陳國宗

(廣東省英德中學(xué)，513000)

圓錐曲線問題是歷年高考命題的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容,而定點(diǎn)定值問題又始終在其中占有一席之地,綜合考查學(xué)生分析問題及知識運(yùn)用的能力,對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與技巧的運(yùn)用要求較高,學(xué)生普遍存在計算不完整或者運(yùn)算錯誤的現(xiàn)象.為此,本文運(yùn)用平移與齊次化相結(jié)合的方法解決一類定點(diǎn)定值問題,以提高運(yùn)算的效率與準(zhǔn)確率.

例1已知A,B為拋物線x2=4y上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn),直線OA,OB的斜率滿足kOA+kOB=2.證明:直線AB的斜率為定值.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)證明:直線AB的斜率為定值.

x′2+4y′2-4x′+8y′=0.

設(shè)A(x1′,y1′),B(x2′,y2′),直線AB的方程為mx′+ny′=1，與x2′+4y2′-4x′+8y′=0聯(lián)立，可得x′2+4y′2-4x′(mx′+ny′)+8y′(mx′+ny′)=0,整理得

評注本解法的核心在于根據(jù)結(jié)論的特點(diǎn)對坐標(biāo)軸進(jìn)行平移,為后續(xù)方程的齊次化簡化計算做好了充足的準(zhǔn)備,故我們稱上述方法為平移齊次化法.

一般地,設(shè)P(x0,y0)(x0≠0)為圓錐曲線C:f(x,y)=0上一點(diǎn),由點(diǎn)P引傾斜角互補(bǔ)的兩弦PA,PB,利用平移齊次化法證明直線AB斜率為定值的基本步驟為:

(1)平移坐標(biāo)軸,建立以P(x0,y0)(x0≠0)為原點(diǎn)的新平面直角坐標(biāo)系x′Py′;

(2)在直角坐標(biāo)系x′Py′下,求得圓錐曲線C的方程為f(x′+x0,y′+y0)=0,并設(shè)直線AB的方程為mx′+ny′=1;

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P2且與C交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1,證明:l過定點(diǎn).

x′2+4y′2+8y′=0.

x′2+4y′2+8y′(mx′+ny′)=0,

化簡變形得

所以,在原坐標(biāo)系xOy下,直線AB過定點(diǎn)(2,-1).

評注利用平移齊次化法證明定點(diǎn)問題時,應(yīng)注意平移前后定點(diǎn)坐標(biāo)的相互關(guān)系。

以上是本人對平移齊次化法在定點(diǎn)定值問題中的一些見解,通過文中的幾則實(shí)例,我們可以感受到該方法摒棄常規(guī)、獨(dú)辟蹊徑、解法高效.這也啟發(fā)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要有敢于創(chuàng)新、勇于突破的精神,而非墨守成規(guī)、千篇一律.