萬志建
同學(xué)們在“實數(shù)”這一章學(xué)習(xí)了平方根與立方根,并通過開平方和開立方運算接觸了開方開不盡得到的數(shù),在此基礎(chǔ)上引入了無理數(shù),使數(shù)的范圍擴充到實數(shù),對于這個大家庭中的成員,我們以前所學(xué)過的有理數(shù)四則運算法則以及求絕對值、相反數(shù)的方法同樣適用.下面我們圍繞考點,剖析典例,溫習(xí)概念,梳理方法,精準答題.
考點一:實數(shù)的概念
1.考查有理數(shù)與無理數(shù)的概念.
例1在實數(shù)22/7,√3,π,3√8,0.32中,無理數(shù)有().
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
剖析:解這類題的關(guān)鍵是弄清有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別.有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù),它們都可以化成分數(shù)的形式.凡無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù),初中常見無理數(shù)的四種表現(xiàn)形式:(1)最簡結(jié)果中含π(圓周率)的式子;(2)開方開不盡得到的數(shù);(3)無限不循環(huán)小數(shù);(4)某些三角函數(shù)值(這個以后我們會學(xué)到).特別說明:判斷數(shù)的歸屬問題時,要先化簡,再判斷.本題選B.
2.考查絕對值、相反數(shù)與倒數(shù)的概念.
例2 -2的相反數(shù)是____,倒數(shù)是______ ,絕對值是______ ,
剖析:這類題屬于基礎(chǔ)題,解題關(guān)鍵在于理解概念,尤其是倒數(shù)與相反數(shù),兩者不要混淆,對于倒數(shù),若a,b互為倒數(shù),則ab=1.特別說明:0沒有倒數(shù).對于相反數(shù)可以從數(shù)形兩個角度來識別:若a,b互為相反數(shù),則a=-b;在數(shù)軸上,互為相反數(shù)的兩個數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱,而某數(shù)的絕對值可理解為表示該數(shù)的點到原點的距離,因而本題的答案依次為2.一1/2.2.
考點二:平方根與立方根
1.考查概念,
例3(1)求下列各數(shù):①2的算術(shù)平方根;②-27的立方根;③√16的平方根.
(2)將(1)中求出的每個數(shù)準確地表示在數(shù)軸上,將這些數(shù)按從小到大的順序排列,并用“<”連接.
剖析:(1)①2的算術(shù)平方根為√2;②-27的立方根為-3;③√16的平方根為土2(此處要注意兩層運算,先化簡√16,再求它的平方根).
(2)先構(gòu)造邊長為1的正方形,其對角線的長即為√2,然后在數(shù)軸上找到與原點的距離為上述對角線長且在原點右側(cè)的點,即為√2對應(yīng)的點,這體現(xiàn)了實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系.
各數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖1所示.
用“<”連接為:一3<一2<√2<2.
例4已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是3a+2和a+14.求這個正數(shù),
剖析:正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù),由此可得3a+2+a+14=0,解得a=-4,所以原數(shù)為100.
例5(原創(chuàng))已知實數(shù)a,b,c滿足(a-√262+√b-5+|c-2√6|=0,那么a,b,c的大小關(guān)系是______.
剖析:本題中出現(xiàn)了初中階段常見的非負數(shù)的三種表現(xiàn)形式:“絕對值”“平方”和“算術(shù)平方根”,由“幾個非負數(shù)和為零,每一個非負數(shù)都是零”可得a=√26,b=5,c=2√6.在比較大小時要注意方法,這三個數(shù)都是正數(shù),而且有的含有根號,可先比較它們平方的大小,再得出原數(shù)的大小關(guān)系為c
2.考查性質(zhì).
例6下列等式正確的是().
A.(√3)2=3 B.√(-3)2=-3
C.√3 3=3
D.(一√3)2=-3
剖析:本題考查(√a)2=a及√a2=|a|.在理解這兩個公式時要把握兩點:一是開平方與平方互為逆運算;二是要注意a的取值范圍,前者隱含條件a≥0,后者求算術(shù)平方根,必須確保結(jié)果非負,所以要加絕對值.本題選A.
3.靈活應(yīng)用.
例7 (原創(chuàng))如果實數(shù)x滿足|2019-x|+√x-2020=x,那么x-20192=___________.
剖析:初看此題,很多同學(xué)以為是上述例5的套路,但細看非也,已知的式子只含有一個未知數(shù)且等號右邊不是0.究竟突破口在哪里呢?我們首先想到的是最好去掉絕對值符號,但去絕對值符號必須知道x的范圍,而題目又涉及求x-2 020的算術(shù)平方根,這就隱含了條件x≥2 020,突破口就在此!所以原式可化為x-2019+ √x-2020=x,故√x-2020=2 019,兩邊平方可得x-2 020=2 0192.故x-2 0192=2 020.本題主要考查了被開平方數(shù)非負的知識.解題的關(guān)鍵在于挖掘題中的隱含條件,
練一練
1.下列說法正確的是().
A.4的平方根是±2
B.8的立方根是±2
C.√4 =±2
D.√(-2)2=-2
2.下列對于√29的大小估算正確的是().
A.28<√29<30 B.4<√29<5
C.5<√29<6
D.6<√29<7
3.一個正數(shù)a的兩個平方根分別是2m-1和一3m+5/2,則這個正數(shù)a為___ .
4.代數(shù)式√a-1+2的最小值是___ .
5.求下列各式中的x:
(1)2xz-1=9;
(2)(x+1)3+27=0.
6.已知2a-l的算術(shù)平方根是3.3a+b-1的平方根是±4,c是√13西的整數(shù)部分,求a+2b-c的平方根,
參考答案:
1.A 2.C 3.4 4.2 5.(1)±√5;(2)一4.6.±√6.
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版2020年8期