丁正東

(江蘇省泰州市姜堰區(qū)溱潼中學，225508)

解題過程是知識積累重現(xiàn)及再創(chuàng)造的過程,這其中的經(jīng)驗積累需要足夠豐富.聯(lián)想熟悉的數(shù)學結構模型,使之能夠建立聯(lián)系的切合點,是解題中最常用的手法之一.觀察問題的角度不同,同一線索的數(shù)學結構模型認知就會不同,解題方法就會有所不同,這也是一題多解之源.本文通過一道壓軸填空題的解法探究,展示結構分析在思路尋求中的引導作用.

一、試題呈現(xiàn)

題目在平面直角坐標系xOy中,已知點A(x1,y1),B(x2,y2)在圓O:x2+y2=4上,且滿足x1x2+y1y2=-2,則x1+x2+y1+y2的最小值是______.

二、解法探究

解法1向量結構+圓的參數(shù)方程

解法2向量結構+中點公式

解法3參數(shù)方程+中點公式

解法4中點公式+不等式法

設x1+x2=2cosα,y1+y2=2sinα,α∈[0,2π),則可得

x1+x2+y1+y2

=2(sinα+cosα)

評注解法5在代數(shù)結構上雖然是從完全平方的聯(lián)想開始,但本質上是利用了后續(xù)的圓參數(shù)方程及asinα+bcosα的結構形式,這也提醒我們綜合性解題能力的培養(yǎng)在數(shù)學核心素養(yǎng)提升方面的重要性.當然，x1x2與x1+x2在結構上還可以往韋達定理的方向進行探討.