魏東升

(江西省瑞金市第一中學，342500)

作為圓錐曲線大家庭中的重要一員,圓及其相關知識一直是高考數(shù)學命題考查的重點之一；同時，像阿波羅尼斯圓、蒙日圓等隱形圓也頻繁地出現(xiàn)在考題中.然而，不少學生甚至教師對此類隱形圓并不夠熟悉,以致在面對這類問題時常常感到棘手.為此,筆者就圓錐曲線中的蒙日圓及其相應結論粗談自己的一點拙見.

一、圓錐曲線中的蒙日圓

在有心二次曲線中,任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上,它的圓心是有心二次曲線的中心,半徑由有心二次曲線的二次項系數(shù)決定,這個圓就是蒙日圓.相應結果用符號語言可表示為如下兩個結論.

該結論再一次體現(xiàn)了有心二次曲線所具有的統(tǒng)一美、形式美及和諧美,而拋物線雖然沒有類似的美,卻有類似的結論,只不過其對應的軌跡是一個廣義上的蒙日圓——直線.

二、 結論的證明

上述結論2的證明較為簡單,請讀者自行推理.以下給出結論1的證明.

證明設點P(x0,y0),當題設中的兩條直線斜率存在且不為0時,設其斜率分別為k1和k2,并設經(jīng)過點P的切線方程為y=k(x-x0)+y0.與曲線C的方程mx2+ny2=1聯(lián)立,消去y并整理,可得

①

當m+nk2=0時,① 式為關于x的一次方程,即不存在滿足題意的兩條相互垂直的切線.

三、試題的命制

結合上述結論,筆者以圓錐曲線和蒙日圓為背景,分別從求參數(shù)取值范圍、最值問題和求軌跡方程等三個視角對試題命制進行了嘗試,以拋磚引玉.

視角1求參數(shù)取值范圍

例1已知圓C1:x2+y2=1,若直線y=kx+2上總存在點P,使得過點P作圓C1的兩條切線相互垂直,則實數(shù)k的取值范圍是______.

評注設計此題的目的主要是為了考查由直線與圓的位置關系求參數(shù).在此思想指導下,也可以設計蒙日圓與其他圓錐曲線的位置關系問題,進一步還可以求圓錐曲線的離心率、雙曲線的漸近線等等.比如

視角2求最值

例2已知點A在拋物線C:y2=4x上,點B(0,1),點P是拋物線C1的兩條相互垂直切線的交點,則AB+AP的最小值為______.

視角3求軌跡方程

(A) 圓 (B)橢圓

(C) 圓的一部分 (D)橢圓的一部分

評注本題以蒙日圓為背景,同時考查求軌跡方程時對所求方程的純粹性和完備性的關注度.

變式設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點,|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)點P是拋物線C1的兩條相互垂直切線的交點,求過點A，B且與點P的軌跡相切的圓的方程.

解(1)y=x-1.(過程略)

解析幾何相關知識除了能夠很好地向學生滲透各種數(shù)學思想方法,更是可以培養(yǎng)學生數(shù)學運算、數(shù)學建模和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).在此基礎上形成對知識的應用意識和創(chuàng)新意識,最終落實“立德樹人”的根本目標.而正是由于解析幾何的“責任重大”,在教學過程中對學生的要求較高,從而令不少學生心生畏懼.因此,在解析幾何的教學中,合適的教學模式的選擇顯得尤為重要.像以小專題的形式介紹高考中存在的各種隱形圓,短、平、快地一次性徹底解決與其有關的問題,不失為一種好的選擇.