摘要：指出了基礎(chǔ)設(shè)施項(xiàng)目投資成本大，需求不確定性高，多階段投資是適應(yīng)不確定性的有效措施。在隨機(jī)需求下，利用最優(yōu)多停時(shí)理論模擬多階段項(xiàng)目的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)決策。通過(guò)求解模型發(fā)現(xiàn)，在較高需求下，項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨需求波動(dòng)率的上升而下降，這與一般投資結(jié)論不同。從項(xiàng)目容量約束出發(fā)，利用牛市看漲期權(quán)價(jià)差理論解釋了項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨需求波動(dòng)率變化的原因。研究結(jié)果可以為多階段項(xiàng)目的投資提供理論支撐。

關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)設(shè)施;多階段投資;投資時(shí)機(jī);項(xiàng)目?jī)r(jià)值;容量限制;牛市看漲期權(quán)價(jià)差

中圖分類(lèi)號(hào)：F830 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-9944（2020）04-0214-04

1 引言

基礎(chǔ)設(shè)施項(xiàng)目投資成本大，需求不確定性高。適應(yīng)這些特征的一個(gè)有效措施是多階段投資，即開(kāi)始先建設(shè)較小容量的項(xiàng)目，隨著需求的增大后期進(jìn)行容量擴(kuò)建。多階段投資項(xiàng)目在發(fā)電、污水處理等項(xiàng)目均有廣泛應(yīng)用[1～3]。

多階段項(xiàng)目的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是投資具有靈活性，即投資者能夠根據(jù)市場(chǎng)的變化調(diào)整投資策略。靈活的投資策略包含投資時(shí)間、容量、放棄權(quán)利等[4]。目前多階段投資決策文獻(xiàn)主要研究擴(kuò)建容量或放棄權(quán)決策及其對(duì)項(xiàng)目?jī)r(jià)值的影響[2，5];很少文獻(xiàn)基于利潤(rùn)最大化原則，研究多階段最優(yōu)投資時(shí)機(jī)決策。

本文在需求不確定下，研究有限時(shí)間段內(nèi)多階段項(xiàng)目最優(yōu)投資時(shí)機(jī)決策問(wèn)題。首先，利用最優(yōu)多停時(shí)理論建立多階段投資時(shí)機(jī)決策模型。然后，通過(guò)數(shù)值求解，分析項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨需求波動(dòng)變化情況，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在需求較高情況下，項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨需求波動(dòng)增大而增大。最后，通過(guò)牛市看漲期權(quán)價(jià)差理論解釋價(jià)值隨需求波動(dòng)變化的原因。

2 模型建立

在[0，T]時(shí)間內(nèi)分N期投資基礎(chǔ)設(shè)施項(xiàng)目。項(xiàng)目面臨不確定性需求，對(duì)t∈[0，T]，s∈（t，T），s時(shí)刻的隨

式（1）中x是時(shí)刻t的需求量，B_s是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，α，σ分別表示需求量的預(yù)期增長(zhǎng)率和波動(dòng)率。

設(shè)第i（i=1，2，"""，N）期項(xiàng)目的容量為m_i。如果t時(shí)刻投資建設(shè)第i期項(xiàng)目，建設(shè)期為u，則運(yùn)營(yíng)期從t+u開(kāi)始。在項(xiàng)目運(yùn)營(yíng)期間，第i期項(xiàng)目運(yùn)營(yíng)負(fù)荷假定為前期項(xiàng)目滿負(fù)荷運(yùn)營(yíng)后剩余的需求量分配給第i期項(xiàng)目，則時(shí)刻第i期項(xiàng)目的運(yùn)營(yíng)量Ω_i（s，X_s）為：在自身容量限制下，當(dāng)前需求量X_s與前期項(xiàng)目運(yùn)營(yíng)總量的差，即：

設(shè)項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格為p，單位產(chǎn)量的運(yùn)營(yíng)成本為c，則第i期項(xiàng)目的現(xiàn)金流f_i（s，X_s）為：

那么t時(shí)刻投資的第i期項(xiàng)目的預(yù)期收益u_i（x）為：

這里E^t，x[·]表示t時(shí)刻需求量為x時(shí)的條件期望，即E^t，x[·]=E[·|X_t=x]，ρ為貼現(xiàn)率。

項(xiàng)目的建設(shè)成本與項(xiàng)目容量有關(guān)，假設(shè)第i期項(xiàng)目的建設(shè)成本K_i為[6]：

K_i=λm_i^β，

3 理論分析與數(shù)值算法

3.1 收益分析

投資的預(yù)期收益u;（x）依賴于投資后的需求，根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和Ito公式可得如下定理1。

3.2 數(shù)值求解

4 數(shù)值算例

計(jì)劃10年內(nèi)分三階段建設(shè)一發(fā)電廠，所有模型參數(shù)見(jiàn)表1。

圖1是需求波動(dòng)率對(duì)項(xiàng)目?jī)r(jià)值的影響，結(jié)果表明：當(dāng)初始需求比較低時(shí)，項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨需求波動(dòng)率增大而增大;當(dāng)初始需求較高時(shí)，項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨波動(dòng)率的增大而減小，這與經(jīng)典的投資結(jié)論不同[11]。這需要從項(xiàng)目容量解釋?zhuān)疚拿總€(gè)階段的項(xiàng)目容量有限制，導(dǎo)致收益有上限，而以文獻(xiàn)[11]為代表的投資問(wèn)題都假設(shè)項(xiàng)目收益沒(méi)有上限。在初始需求較低時(shí)，由于后期需求很難達(dá)到項(xiàng)目最大容量，即收益很難達(dá)到上限，故項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨波動(dòng)增大而增大，與一般投資的結(jié)論一致;在初始需求較高時(shí)，容量限制的影響就顯現(xiàn)出來(lái)了。

5 基于牛市看漲期權(quán)價(jià)差分析

從（12）式看出項(xiàng)目現(xiàn)金流相當(dāng)于牛市看漲期權(quán)價(jià)差的收益。

牛市看漲期權(quán)價(jià)差是指投資者在買(mǎi)進(jìn)一個(gè)敲定價(jià)格較低（相當(dāng)于本文的M_i-1）的看漲期權(quán)的同時(shí)，又賣(mài)出一個(gè)標(biāo)的物相同、到期日也相同，但敲定價(jià)較高（相當(dāng)于本文的從）的看漲期權(quán)。相對(duì)于單一的看漲期權(quán)，看漲期權(quán)價(jià)差能夠減低標(biāo)的價(jià)格較低時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)，但同時(shí)也會(huì)在標(biāo)的價(jià)格較高時(shí)損失潛在收益;也就是牛市看漲期權(quán)價(jià)值能夠在標(biāo)的價(jià)格變化比較溫和的情況下獲益。

為了理解本文項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨需求波動(dòng)的影響，我們探討牛市看漲期權(quán)價(jià)差的‘Vega。歐式看漲期權(quán)價(jià)差的Vega的閉形式解羚一的表達(dá)式為：出結(jié)論：當(dāng)需求比較低時(shí)，項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨波動(dòng)增大而增大;當(dāng)需求比較高時(shí)，項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨波動(dòng)增大而減小。

6 結(jié)語(yǔ)

在隨機(jī)需求下，本文建立了多階段項(xiàng)目最優(yōu)投資時(shí)機(jī)決策模型。通過(guò)求解模型發(fā)現(xiàn)，在需求較高時(shí)，項(xiàng)目?jī)r(jià)值隨需求波動(dòng)增大而降低，本文用牛市看漲期權(quán)價(jià)差理論解釋了這一現(xiàn)象。

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收稿日期：2020-02-16

基金項(xiàng)目：天津市教委科研計(jì)劃項(xiàng)目（編號(hào)，2017SK076）

作者簡(jiǎn)介：李景煥（1980-），女，副教授，博士，研究方向?yàn)轫?xiàng)目管理和金融工程。