方鑫
“相交線與平行線”是平面幾何的重要內(nèi)容.這一章里的鄰補角、對頂角、垂直、平行線的性質與判定、命題的真假以及平移不僅是后續(xù)深入學習三角形、四邊形等幾何知識的基礎,同時也為同學們積累空間與圖形的活動經(jīng)驗,提高推理能力提供保障.
一辨析易混概念,抓住本質特征
例1 下列各圖中,∠1和∠2是對頂角的是().
解析:兩直線相交形成的四個角中,不相鄰的兩個角為對頂角,故選B.
點評:本題考查了對頂角的定義,熟記概念并準確識圖是關鍵.對于對頂角,它們的頂點是公共的,角的兩邊互為反向延長線.
例2 (2019年衢州)如圖1,直線a,b被直線c所截,那么∠1的同位角是().
A.∠2
B.∠3
C.∠4
D.∠5
解析:兩條直線a,b被第三條直線c所截,形成了“三線八角”,在兩條被截線a,b同旁,在截線c同側的兩個角是同位角.故選C.
點評:在兩條被截直線a,b之間,在截線c兩側的一對角稱為內(nèi)錯角;在兩條被截直線a.b之間,在截線c同側的兩個角稱為同旁內(nèi)角,
二、掌握幾何說理,發(fā)展推理能力
例3 (2019年重慶)如圖2,直線AB∥CD.BC平分∠ABD,∠1:54°.求∠2的度數(shù).
解析:∵AB//CD,
∴ ∠ABC=∠1=54°.
∴ BC平分∠ABD,
∴ ∠ABD=2 ∠ABC=2x54°=108°.
∵ AB//CD,
∴ ∠ CDB+ ∠ABD=180°.
∴ ∠CDB=180°-∠A BD=180°-108°=72°.
∴ ∠2與∠CDB是對頂角,
∴ ∠2=∠ CDB=72°.
點評:平行線的性質很好地把線與線的位置關系和角與角的數(shù)量關系聯(lián)系了起來.已知兩直線平行時,要利用平行線的性質找角之間的關系,
例4 如圖3,∠1=∠ACB,∠2= ∠3,F(xiàn)H ⊥AB于點H,問:CD與AB有什么位置關系?并說明理由,
解析:CD ⊥AB,
理由:∵ ∠1=∠ACB,
∴DE∥BC.
∴∠2=∠BCD.
∵∠2=∠3,
∴ ∠BCD=∠3.
∴HF//CD.
∴ ∠BHF=∠BDC.
∵ FH⊥AB,
∴ ∠BHF=90°.
∴ ∠ BDC=∠ BHF=90°.
∴ CD⊥AB.
點評:判定兩條直線平行有以下方法:①平行線的定義;②如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行:③同位角相等,兩直線平行;④內(nèi)錯角相等,兩直線平行;⑤同旁內(nèi)角互補,兩直線平行.本題綜合考查了平行線的性質與判定,熟記平行線的性質與判定并準確識圖,弄清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵,
三、巧添輔助線,平行一線牽
例5 (1)如圖4,若AB//CD,則∠B+∠D=∠E,你能說明理由嗎?
(2)若將點E移至圖5的位置,此時∠B,∠D,∠E之間有什么數(shù)量關系?
(3)若將點E移至圖6的位置,此時∠B,∠D,∠E之間的數(shù)量關系又如何?
(4)在圖7中,AB∥CD,∠E+∠G與∠B+ ∠F+ ∠D之間有何關系?
解析:(1)過點E作EF//AB,如圖8.
∵ EF//AB,
∴ ∠ B= ∠BEF.
∵ EF//AB,AB//CD,
∴ EF//CD.
∴
∠D= ∠DEF.
∵ ∠BED=∠BEF+∠DEF,
∴ ∠BED=∠B+ ∠D.
(2)∠B+∠D+∠BED=360°.如圖9,過點E作EF//AB.運用“兩直線平行,同旁內(nèi)角互補”,可得結論.
(3) ∠B= ∠D+ ∠E.如圖10,過點E作EF//AB.運用“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”,可得結論.
(4)∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.如圖11,過點E,F(xiàn),G分別作AB的平行線EM,F(xiàn)N,GH.運用“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”,可得結論.
點評:在求角度或證明角與角的數(shù)量關系時,平行線往往能夠起到關鍵性的作用,而作平行線也是一種常見添加幾何輔助線的方法.作平行線常見的方法是過拐點作已知直線的平行線.一般而言,有幾個拐點,就需要作幾條平行線.
例6 如圖12.兩只螞蟻以相同的速度沿甲、乙兩條不同的路線,同時從點A出發(fā)爬向終點B,則().
A.按甲路線爬的螞蟻先到達終點
B.按乙路線爬的螞蟻先到達終點
C.兩只螞蟻同時到達終點
D.無法確定誰先到達終點
解析:兩只螞蟻的速度相同,要比較時間,可以轉化成比較它們爬的路程,把甲路線的水平線段都向下平移,可以發(fā)現(xiàn)剛好和乙路線的水平線段等長.同樣,把甲路線的豎直線段都向左平移,可以發(fā)現(xiàn)恰好和乙路線的豎直線段等長.這就說明兩只螞蟻爬的總路程是一樣的,又因為速度相等,所以同時到達終點.故選C.
點評:本題考查了生活中的平移現(xiàn)象.結合圖形,利用平移找出兩只螞蟻所爬路程之間的關系是解本題的關鍵.
例 7如圖13,△DEF是由Rt△ABC沿著直線BC向右平移得到的,如果AB=8 cm.BE=4 cm,DH=3 cm,那么圖中陰影部分的面積為
.
解析:由平移的性質可得DE=A B=8 cm,而DH=3 cm,所以HE=5 cm.因為平移不改變圖形的大小和形狀,所以S△DEf=S△ABC,等號兩邊同時減去重疊部分△HEC的面積,即:
S陰影部分=S梯形ABFH=1/2(HE+AB)·BE=1/2×(5+8)×4=26(cm2).
點評:本題考查了平移的性質:①平移不改變圖形的形狀和大小,只改變圖形的位置;②平移前后,對應角相等,對應線段平行(或在同一直線上)且相等,連接對應點的線段平行(或在同一直線上)且相等.此外,當陰影部分面積不方便直接求時,應想辦法進行轉化,轉化時要注意結合平移的性質.
練一練
1.如圖14所示,三條直線AB,CD,EF相交于點O,則∠AOE+∠DOB+∠COF=().
A.150°
B.180°
C.210°
D.120°
2.如圖15.如果∠1=∠3,∠2=60°,那么∠4的大小為().
A.60°
B.100°
C.120°
D.130°
3.如圖16,直線l1∥l2,若∠1=30°,則
A.150°
B.180°
C.210°
D.240°
4.如圖17,將△ABC沿直線AB向右平移后到達△BDE的位置,連接CD,CE.若△ACD的面積為10,則△BCE的面積為().
A.5
B.6
C.10
D.4
5.如圖18,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,你能判斷∠C與∠AED的大小關系嗎?并說明理由.
參考答案:
1.B
2.C
3.C
4.A
5. ∠ C= ∠AED.理由 :
∵ ∠1+∠2=180°, ∠1+∠EFD=180°,
∴ ∠2= ∠EFD.
∴ BD//FE.
∴ ∠3= ∠ADE.
∴ ∠B=∠ADE.
∴ DE//BC.
∴
∠AED= ∠C.
中學生數(shù)理化·七年級數(shù)學人教版2020年8期