可以表示為AB= |x2-x1|;同樣,),軸上或平行于y軸的直線上兩個點C(x,y1),D(x,y2),其中y1≠y2,它們之間的距離可以表示為CD=|y2-y1|.運用此結論,可給我們解決相關問題帶來方便,

        例3在平面直角坐標系中,已知點A (-2,4),B(3,4),C(m,4),若A C=2AB,求m的值.

        解析1:AB=3-(-2)=5,當點C在點A的左側時,與上面分析相同,得AC=-2-m=10,解得m=-12.當點C在線段AB上時,AC不可能等于AB.當點C在點B的右側時,AC=m+2=10,解得m=8,符合題意,故m的值為-12或8.

        解析2:AB=3一(一2)=5,因為點A(-2,4),B(3,4),C(m,4),所以點A,B,C在同一條平行于x軸的直線上.

        而AC= |m-(-2)|=|m+2|,由已知得|m+2|=2x5,解得m=-12或m=8.

        故m的值為-12或8.

        【反思4】比較上面兩種解法,顯而易見,方法2引用絕對值符號,思路更清晰,過程更簡捷,回避了分類討論,減少了解題錯誤發(fā)生率.

        例4在平面直角坐標系中,已知點A (-2,4),B(3,4),C(1,1),D(1,m),若A ,B,C,D四點構成的圖形的面積是10.求m的值,

        解析:如圖3,因為點A (-2,4),B(3,4),所以AB//x軸,且AB=3-(-2)=5.

        又因為點C(1,1),D(1,m),所以CD∥y軸,且CD=|m-1 1|.

        易證AB⊥CD,所以A,B,C,D四點構成的四邊形的面積等于1/2AB×CD,所以5/2|m-11=

        10.解得m=5或m=-3.

        練一練

        1.已知點A(2,m2),B(m,4),則當m=時,AB//x軸.

        2.已知點A(2,2m+1),B(2,m+3),若AB=5,則m=

        一.

        3.已知點A(2,2m+1),B(3,4),C(2,3),D(-1,-1),若A,B,C,D四點構成的四邊形面積等于12,則m=____.

        4如圖4,已知點B(5-2m,n),A(2m+1,n-1),C(O,3),若AB //OC,則四邊形ABCO的面積等于

        .

        參考答案:1.-22.7或-3 3.4或-2 4.6

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