時培明, 袁丹真, 張文躍, 李夢迪, 韓東穎

(1.燕山大學 河北省測試計量技術及儀器重點實驗室,河北 秦皇島 066004;2.燕山大學 電氣工程學院,河北 秦皇島 066004;3.燕山大學 車輛與能源學院,河北 秦皇島 066004)

1 引 言

信號檢測技術廣泛應用于雷達、勘探、衛(wèi)星通訊等領域[1,2]。實際檢測過程中,被測有用信號往往十分微弱,同時經常淹沒在背景噪聲下,很難從中檢測出有效信號。傳統(tǒng)方法主要通過去除和抑制噪聲來檢測信號,如:小波去噪、自適應濾波法等,但在去除噪聲的同時,信號也受到了損失[3,4]。

隨機共振是一種利用非線性系統(tǒng)實現噪聲能量向信號能量轉移的信號降噪檢測方法,與傳統(tǒng)信號處理中濾除噪聲的方法相比,隨機共振能保留并利用噪聲提高輸出信噪比,對噪聲背景下微弱信號的增強檢測具有獨特優(yōu)勢[5]。將隨機共振用于微弱信號檢測時,噪聲信號在一定條件下反而將能量大幅度地向周期信號轉移,使得輸出信噪比提高,隨機共振的特有現象引起很多研究人員的關注[6～9]。Tan J等對變尺度頻移隨機共振進行了研究,為應用隨機共振技術處理大參數信號提供了方法。Li J等對不同穩(wěn)態(tài)的隨機共振進行了對比,證明多穩(wěn)系統(tǒng)模型在增強輸出信噪比與提升微弱信號處理能力方面具有更大的優(yōu)勢。

本文提出一種基于一次項時延的多穩(wěn)態(tài)隨機共振模型,并推導了該模型的時延福克-普朗克方程,分析了參數對概率密度函數的影響,通過實際微弱信號檢測結果驗證該模型的可行性和優(yōu)越性。

2 一次項時延多穩(wěn)態(tài)隨機共振模型

一次項時延隨機共振是在由周期信號和高斯白噪聲誘導的時延反饋隨機共振的基礎上進行改進的,其勢函數U(x)為:

(1)

一次項時延反饋的Langevin方程[10]為:

(2)

時延Fokker-Planck方程為:

(3)

式中:B(x)=D;條件平均漂移項heff(x)為:

(4)

式中:h(x,xr)=-bxr-cx3-dx5+Acos (2π ft),xx=x(t-τ),p(xx,t-τx,τ)是零階近似馬爾可夫轉移概率密度,可以表示為:

(5)

式中:h(x)=-bx-cx3-dx5+Acos(2π ft),將式(5)帶入到式(4)中得:

heff(x)=(1+bτ)(-bx-cx3-dx5)

+(1+bτ)Acos (2 π ft)

(6)

在短暫的時延條件下,Langevin方程改為:

(7)

由Langevin方程可知,參數b既是結構參數又是時延反饋強度,對系統(tǒng)調節(jié)有很大影響,由式(7)可得一次項時延反饋隨機共振的廣義勢函數為:

(1+bτ)Axcos (2π ft)

(8)

一次項時延隨機共振系統(tǒng)的概率密度函數為

(9)

式中N是歸一化常數。

3 參數對概率密度函數的影響

概率密度函數表達的是粒子在勢阱中停留的概率,有利于進一步分析粒子的運動狀態(tài)。本節(jié)分析了結構參數與時延參數對概率密度函數的影響。圖1為2個模型的參數變化對概率密度的影響對比。

圖1 2個模型的參數變化對概率密度的影響對比Fig.1 Comparison of the influence of the parameters of the two models on Pst

如圖1(a)顯示,時延時間τ越長,2個峰谷越深,兩側的峰值越高。圖1(b)中,當其他參數確定時,Pst曲線有3個明顯的峰值。隨著噪聲強度D的增加,兩側的峰值變小,兩個峰谷深度變淺。與右側TFTSR模型相比,時延長度參數τ和噪聲參數D對TFTSR模型的影響大于LTFTSR模型。圖1(c)中,隨著時延強度b的增加,Pst曲線兩側的峰谷和峰值都降低。從圖1中的不同參數對LTFTSR的變化曲線可以看出,時延強度b對Pst的影響比噪聲強度D和時延長度τ對Pst的影響更大,其中時延長度τ對Pst的影響最小。

4 隨機共振系統(tǒng)的度量指標

除了信噪比是評價隨機共振結果的指標外,譜功率放大系數也常作為隨機共振系統(tǒng)的度量指標,其定義如下:

η=|Xx|2

(10)

式中:Xx為x的線性響應靈敏度。在數值研究中,可以近似為輸出信號幅值與輸入信號幅值之比,因此可以定義譜功率放大系數為:

(11)

式中:Z(k0)和X(k0)分別是FFT變換后的輸入信號和輸出信號的單邊譜的幅值。若η與噪聲強度的曲線圖中具有局部最大極值現象,則可判斷系統(tǒng)發(fā)生了隨機共振(stochastic resonance,SR)現象。

為了驗證SR現象的發(fā)生,根據絕熱近似理論的小參數條件,設置輸入信號的驅動信號的頻率為f0=0.01 Hz,振幅A為0.2 m/s2,采樣頻率fs=5 Hz。在數值研究中,采用四階龍格-庫塔方法求解SR模型。設多穩(wěn)態(tài)非線性系統(tǒng)的結構參數為c=-0.4,d=0.05。在不同的參數b下,η和SNR隨著噪聲強度D而變化如圖2所示,η和SNR存在一個極大值,這表明SR現象發(fā)生,并且隨著參數b的增加,SNR的極大值也增大。

圖2 在τ=2.4下,η和SNR隨噪聲強度的變化曲線Fig.2 The curves of η and SNR with noise intensity at τ=2.4

因此,選擇極大值最大時的b=0.67,此時的SNR和η的值都達到最大,輸入的模擬信號通過一般多穩(wěn)隨機共振(TSR)系統(tǒng)、基于時延反饋的多穩(wěn)隨機共振(TFTSR)系統(tǒng)和基于一次項時延的隨機共振(LTFTSR)系統(tǒng)的頻域圖如圖3所示。模擬信號經過TFTSR模型之后,驅動頻率處的幅值從0.351增加到1.657,比經過TSR模型之后的驅動頻率處的幅值增加了3倍。但是,通過比較圖3(d)和圖3(f)可以看出:LTFTSR系統(tǒng)比TSR系統(tǒng)能更好地提取驅動頻率,并且驅動頻率處的幅值從0.351顯著提高到2.581。同時,通過LTFTSR的信號波形比通過TFTSR的信號波形更接近驅動信號,幅值也增強,這表明LTFTSR系統(tǒng)將更多的噪聲能量傳遞給驅動信號能量,降噪的能力更強。

圖3 各SR模型作用后的時域圖和頻域圖比較Fig.3 Comparison of time-domain and frequency-domain diagrams of SR models

5 實例研究

5.1 美國西儲大學實驗數據

采用美國西儲大學的軸承故障數據,實驗臺電機的轉速為1 797 r/min(29.95 Hz),根據實驗軸承的詳細尺寸可以計算出軸承內圈故障頻率的理論值為162.18 Hz。對于大頻率的故障信號,采用變尺度的方法進行隨機共振變換,二次采樣頻率為5 Hz。軸承內圈故障原始信號的波形圖和頻譜圖如圖4所示。圖4中的高頻率處的幅值是軸承部件的第1次自然模式振動引起的,因此在原始信號的頻譜圖中看不到明顯的故障信號特征。

圖4 軸承內圈故障原始信號的時域圖和頻域圖Fig.4 Time domain and frequency domain diagram of the original signal of bearing inner ring fault

通過觀察圖5,經過SR系統(tǒng)后的內圈故障的頻率為162 Hz,接近理論值162.18 Hz。比較圖5(a)、圖5(c)和圖5(e)得到,LTFTSR系統(tǒng)的波形比TSR系統(tǒng)和TFTSR系統(tǒng)的波形具有更小的毛刺,也更接近正弦波形,并且振幅更清晰地集中在-3到3之間。在圖5(d)中,SNR從1.39增加到2.13,η從2.77增加到19.73。這表明,噪聲向故障信號傳遞了更多的能量,在故障頻率處增大了信號的幅度,并通過TFTSR系統(tǒng)將其凸顯在頻譜中,但同時也增加了其它頻率的振幅。從圖5(f)中可以看出,LTFTSR系統(tǒng)的故障頻率處的幅值高于TSR系統(tǒng)故障頻率處的幅值,從0.700 5增加到1.945,僅特征頻率處的振幅集中增加,其它混淆的頻率分量大部分消除。SNR從1.39增加到5.66,η從2.77增加到152.03。具體的數據對比如圖6所示。

圖5 不同SR模型作用后的內圈故障時頻圖Fig.5 Time-frequency diagram of inner ring fault after different SR models

圖6 3種SR模型處理信號后的對比圖Fig.6 Contrast diagram after signal processing by three SR models

5.2 某公司實驗數據

采用某公司的軸承實驗工況29數據,經計算軸承外圈的故障頻率的理論值為41.435 Hz。對該數據進行了3種SR模型降噪處理,并進行了對比,如圖7所示。

圖7 不同SR模型作用后的內圈故障時頻圖Fig.7 Time-frequency diagram of inner ring fault after different SR models

可以看出,在圖7(f)中的故障頻率附近干擾頻率的幅值較低,經過LTFTSR系統(tǒng)后的故障頻率在頻譜圖中更突出,幅值從0.862 7增加到1.758。SNR從0.52增加到3.88,η從11.67增加到48.47。與圖7(d)的頻域相比,故障頻率處的幅值從0.862 7增加到1.364,SNR從0.52增加到1.02,η從11.67增加到29.16。此外,通過觀察3個波形圖,發(fā)現圖7(e)中的信號比圖7(a)和圖7(c)中的信號噪聲更小且更規(guī)則,并且其波形更接近于周期性正弦波信號。數據比較如圖8所示,綜上所述,本文提出的方法在弱信號檢測中具有優(yōu)越性。

圖8 3種SR模型處理信號后的對比圖Fig.8 Contrast diagram after signal processing by three SR models

6 結 論

本文提出基于一次項時延的多穩(wěn)隨機共振模型早期微弱信號檢測方法,進行了機理上的分析,通過模擬信號和實例信號驗證,可知提出的一次項時延反饋多穩(wěn)態(tài)隨機共振模型有效地改進了時延多穩(wěn)隨機共振的模型的不足,集中提高了檢測信號故障頻率處的幅值,增加了輸出信號的信噪比和輸出信號的能量,為下一步的特征提取奠定基礎。