王國軍

(河北省石家莊市第二中學(xué)，050004)

眾所周知,每年高考數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化,推陳出新,引領(lǐng)著高三復(fù)習(xí)的大方向.通過對(duì)高考試題的深入研究,發(fā)現(xiàn)許多高考試題來源于課本中同一個(gè)問題或一個(gè)課本例題加工而成的結(jié)論.本文以教材上的一道練習(xí)題為例,對(duì)其進(jìn)行總結(jié)提煉,并賞析它在近幾年高考解三角形問題中的應(yīng)用.

人教A版《數(shù)學(xué)(必修5)》的第18頁有如下練習(xí).

習(xí)題在?ABC中，求證：

a=bcosC+ccosB,

b=ccosA+acosC,

c=acosB+bcosA.

這里的每一式都涉及到三角形的三條邊(齊一次)及兩個(gè)角(余弦)，其結(jié)構(gòu)簡單，形式對(duì)稱，統(tǒng)稱為射影定理.應(yīng)用正弦定理，變形可得射影定理的角元形式：

sinA=sinBcosC+sinCcosB,

sinB=sinAcosC+sinCcosA,

sinC=sinBcosA+sinAcosB.

如此，對(duì)于解三角形問題，就有正弦定理、余弦定理和射影定理可以使用，使解題過程可以多角度、多方向展開解題思路.本文以幾道高考試題為載體，賞析射影定理的命題背景，梳理命題方向.

題型1證明余弦定理

例1(2011年陜西高考題)敘述并證明余弦定理.

解余弦定理：設(shè)?ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，則有

a2=b2+c2-2bccosA,

b2=a2+c2-2accosB,

c2=a2+b2-2abcosC.

證明由射影定理c=bcosA+acosB，可得c-bcosA=acosB.又bsinA=asinB,兩式平方相加可得，c2-2bccosA+b2cos2A+b2sin2A=a2cos2B+a2sin2B,整理得c2-2bccosA+b2=a2,即a2=b2+c2-2bccosA.

其余兩式同理可證.

評(píng)注本題證法較多，射影定理的運(yùn)用可拓展我們的解題思路.

題型2求三角形的內(nèi)角

例2(2017年全國高考題)設(shè)?ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.若2bcosB=acosC+ccosA，則∠B=______.

變式(2013年陜西高考題)設(shè)?ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.若bcosC+ccosB=asinA,則?ABC的形狀為( )

(A)銳角三角形 (B)直角三角形

(C)鈍角三角形 (D)不能確定

評(píng)注例2及其變式從射影定理入手，簡化了問題三角式化簡變形過程，使計(jì)算量大大減少.

例3(2019年全國高考題)在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，且(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

解析(1)由條件及正弦定理，可得(b-c)2=a2-bc,即b2+c2-a2=bc.于是，

題型3求三角形內(nèi)角之間的關(guān)系

例4(2016年四川高考題改編)設(shè)?ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.

sinAsinB=sinC;

(2)若b+c=2acosB,求證：A=2B.

解(1)由題意，c(bcosA+acosB)=absinC,由射影定理可得c2=absinC.由正弦定理，可得sin2C=sinAsinBsinC,故

sinAsinB=sinC.

(2)由acosB的特定結(jié)構(gòu)，想到射影定理c=acosB+bcosA,由條件可得b+acosB+bcosA=2acosB,即b+bcosA=acosB,再由正弦定理，得sinB+sinBcosA=sinAcosB,即sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B).所以，B=A-B或B=π-(A-B)(舍)，整理得A=2B.

題型4求三角形的邊長

題型5求三角形邊之間的關(guān)系

例6(2017年山東高考題)在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，若sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是( )

(A)a=2b(B)b=2a

(C)A=2B(D)B=2A

分析題設(shè)條件含有射影定理的角元形式，可利用射影定理解決.

解由條件及正弦定理，可得

b(1+2cosC)=2acosC+ccosA.

由射影定理，知acosC+ccosA=b,于是b(1+2cosC)=b+acosC,2bcosC=acosC,注意到?ABC為銳角三角形，故cosC≠0.因此a=2b.選A.

例7(2016年山東高考題)在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知

(1)證明：a+b=2c;

(2)略.

解由題意，切化弦，可得

即2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB.結(jié)合正弦定理，可得2(acosB+bcosA)=a+b.

又由射影定理，知acosB+bcosA=c,所以a+b=2c.

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化,每年都會(huì)出現(xiàn)一批面目新穎的試題,我們沒有必要把所謂的新題都羅列到位,只要善于從課本上找到這些題目的源泉,就能夠游刃有余.高三復(fù)習(xí)教學(xué)既要授人以魚,更要授人以漁.