劉 彬, 王營輝, 姜佳磊, 劉 爽

(燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

1 引 言

板帶軋制產(chǎn)品在科研儀器、航天設(shè)備以及高精度儀表方面有著重要的應(yīng)用,然而目前軋機(jī)生產(chǎn)過程中的振動(dòng)問題嚴(yán)重制約了軋制水平的提高[1,2]。為了提高軋機(jī)設(shè)備運(yùn)行的穩(wěn)定性及軋制效率,對彈簧力非線性約束下加吸振器控制裝置的軋機(jī)輥系穩(wěn)定性及控制展開深入研究[3,4]。針對提高板帶軋機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行的研究,提高軋機(jī)生產(chǎn)水平,劉彬等分析了軋件水平振動(dòng)對軋制力和摩擦力動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律,仿真研究了軋件水平振動(dòng)速度和軋機(jī)輥系振動(dòng)位移隨軋輥轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律[5];謝長貴等對工作輥周期內(nèi)各階段振動(dòng)信號進(jìn)行了分析研究,當(dāng)軋制速度為中高速穩(wěn)定軋制階段時(shí),工作輥對中間輥的相對運(yùn)動(dòng)形成工作輥表面振紋,該輥面振紋反作用于軋機(jī),進(jìn)而引起軋機(jī)強(qiáng)迫振動(dòng)[6];侯東曉等研究了軋制過程中非線性條件約束下輥縫工作界面變摩擦力的影響規(guī)律,通過分析耦合系統(tǒng)幅頻特性,得到軋機(jī)耦合系統(tǒng)隨軋輥非線性剛度和外激勵(lì)幅值變化規(guī)律[7];朱勇等研究了非線性彈簧力對軋機(jī)系統(tǒng)振動(dòng)產(chǎn)生的影響,應(yīng)用數(shù)值分析的方法得出軋機(jī)系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象以及典型的非線性動(dòng)力學(xué)行為[8];Tran等研究了液壓缸的非線性特性,得到液壓缸的非線性特性主要由液壓缸內(nèi)部摩擦系數(shù)非線性和液壓缸等效剛度非線性共同導(dǎo)致的[9];范小彬等引入Duffing振子和參數(shù)激勵(lì)的剛度函數(shù),建立了一種軋機(jī)等效剛度非線性變化的軋機(jī)輥系振動(dòng)模型,結(jié)合最大李雅普諾夫指數(shù)確定系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),最后得到抑制軋機(jī)輥系振動(dòng)的方法[10]。本文從軋機(jī)輥系機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行考慮,利用吸振器裝置的減振原理,通過在軋機(jī)系統(tǒng)上安裝吸振器控制裝置對軋機(jī)振動(dòng)進(jìn)行有效抑制,同時(shí)引入時(shí)滯反饋函數(shù)設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的時(shí)滯反饋控制方程[11]。

本文以帶吸振器控制裝置的軋機(jī)輥系為研究對象,建立了非線性條件約束下的軋機(jī)輥系振動(dòng)物理模型,引入時(shí)滯反饋控制函數(shù),設(shè)計(jì)了帶吸振器的軋機(jī)系統(tǒng)振動(dòng)位移、振動(dòng)速度的時(shí)滯反饋控制方程,通過仿真得到不同反饋增益參數(shù)和時(shí)滯量參數(shù)對軋機(jī)輥系主系統(tǒng)的影響規(guī)律,為抑制軋機(jī)振動(dòng)提供了理論支持。

2 帶吸振器控制裝置的軋機(jī)輥系模型

軋機(jī)吸振器是通過彈性元件和阻尼元件把輔助質(zhì)量連接到軋機(jī)主系統(tǒng)(軋機(jī)支架)上的減振裝置,吸振器安裝到軋機(jī)上輥系上后,二者構(gòu)成一個(gè)兩自由度系統(tǒng),減振器在空間和結(jié)構(gòu)上的安裝情況如圖1所示。軋機(jī)輥系和吸振器裝置只做垂直方向的直線運(yùn)動(dòng),在系統(tǒng)靜止時(shí)軋機(jī)上輥系和吸振器裝置的平衡位置為運(yùn)動(dòng)原點(diǎn),軋機(jī)輥系和吸振器裝置的振動(dòng)位移的大小代表振動(dòng)強(qiáng)度,為減小軋機(jī)輥系的振動(dòng),就需要減小振動(dòng)位移;軋機(jī)輥系在簡諧外激勵(lì)作用下振動(dòng),軋機(jī)輥系的振動(dòng)能量通過吸振器的彈性元件和阻尼元件轉(zhuǎn)移到吸振器裝置上,吸振器通過彈性元件和阻尼元件作用在軋機(jī)輥系上的作用力與外界對軋機(jī)輥系的作用力方向相反,從而把軋機(jī)輥系的振動(dòng)能量轉(zhuǎn)移到摩擦力中和吸振器裝置的動(dòng)能中,從而來減小軋機(jī)輥系的振動(dòng)位移,達(dá)到抑制振動(dòng)的效果。

圖1 安裝減振器后的軋機(jī)輥系簡圖Fig.1 Rolling mill roll diagram after installing the damper

如圖2所示,在軋機(jī)上輥系等效質(zhì)量m1上安裝一個(gè)動(dòng)力吸振器m2,x1為軋機(jī)上輥系的絕對位移,x2為吸振器的絕對位移。圖2中k1和c1分別為軋機(jī)上輥系和軋件之間的等效剛度和等效阻尼,k2和c2分別表示吸振器和軋機(jī)上輥系之間的等效剛度和等效阻尼。Fl(t)=Fsin (ωt)為等效負(fù)載力,其中F為外激勵(lì)幅值,ω為外激勵(lì)的角頻率,Fs(x)為機(jī)械液壓缸的彈簧力。

圖2 帶吸振器兩自由度系統(tǒng)模型Fig.2 Two-degree-of-freedom system model with vibration absorber

軋機(jī)上輥系和吸振器以及軋機(jī)上輥系和軋件之間的等效剛度和等效阻尼為線性,液壓缸的彈簧力是非線性的,系統(tǒng)模型的運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

為了求得軋件軋輥耦合振動(dòng)的幅頻響應(yīng),近似認(rèn)為軋機(jī)系統(tǒng)受到的外部激勵(lì)具有周期性,通過移項(xiàng)和替換,將式(1)化成標(biāo)準(zhǔn)形式:

(2)

為了對軋機(jī)輥系垂直振動(dòng)進(jìn)行控制,引入振動(dòng)位移和速度雙時(shí)滯反饋函數(shù),通過調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù)和時(shí)滯參數(shù),對帶吸振器的軋機(jī)系統(tǒng)的不穩(wěn)定振動(dòng)控制效果進(jìn)行分析,并且選擇出最佳的參數(shù)組合,從而引入了時(shí)滯反饋控制函數(shù):

(3)

為了近似得到系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果,設(shè)立兩種快變和慢變的時(shí)間尺度T0=t;T1=εt;對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)可寫為采用多尺度法求解方程,只討論一次近似解,設(shè)方程的解為:

(4)

將式(4)代入式(3),展開后令方程兩端ε的同次冪系數(shù)相等,得到各階近似方程:

(5)

(6)

將零次項(xiàng)方程組的解設(shè)為式(7)的形式,帶入一次項(xiàng)方程組中得:

(7)

(8)

式中cc代表左邊各項(xiàng)的共軛。

2.1 受控方程主共振響應(yīng)求解

考慮系統(tǒng)主共振,ω10遠(yuǎn)離ω20,ω10無限接近θ,假設(shè)此時(shí)ω=ω10+εσ,其中σ為頻率調(diào)諧因子。將ω=ω10+εσ代入式(8)中,消除久期項(xiàng)后得到:

(9)

為了求解方程,引入A1,A2的極坐標(biāo)形式,A1=0.5aeiφ1,A2=0.5beiφ2,其中a,b,φ1,φ2都是時(shí)間T1的函數(shù),引入中間變量θ=σT1-φ1,代入式(8)并分離實(shí)部和虛部得:

(10)

(11)

2.2 受控方程內(nèi)共振響應(yīng)求解

考慮內(nèi)共振情況,假設(shè)ω=ω10+εσ,ω20=ω10+εσ1,其中σ、σ1為頻率調(diào)諧因子,代入式(9),可得:

(12)

(13)

式(13)為引入時(shí)滯反饋控制函數(shù)之后的軋機(jī)輥系受控幅頻方程。從幅頻方程解的形式可以看出,軋機(jī)輥系的振動(dòng)幅值受到外激勵(lì)幅值和頻率以及軋機(jī)參數(shù)等多種因素的影響,會(huì)造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定運(yùn)行“跳躍現(xiàn)象”。引入時(shí)滯控制函數(shù)之后,可以通過調(diào)節(jié)控制參數(shù),使得軋機(jī)輥系振動(dòng)幅值的“跳躍現(xiàn)象”出現(xiàn)的頻率區(qū)間變小,削弱軋機(jī)輥系低頻振動(dòng)幅值出現(xiàn)的“跳躍現(xiàn)象”,為提高軋機(jī)系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性提供了理論支持。

3 帶吸振器的軋機(jī)輥系振動(dòng)極限環(huán)幅值穩(wěn)定性分析

時(shí)間歷程曲線和相圖是軋機(jī)輥系振動(dòng)狀態(tài)的直觀體現(xiàn),通過仿真圖,可以判斷軋機(jī)輥系振動(dòng)的走勢并做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。軋機(jī)輥系的振動(dòng)由于其自身具有的突發(fā)性和發(fā)散性特點(diǎn),極有可能發(fā)生高頻自激振動(dòng),對軋機(jī)系統(tǒng)的安全運(yùn)行存在隱患。如果將軋機(jī)輥系的振動(dòng)發(fā)散行為進(jìn)行控制,使軋機(jī)輥系的極限環(huán)幅值收斂于一個(gè)較小的范圍,這也就在一定程度上增強(qiáng)了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此,首先對軋機(jī)輥系振動(dòng)的極限環(huán)幅值的穩(wěn)定性控制效果進(jìn)行檢驗(yàn),比較控制參數(shù)變化對軋機(jī)輥系穩(wěn)定性的影響。圖3和圖4為非受控的軋機(jī)輥系振動(dòng)特性仿真,圖5和圖6為g1=10 000,g2=50,τ1=0.75T,τ2=0時(shí)(工況1)的軋機(jī)輥系振動(dòng)特性,圖7和圖8為g1=15 000,g2=50,τ1=0,τ2=0.75T時(shí)(工況2)的軋機(jī)輥系振動(dòng)特性。時(shí)域圖和相圖如圖3到圖8所示。

圖3 非受控的時(shí)域圖Fig.3 Uncontrolled time domain diagram

圖4 非受控的相圖Fig.4 Uncontrolled phase diagram

圖5 工況1時(shí)域圖Fig.5 Time domain diagram of case 1

圖6 工況1相圖Fig.6 Phase diagram of case 1

圖7 工況2時(shí)域圖Fig.7 Time domain diagram of case 2

圖8 工況2相圖Fig.8 Phase diagram of case 2

從仿真結(jié)果的對比中可以看出,沒有引入時(shí)滯反饋函數(shù)之前,帶吸振器的軋機(jī)輥系主系統(tǒng)的振動(dòng)幅值在起振瞬間緩慢的增大并最終達(dá)到穩(wěn)定振蕩。引入時(shí)滯反饋控制函數(shù)后,通過調(diào)整增益系數(shù)和時(shí)滯量,可以改善系統(tǒng)的振幅和收斂特性。當(dāng)g1=10 000,g2=50,τ1=0.75T,τ2=0時(shí),軋機(jī)輥系的振動(dòng)幅值近似呈現(xiàn)等幅振蕩的狀態(tài),系統(tǒng)的振動(dòng)幅值相對減小并且極限環(huán)幅值趨于穩(wěn)定。當(dāng)g1=15 000,g2=50,τ1=0,τ2=0.75T時(shí),軋機(jī)輥系的振動(dòng)幅值出現(xiàn)收斂的情況并且極限環(huán)幅值很快達(dá)到穩(wěn)定,同時(shí)軋機(jī)輥系的振動(dòng)幅值進(jìn)一步減小。

4 帶吸振器的軋機(jī)輥系振動(dòng)幅頻特性穩(wěn)定性分析

在軋機(jī)輥系的非線性動(dòng)力學(xué)特性分析過程中,如果在幅頻曲線中出現(xiàn)了幅值的“跳躍現(xiàn)象”,此時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)幅值對應(yīng)的出現(xiàn)一頻多值的現(xiàn)象,不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。為了避免軋機(jī)輥系振動(dòng)幅頻曲線出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象,分別調(diào)整速度位移反饋增益系數(shù)和時(shí)滯量參數(shù),消除軋機(jī)輥系振動(dòng)幅值存在的多值振動(dòng)。仿真結(jié)果如圖9到圖12所示。

圖9 隨g1變化的幅頻曲線Fig.9 Amplitude-frequency curves varying with g1

從圖9到圖12的仿真結(jié)果可以看出,隨著反饋參數(shù)的變化,軋機(jī)輥系振動(dòng)幅值的“跳躍現(xiàn)象”相應(yīng)地出現(xiàn)一些不同程度的改變。

圖9的仿真結(jié)果表明:隨著位移反饋增益系數(shù)g1的增大,軋機(jī)輥系的振動(dòng)幅值沿谷脊線減小,當(dāng)g1的取值數(shù)量級大于 8×104時(shí),軋機(jī)輥系振動(dòng)幅值的“跳躍現(xiàn)象”逐漸消失。

圖10的仿真結(jié)果表明:當(dāng)g2的取值為200時(shí),系統(tǒng)的“跳躍現(xiàn)象”消失;然而當(dāng)g2在0到200之間取值時(shí),軋機(jī)輥系的振動(dòng)幅值減小,軋機(jī)輥系振動(dòng)幅值出現(xiàn)“跳躍現(xiàn)象”的頻率區(qū)段增大,系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到削弱。

圖10 隨g2變化的幅頻曲線Fig.10 Amplitude-frequency curves varying with g2

圖11的仿真結(jié)果表明:時(shí)滯量參數(shù)τ1的變化不僅會(huì)改變軋機(jī)輥系振動(dòng)的幅值,還會(huì)影響軋機(jī)輥系振動(dòng)的固有頻率以及“跳躍現(xiàn)象”出現(xiàn)的頻率區(qū)間。

圖11 隨τ1變化的幅頻曲線Fig.11 Amplitude-frequency curves varying with τ1

圖12的仿真結(jié)果表明:相對于τ1的影響,時(shí)滯量參數(shù)τ2的變化沒有改變軋機(jī)輥系振動(dòng)的固有頻率。隨著τ2的變化,軋機(jī)輥系振動(dòng)幅值沿著谷脊線變大或減小,當(dāng)τ2=0.5T時(shí),系統(tǒng)的“跳躍現(xiàn)象”消失,軋制系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定。

圖12 隨τ2變化的幅頻曲線Fig.12 Amplitude-frequency curves varying with τ2

5 結(jié) 論

本文建立了一種帶吸振器的軋機(jī)輥系振動(dòng)模型,通過吸振器的彈性元件和阻尼元件將軋機(jī)輥系的振動(dòng)能量轉(zhuǎn)移到吸振器控制裝置上,從而減小軋機(jī)輥系的振動(dòng)位移,達(dá)到抑制振動(dòng)的效果。引入時(shí)滯反饋控制函數(shù),設(shè)計(jì)帶吸振器的軋機(jī)輥系振動(dòng)位移、振動(dòng)速度的時(shí)滯反饋控制方程。采用多尺度法,求得軋機(jī)系統(tǒng)主共振和內(nèi)共振情況下的幅頻響應(yīng)方程。分析了軋機(jī)輥系振動(dòng)幅頻特性的穩(wěn)定性,得到不同反饋增益參數(shù)和時(shí)滯量參數(shù)對帶吸振器的軋機(jī)輥系的影響規(guī)律,適當(dāng)?shù)脑龃蠓答佋鲆嫦禂?shù)g1和g2,減小時(shí)滯量系數(shù)τ1和τ2可以改善系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂性。