陸琳琳

(浙江省東陽市第二高級中學,322100)

光明出版社出版的2020新課標高考總復習《三維設計》第32頁,在介紹了對數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本知識后,給出了如下一個小題糾偏題.

題目函數(shù)f(x)=log(x+1)(2x-1)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.

一、原題分析糾偏

上述推理看似完美無缺,但仔細推敲卻不符合邏輯.由于對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為常數(shù),當一個對數(shù)型函數(shù)的底數(shù)、真數(shù)都有變量時,直接用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行如上簡單處理不能令人信服.筆者利用換底公式對函數(shù)進行轉(zhuǎn)化,并利用導數(shù)法研究f(x)的性質(zhì),發(fā)現(xiàn)原題的參考答案及上述推理確實是錯誤的.

二、探究與改編

從上述解答過程可以發(fā)現(xiàn)x0是無法求出其精確值的,故該題作為填空題,屬于無法給出準確答案的“錯題”.筆者通過研究,給出以下兩種修改方案.

首先利用換元,令t=x+1,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(t)=logt(2t-3)的單調(diào)區(qū)間.

方案1尋找恰當?shù)腷,使函數(shù)f1(t)=logt(2t+b)的單調(diào)區(qū)間能求.

令g(t)=2tlnt-(2t+b)ln(2t+b),則

g′(t)=2lnt-2ln(2t+b).

(ii)若b<-1,則g(t)max>0,此時方程g(t)=0的根無法解出.

(3)當b=0時, 易見g′(t)<0,f1(t)在(0,+∞)單調(diào)減.

改編題1函數(shù)f(x)=log(x+1)(2x+5)的單調(diào)減區(qū)間是______.

方案2尋找恰當?shù)腶,使f2(t)=logt(at-3)的單調(diào)區(qū)間能求.

(ii)若10,此時h(t)=0的根無法解出.

(3)當a=1時,易見f2(t)在(3,+∞)單調(diào)增.

改編題4函數(shù)f(x)=log(x+1)(5x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間是______.

三、總結(jié)與反思

在高三的教與學過程中,我們偶爾會遇到錯題.此時,師生可以通過探究、改編活動培養(yǎng)我們發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力,從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和向權(quán)威挑戰(zhàn)的勇氣.要切實轉(zhuǎn)變教與學的理念,把學生從“學數(shù)學”的意識轉(zhuǎn)到到“做數(shù)學”的意識上來,既要注重學習的結(jié)果,更要注重學習的過程,全面發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).