陳 恒， 陳 超， 劉士祥， 程 罡

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)

引 言

壓電雙晶片具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、質(zhì)量輕、帶寬高等優(yōu)點(diǎn)，但由于壓電陶瓷本身的激勵(lì)應(yīng)變小[1]，一般只有幾百個(gè)微應(yīng)變，因此壓電雙晶片存在輸出位移小的缺點(diǎn)。傳統(tǒng)上需要設(shè)計(jì)機(jī)械式的位移放大機(jī)構(gòu)放大雙晶片的輸出位移，但這卻在一定程度上降低了雙晶片的輸出力[2-4]。針對(duì)這一問(wèn)題，Lesieutre等[5]提出了后屈曲預(yù)壓縮(post-buckled pre-compressed，縮寫(xiě)為PBP)的概念，通過(guò)理論分析及實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論表明，對(duì)雙晶片施加軸向預(yù)壓力能夠同時(shí)提高其力與位移輸出能力，顯著提高雙晶片的機(jī)電轉(zhuǎn)換效率。理論上當(dāng)軸向預(yù)壓力達(dá)到雙晶片的一階屈曲臨界載荷時(shí)，雙晶片的機(jī)電耦合系數(shù)將達(dá)到1[6]?；谶@一原理，國(guó)外的學(xué)者們將預(yù)壓縮雙晶片應(yīng)用于多種飛行器舵機(jī)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用中，并取得了一系列的成果[7-11]。

為了分析雙晶片在軸向壓力下的靜、動(dòng)態(tài)特性，Giannopoulos等[12-13]利用非線性力學(xué)的方法建立雙晶片的理論模型，并進(jìn)行了雙晶片在不同軸向力下的靜變形實(shí)驗(yàn)。Giannopoulos由經(jīng)典層合板理論給出軸向受壓雙晶片的平衡方程，將雙晶片的撓度展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的形式(即假設(shè)撓度為各階屈曲模態(tài)的線性疊加)，給出雙晶片的總勢(shì)能，利用最小勢(shì)能原理及拉格朗日乘子法求解出特定邊界條件下傅里葉級(jí)數(shù)中的各階未知系數(shù)，從而得到雙晶片在軸向力及電壓作用下的靜撓度表達(dá)式，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)和ANSYS軟件驗(yàn)證了分析模型的正確性。

基于PBP概念的壓電雙晶片作為飛行器舵機(jī)的驅(qū)動(dòng)部件，其性能對(duì)舵機(jī)性能有著至關(guān)重要的影響。因此，有必要確切地描述雙晶片在軸向預(yù)壓力下的靜、動(dòng)態(tài)性能。2005年，Ron Barrett團(tuán)隊(duì)將PBP作動(dòng)器應(yīng)用于自主式飛行器時(shí)，通過(guò)將壓電產(chǎn)生的效應(yīng)等效為簡(jiǎn)支梁兩端的彎矩建立了雙晶片的靜力學(xué)模型，該模型得到了雙晶片發(fā)生靜變形的解析表達(dá)式[9]。2007年，該團(tuán)隊(duì)又將雙晶片應(yīng)用于機(jī)翼的飛行控制中，同時(shí)建立了雙晶片的動(dòng)力學(xué)模型。 該模型將雙晶片化為單自由度系統(tǒng)，通過(guò)假設(shè)形狀函數(shù)，帶入動(dòng)能、勢(shì)能和功的表達(dá)式，利用Lagrange原理得到壓電雙晶片的模態(tài)方程，然后通過(guò)系統(tǒng)的等效剛度和質(zhì)量來(lái)求得雙晶片的一階固有頻率[11]。這些方法雖然可以得到系統(tǒng)的靜、動(dòng)態(tài)特性，但卻無(wú)法用一個(gè)表達(dá)式來(lái)描述雙晶片的所有模態(tài)，使雙晶片的各階模態(tài)較為直觀地顯現(xiàn)出來(lái)。筆者通過(guò)推導(dǎo)雙晶片各層的應(yīng)變能、動(dòng)能、電勢(shì)能和外部力的描述，將力和電的作用納入到統(tǒng)一的框架中，得到系統(tǒng)關(guān)于中性層撓度的泛函表達(dá)式，再通過(guò)Hamilton原理得到軸向預(yù)壓縮條件下雙晶片的動(dòng)力學(xué)方程與特定的邊界條件。通過(guò)求解偏微分方程不僅得到系統(tǒng)的靜變形，同時(shí)得到了雙晶片關(guān)于各階頻率和陣型的解析解表達(dá)式，并對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析。

1 壓電雙晶片的機(jī)電耦合模型

1.1 動(dòng)力學(xué)方程的建立

舵機(jī)用雙晶片模型如圖1所示。雙晶片一端固定鉸支，一端可沿軸向滑動(dòng)，舵片與固定鉸支端固連，通過(guò)給雙晶片施加電壓帶動(dòng)舵片旋轉(zhuǎn)。

圖1 預(yù)壓縮雙晶片的驅(qū)動(dòng)原理Fig.1 Driving principle of axial pre-compressed piezoelectric bimorph

Hamilton原理是以變分為基礎(chǔ)的建模方法，常用來(lái)建立連續(xù)質(zhì)量分布和連續(xù)剛體分布系統(tǒng)(彈性系統(tǒng))的動(dòng)力學(xué)模型。壓電雙晶片可以簡(jiǎn)化為一個(gè)3層的壓電層合板，具有力和電場(chǎng)的耦合作用，對(duì)于這樣無(wú)限自由度的機(jī)電耦合系統(tǒng)應(yīng)采用能量法較為簡(jiǎn)便。因?yàn)殡p晶片的變形量較小，基于歐拉梁的假設(shè)，忽略微元轉(zhuǎn)動(dòng)的基體動(dòng)能[14]

(1)

同理，壓電陶瓷層的動(dòng)能為

(2)

其中：下標(biāo)p表示壓電陶瓷。

基體的純彎曲應(yīng)變能為

(3)

其中：Es為基體的彈性模量；Is為基體的截面慣性矩；w″為中性層撓度對(duì)坐標(biāo)軸x的二階導(dǎo)數(shù)。

壓電陶瓷層的應(yīng)變能為

(4)

為了得到壓電陶瓷片應(yīng)變能關(guān)于雙晶片中性層撓度的表達(dá)式，可由壓電方程得到壓電層應(yīng)力、應(yīng)變及外部電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，并通過(guò)梁的幾何方程得到應(yīng)變與梁的彎曲曲率之間的關(guān)系，而由小變形假設(shè)可以將曲率近似為撓度對(duì)x軸的二階導(dǎo)數(shù)，由此可得以撓度為自變量的壓電陶瓷層應(yīng)變能泛函。已知d型壓電本構(gòu)方程為

s=SET+dTE

(5)

D=dT+εTE

(6)

其中：s為應(yīng)變向量；SE為柔度矩陣；d為壓電常數(shù)矩陣；E為外加電場(chǎng)向量；D為電位移向量；T為應(yīng)力向量；εT為介電常數(shù)矩陣。

由歐拉梁的基本假設(shè)，忽略剪切變形，雙晶片外部電場(chǎng)只有E3≠0。因此有

(7a)

(7b)

(7c)

由于在歐拉梁假設(shè)下的正應(yīng)力僅σx≠0，并由式(5)、式(7)可得壓電梁壓電陶瓷層的應(yīng)變向量

(8)

由式(8)得到壓電陶瓷層x向正應(yīng)變?yōu)?/p>

sx=S11σx+E3d31

(9)

然后得到x向正應(yīng)力為

(10)

其中：Ep為壓電陶瓷在1方向的彈性模量，大小為柔度S11系數(shù)的倒數(shù)。

每片壓電陶瓷的彎曲應(yīng)變能為

(11)

其中：h為厚度；b為雙晶片的寬度。

將式(10)代入式(11)可得

(12)

已知梁彎曲的小變形幾何方程為

sx=-zw″

(13)

將式(13)代入式(12)，得到關(guān)于中性層撓度的壓電陶瓷層應(yīng)變能表達(dá)式為

(14)

由式(14)及式(3)可以得到壓電陶瓷層的截面慣性矩為

(15)

為了得到壓電陶瓷層關(guān)于撓度的電勢(shì)能泛函

(16)

由式(6)、式(7)、式(10)和式(13)可得

(17)

積分后可得

(18)

其中：E3為z向電場(chǎng)強(qiáng)度。

E3與壓電陶瓷層的外加電壓伏值V之間的關(guān)系為

E3=V/hp

(19)

F為軸向壓力，假設(shè)其方向沿x軸負(fù)方向，小變形假設(shè)下近似為

(20)

整個(gè)雙晶片的動(dòng)能、勢(shì)能以及外部作用為

(21)

其中：下標(biāo)bi表示壓電雙晶片。

由哈密頓原理，通過(guò)求泛函的駐值

(22)

得到關(guān)于中性層撓度的偏微分方程。可以看出，雙晶片的動(dòng)力學(xué)方程與普通均質(zhì)梁具有同樣的形式，逆壓電效應(yīng)沒(méi)有體現(xiàn)在方程中而是在邊界條件里

(23)

可得到簡(jiǎn)支邊界條件為

(24)

1.2 雙晶片驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)特性

通過(guò)分離變量法可將前面描述驅(qū)動(dòng)器的力學(xué)偏微分方程分解為兩個(gè)常微分方程，由具體的邊界條件得到關(guān)于頻率的線性方程組。令該方程組的系數(shù)矩陣行列式為零，可解出驅(qū)動(dòng)器在特定邊界條件下的固有頻率，并通過(guò)求解方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程得到系統(tǒng)的固有振型。假設(shè)外加電場(chǎng)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)形式，從上述偏微分方程可求解得到驅(qū)動(dòng)器的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)[15]。利用該方法得到雙晶片簡(jiǎn)支條件下的固有頻率與固有振型的解析表達(dá)式如下。

固有頻率為

(25)

固有振型為

(26)

為了得到雙晶片在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)，令外加電壓為

V=vsin(ωt)

(27)

不考慮阻尼，可假設(shè)雙晶片的響應(yīng)為

w=φ(x)sin(ωt)

(28)

將式(28)代入式(23)及邊界條件(24)中解得

φ(x)=aTb

(29)

其中

(30)

(31)

(32)

(33)

1.3 雙晶片驅(qū)動(dòng)器的靜態(tài)特性

為了得到驅(qū)動(dòng)器的靜態(tài)特性，只需將動(dòng)力學(xué)方程中的加速度項(xiàng)為零，即可得到描述該機(jī)電耦合系統(tǒng)靜態(tài)特性的微分方程，然后可求解得到雙晶片在不同電壓、軸向預(yù)壓力下的靜態(tài)輸出特性。

由式(23)得到靜態(tài)撓度方程為

EIw(4)+Fw″=0

(34)

其通解為

(35)

由式(24)、式(34)得

(36)

通過(guò)求解上述矩陣方程可得到邊界條件式(24)下驅(qū)動(dòng)器的靜變形為

(37)

簡(jiǎn)支條件下雙晶片輸出軸轉(zhuǎn)角，即x=0處轉(zhuǎn)角為

(38)

簡(jiǎn)支的雙晶片滑動(dòng)端x向位移為

(39)

由式(25)令ω1=0，得到簡(jiǎn)支雙晶片的一階屈曲臨界載荷為

(40)

2 雙晶片的有限元分析

通過(guò)以上分析建立了描述軸向預(yù)壓縮雙晶片的動(dòng)力學(xué)方程，從其動(dòng)力學(xué)方程及邊界條件中得到靜撓度、輸出轉(zhuǎn)角、固有頻率及固有振型等的解析解。

作為比較，利用ANSYS軟件對(duì)雙晶片進(jìn)行有限元分析，雙晶片的幾何尺寸及材料屬性由表1給出。壓電陶瓷的剛度系數(shù)矩陣(單位為GPa)如下

(41)

2.1 驅(qū)動(dòng)器的靜態(tài)特性

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，分別對(duì)雙晶片施加不同的電壓和0.05倍～0.85倍屈曲臨界載荷的軸向力，并利用上節(jié)中的理論分析得到相應(yīng)的結(jié)果。同時(shí)利用ANSYS軟件進(jìn)行靜力學(xué)分析，壓電陶瓷層選用solid226單元類型，基體選用solid186單元，在分析設(shè)置中打開(kāi)大變形選項(xiàng)。設(shè)壓電陶瓷的壓電應(yīng)力系數(shù)e33=e15=0，已知d31可從陶瓷層的剛度系數(shù)矩陣求出對(duì)應(yīng)的e31=-30.217 2 C/m2。

從模型計(jì)算得到雙晶片的一階屈曲臨界載荷Fcr=96.97N。對(duì)于簡(jiǎn)支雙晶片一般把固定鉸支端作為輸出軸，通過(guò)輸出軸的轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)舵面偏轉(zhuǎn)。由于ANSYS不能直接計(jì)算出雙晶片的固定鉸支端轉(zhuǎn)角，可從ANSYS計(jì)算結(jié)果中提取距離固定端1mm處的撓度w，則雙晶片的輸出轉(zhuǎn)角近似為θ=arctan(1 000w)。式(37)、式(38)得到的結(jié)果與ANSYS計(jì)算結(jié)果如圖2、圖3所示，橫坐標(biāo)為按屈曲臨界載荷歸一化的軸向力，縱坐標(biāo)為雙晶片的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角。

圖2 不同電壓下軸向力與雙晶片最大撓度的關(guān)系Fig.2 Relationship between the deflection and the axial force at different voltages

圖3 不同電壓下軸向力與雙晶片輸出轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig.3 Relationship between the output angle and the axial force at different voltages

從圖2、圖3中的結(jié)果可以看出，ANSYS計(jì)算結(jié)果模型與解析解計(jì)算結(jié)果趨勢(shì)上基本一致。小軸向力下兩者相差很小，由于本研究的理論模型采用了小變形假設(shè)，隨著軸向力的增大計(jì)算誤差會(huì)越來(lái)越大，但趨勢(shì)是一致的。另外，理論模型中近似地認(rèn)為沿壓電陶瓷厚度方向電場(chǎng)強(qiáng)度均勻分布也會(huì)引起一定的誤差。增大軸向力對(duì)雙晶片的輸出位移有明顯的放大作用。為了給預(yù)壓力施加部分的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)，圖4給出簡(jiǎn)支雙晶片滑動(dòng)端x向位移的計(jì)算結(jié)果。

圖4 簡(jiǎn)支雙晶片的軸向剛度特性Fig.4 Axial stiffness characteristics of the Bimorph

從圖4可以看出，簡(jiǎn)支雙晶片的軸向剛度在0～0.4倍的屈曲臨界載荷下基本呈線性，在大軸向力下呈明顯的非線性，隨著軸向力的增大，雙晶片剛度漸軟，理論上當(dāng)軸向力達(dá)到屈曲臨界載荷時(shí)雙晶片的軸向剛度將為零。

從上面的仿真結(jié)果可以看出，軸向力對(duì)雙晶片的靜態(tài)位移輸出能力有明顯的放大作用，較大軸向力下雙晶片的軸向剛度呈現(xiàn)明顯的非線性。通過(guò)與ANSYS計(jì)算結(jié)果的比較也證實(shí)了本研究的理論分析結(jié)果在較小軸向力下是基本正確的，大軸向力下(接近屈曲臨界載荷)理論計(jì)算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果趨勢(shì)上基本一致。

2.2 驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)特性

通過(guò)模型的理論分析給出了在軸向力及電壓的作用下雙晶片的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性表達(dá)式，得到了簡(jiǎn)支邊界條件下雙晶片的固有頻率、固有振型及幅頻特性的解析表達(dá)式。通過(guò)式(25)計(jì)算出雙晶片的固有頻率，并與ANSYS預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析結(jié)果放在一起進(jìn)行比較，在ANSYS軟件靜力學(xué)分析設(shè)置中打開(kāi)大變形選項(xiàng)，結(jié)果如圖5所示。

圖5 與簡(jiǎn)支雙晶片一階彎振頻率的關(guān)系Fig.5 Relationship between 1st bending frequency and the axial force at different voltages

在式(29)～(33)中，令x=L/2，計(jì)算出雙晶片的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與ANSYS預(yù)應(yīng)力下諧響應(yīng)計(jì)算結(jié)果如圖6所示。在ANSYS中進(jìn)行有預(yù)應(yīng)力的諧響應(yīng)分析，首先，進(jìn)行靜力學(xué)分析計(jì)算結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力，添加鉸支邊界條件，在滑動(dòng)鉸支端對(duì)雙晶片施加軸向力，分析設(shè)置中打開(kāi)大變形選項(xiàng)；其次，將靜力學(xué)分析的結(jié)果導(dǎo)入模態(tài)分析，通過(guò)模態(tài)疊加法進(jìn)行諧響應(yīng)分析。諧響應(yīng)分析中，在雙晶片兩端施加等效彎矩(相當(dāng)于施加1V電壓引起的彎矩)，計(jì)算得到簡(jiǎn)支雙晶片在不同軸向力作用下的幅頻特性曲線。

圖6 簡(jiǎn)支雙晶片1V電壓下的幅頻特性Fig.6 Amplitude-frequency characteristics of bimorph under 1V voltage

3 可調(diào)軸向預(yù)緊力的雙晶片實(shí)驗(yàn)研究

3.1 雙晶片的靜態(tài)實(shí)驗(yàn)

為了測(cè)試舵機(jī)用雙晶片的靜態(tài)特性，設(shè)計(jì)并制作出實(shí)驗(yàn)裝置如圖7所示。雙晶片左側(cè)嵌入到固定鉸支端即輸出軸上，右側(cè)嵌入到滑動(dòng)鉸支端，滑動(dòng)端與底座上的導(dǎo)軌相連，通過(guò)砝碼給雙晶片施加軸向力，利用激光位移傳感器測(cè)量雙晶片中點(diǎn)撓度。通過(guò)給雙晶片施加直流電來(lái)測(cè)試雙晶片的靜態(tài)撓度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與解析解計(jì)算結(jié)果如圖8所示。從圖中可以看出，軸向力在一定程度上能夠放大雙晶片的輸出位移,而且雙晶片的撓度對(duì)電壓有較好的線性度。

圖7 軸向預(yù)壓縮簡(jiǎn)支雙晶片實(shí)驗(yàn)裝置Fig.7 Experimental device for axial pre-compressed piezoelectric bimorph

圖8 不同軸向力及電壓下簡(jiǎn)支雙晶片的最大撓度Fig.8 Maximum deflection under different axial force and voltage

3.2 雙晶片的瞬態(tài)實(shí)驗(yàn)

雙晶片的瞬態(tài)特性主要指其啟動(dòng)與關(guān)斷時(shí)表現(xiàn)的特性。筆者用雙晶片的階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)來(lái)測(cè)試其瞬態(tài)特性。給雙晶片施加低頻(0.2Hz)的方波信號(hào)(向上偏置100%)，利用激光位移傳感器測(cè)量其階躍響應(yīng)，得到雙晶片在啟動(dòng)與關(guān)停時(shí)響應(yīng)的時(shí)間歷程。雙晶片應(yīng)用于舵機(jī)要有一定的帶寬，否則無(wú)法及時(shí)響應(yīng)飛控系統(tǒng)給出的控制信號(hào)。因此，進(jìn)行雙晶片的瞬態(tài)特性實(shí)驗(yàn)具有重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義。

采用之前給出的雙晶片與圖7中的實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)量簡(jiǎn)支雙晶片的瞬態(tài)響應(yīng)。圖9給出雙晶片軸向力為零、電壓幅值為10V時(shí)的階躍響應(yīng)，橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為激光位移傳感器測(cè)量得到的位移(絕對(duì)值)，采樣頻率為20kHz，激勵(lì)電壓為0.2Hz，占空比為50%。從圖中可以看出，雙晶片的響應(yīng)時(shí)間非?？?毫秒級(jí))，而雙晶片在啟停時(shí)會(huì)出現(xiàn)較大的位移峰值。

圖9 無(wú)軸向力下簡(jiǎn)支雙晶片的階躍響應(yīng)Fig.9 Step response of bimorph without axial force

作為比較，其他條件相同，測(cè)出雙晶片在軸向力10N時(shí)的階躍響應(yīng)，測(cè)量結(jié)果如圖10所示。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出，雙晶片在大軸向力下仍然有著毫秒級(jí)的響應(yīng)時(shí)間，且雙晶片在啟動(dòng)時(shí)的位移峰值消失。有10N軸向力的情況比無(wú)軸向力的情況振幅放大了20%左右。

圖10 10N軸向力下簡(jiǎn)支雙晶片的階躍響應(yīng)Fig.10 Step response of bimorph under 10N axial forces

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者基于Hamilton原理，由歐拉梁的假設(shè)(另外假設(shè)壓電陶瓷電場(chǎng)沿厚度均勻分布)建立軸向受壓雙晶片的動(dòng)力學(xué)模型，給出雙晶片的動(dòng)力學(xué)方程(可簡(jiǎn)化為靜力學(xué)方程)與邊界條件。得出軸向預(yù)壓縮雙晶片在簡(jiǎn)支邊界條件下的靜態(tài)特性(不同軸向力不同電壓下的最大撓度)、幅頻特性、固有頻率、固有振型及屈曲臨界載荷的解析解表達(dá)式。利用ANSYS軟件建立雙晶片的簡(jiǎn)化模型，進(jìn)行靜力學(xué)、模態(tài)與諧響應(yīng)分析，將理論計(jì)算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證理論分析的正確性，增加理論分析結(jié)果的可信度。搭建雙晶片實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，進(jìn)行不同軸向力下雙晶片的靜變形實(shí)驗(yàn)與瞬態(tài)實(shí)驗(yàn)。分析理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)增大軸向力能夠明顯地放大雙晶片的靜變形，同時(shí)降低雙晶片的一階彎振頻率，在大軸向力下雙晶片仍然有很高的帶寬，響應(yīng)時(shí)間仍然為毫秒級(jí)，與傳統(tǒng)的電磁伺服系統(tǒng)相比優(yōu)勢(shì)明顯，具有廣闊的應(yīng)用前景。