周有榮, 王 凱

(1.臨滄潤(rùn)汀水資源科技服務(wù)有限公司，云南 臨滄 677000；2.云南省水文水資源局臨滄分局，云南 臨滄 677000)

1 研究背景

有效提高基坑變形預(yù)測(cè)精度對(duì)于判斷基坑穩(wěn)定性、預(yù)見(jiàn)周邊建筑破壞程度和科學(xué)掌握基坑未來(lái)變形趨勢(shì)具有重要意義[1]。目前應(yīng)用于基坑變形預(yù)測(cè)的方法有灰色預(yù)測(cè)法[2]、支持向量機(jī)法[3-5]、極限學(xué)習(xí)機(jī)法[6-7]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[8-11]、組合預(yù)測(cè)法[12-13]等，已在基坑變形預(yù)測(cè)應(yīng)用中取得一定的預(yù)測(cè)效果，但各方法也存在不足：灰色預(yù)測(cè)法存在對(duì)原始數(shù)據(jù)依賴程度高、短期預(yù)測(cè)效果差等不足；支持向量機(jī)雖然能有效避免維數(shù)災(zāi)、過(guò)擬合等問(wèn)題，但存在懲罰因子、核函數(shù)等參數(shù)選取的困難；極限學(xué)習(xí)機(jī)具有較好的預(yù)測(cè)精度，但其隱含層節(jié)點(diǎn)間連接權(quán)值和閾值的隨機(jī)確定或人為給定制約了ELM的應(yīng)用范疇和精度的進(jìn)一步提高；BP、Elman等人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)目前在各行業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，但存在權(quán)、閾值等關(guān)鍵參數(shù)選取和優(yōu)化的困難；組合預(yù)測(cè)雖然能發(fā)揮各單一模型優(yōu)點(diǎn)，具有較好的預(yù)測(cè)效果，但存在模型過(guò)于復(fù)雜、各模型權(quán)重確定困難等缺點(diǎn)。其他預(yù)測(cè)方法如突變理論法[14]、隨機(jī)森林模型法[15]、改進(jìn)MSD法[16]、卡爾曼濾波[17]等也在變形預(yù)測(cè)中得到應(yīng)用。

為進(jìn)一步提高基坑變形預(yù)測(cè)精度，拓展基坑變形預(yù)測(cè)模型及方法，本文基于基坑變形預(yù)報(bào)因子與影響因子之間存在的指數(shù)冪乘積(exponential power product，EPP)關(guān)系[18]，提出一種基于拉普拉斯交叉算子(Laplace crossover operator，LX)改進(jìn)的鯨魚(yú)優(yōu)化算法(Laplacian whale optimization algorithm，LXWOA)優(yōu)化的指數(shù)冪乘積(EPP)基坑變形預(yù)測(cè)模型，以參考文獻(xiàn)[19]中的基坑變形預(yù)測(cè)為例進(jìn)行實(shí)例研究。

本文內(nèi)容按排如下：(1)選取4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)在高維(30維)和低維(5維)條件下對(duì)LXWOA進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與基本鯨魚(yú)優(yōu)化算法(WOA)、灰狼優(yōu)化(GWO)算法、正弦余弦算法(SCA)、粒子群優(yōu)化(PSO)算法的仿真結(jié)果進(jìn)行比較。(2)分別利用自相關(guān)函數(shù)法、虛假最鄰近法確定實(shí)例數(shù)據(jù)的延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)，構(gòu)建EPP模型的輸入、輸出向量。利用LXWOA對(duì)EPP模型指數(shù)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，構(gòu)建LXWOA-EPP基坑變形預(yù)測(cè)模型，并構(gòu)建WOA-EPP、GWO-EPP、SCA-EPP、PSO-EPP模型與LXWOA-SVM、LXWOA-BP模型作對(duì)比，預(yù)測(cè)結(jié)果與文獻(xiàn)IABC-LSSVR模型[3]、組合預(yù)測(cè)模型[13]的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行比較分析。

2 LXWOA-EPP預(yù)測(cè)模型

2.1 鯨魚(yú)優(yōu)化算法

鯨魚(yú)優(yōu)化算法(whale optimization algorithm，WOA)是澳大利亞學(xué)者M(jìn)irjalili通過(guò)模擬鯨魚(yú)捕食行為而提出的一種新型智能算法。WOA 算法的位置更新行為主要分為：游走覓食、包圍收縮以及螺旋食這3種行為。參考文獻(xiàn)[20-22]，將基本W(wǎng)OA算法3種捕食行為簡(jiǎn)述如下：

(1)游走覓食。WOA采用種群中的隨機(jī)個(gè)體位置來(lái)導(dǎo)航尋找食物，鯨魚(yú)空間位置更新公式：

X(j+1)=X*(j)-A·D

(1)

式中：X(j+1)為第(j+1)次迭代鯨魚(yú)空間位置；X*(j)為當(dāng)前最佳鯨群空間位置；D=|C·X*(j)-X(j)|為個(gè)體X在位置更新前距離種群隨機(jī)個(gè)體X*的長(zhǎng)度；A和C為系數(shù)變量，其中A=2a·r-a，C=2r，a=2-j/M，M最大迭代次數(shù)；r為[0,1]上的隨機(jī)數(shù)。

(2)包圍收縮。人工鯨魚(yú)在尋找到食物后，利用公式(2)更新鯨魚(yú)的空間位置：

X(j+1)=Xrand-A·|C·Xrand(j)-X|

(2)

式中：Xrand為當(dāng)前種群中隨機(jī)1個(gè)鯨魚(yú)個(gè)體所在的空間位置。

(3)螺旋捕食。鯨魚(yú)以螺旋式的移動(dòng)方式向當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體靠近，引入螺旋式數(shù)學(xué)模型，利用公式(3)更新鯨魚(yú)空間位置：

(3)

式中:D′為第i頭鯨當(dāng)前位置與當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體之間的距離；b為對(duì)數(shù)螺旋形狀常數(shù)；l為[-1,1]之間的隨機(jī)數(shù)；p為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

2.2 改進(jìn)鯨魚(yú)優(yōu)化算法

WOA 具有較好的尋優(yōu)性能，但在解決復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)存在易陷入局部極值和收斂速度慢等缺點(diǎn)。本文基于拉普拉斯交叉算子(LX)改進(jìn)WOA，有效克服了基本W(wǎng)OA易陷入局部極值和局部搜索能力弱等不足，增強(qiáng)了算法的探索和開(kāi)發(fā)之間的平衡能力。LX采用拉普拉斯分布的密度函數(shù)系數(shù)代替算術(shù)交叉算子系數(shù)，假設(shè)在第j代的2個(gè)鯨魚(yú)個(gè)體X1和X2之間進(jìn)行交叉，則交叉后所產(chǎn)j+1代的2個(gè)新鯨魚(yú)個(gè)體表示為[23]：

(4)

拉普拉斯隨機(jī)分布數(shù) 由以下規(guī)則創(chuàng)建：

(5)

式中：s、q為拉普拉斯分布參數(shù)，s∈R為定位參數(shù)，q>0為尺度參數(shù)；u為在[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

2.3 指數(shù)冪乘積模型

研究表明，基坑變形預(yù)測(cè)因子與其影響因子之間存在如公式(6)所示的指數(shù)冪乘積(EPP)關(guān)系：

(6)

2.4 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證LXWOA在高維和低維條件下尋優(yōu)能力，利用LXWOA對(duì)Sphere、Schwefel 2.22、Griewank、Rastrigin 4個(gè)典型測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與WOA、GWO、SCA、PSO算法的仿真結(jié)果進(jìn)行比較。上述4個(gè)函數(shù)變量取值分別為[-100,100]、[-10,10]、[-600,600]、[-5.12,5.12]，維度為30維和5維，理論最優(yōu)解值均為0。其中，函數(shù)Sphere、Schwefel 2.22為單峰函數(shù)，主要用于測(cè)試算法的尋優(yōu)精度；函數(shù)Griewank、Rastrigin為多峰函數(shù)，主要用于測(cè)試算法的全局搜索能力。

本文基于MATLAB 2018a M語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)5種算法對(duì)4個(gè)典型測(cè)試函數(shù)的20次重復(fù)尋優(yōu)，并從平均值、標(biāo)準(zhǔn)差2個(gè)方面進(jìn)行評(píng)估[24]，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 4個(gè)典型測(cè)試函數(shù)優(yōu)化對(duì)比結(jié)果

實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置如下：LXWOA、WOA、GWO、SCA、PSO 5種算法最大迭代次數(shù)M=500，群體數(shù)目N=50。其中LXWOA拉普拉斯分布參數(shù)s=0、q=0.1，對(duì)數(shù)螺旋形狀常數(shù)b=2；WOA對(duì)數(shù)螺旋形狀常數(shù)b=2；SCA常數(shù)a=2，參數(shù)r2=2π rand()，r3=2 rand()；PSO算法慣性權(quán)重wmax、wmin分別取值0.9和0.6，自我學(xué)習(xí)因子、社會(huì)學(xué)習(xí)因子c1、c2均取值2.0。其他參數(shù)采用各算法默認(rèn)值。

對(duì)表1進(jìn)行對(duì)比分析可得出以下結(jié)論：

(1)對(duì)于單峰函數(shù)Sphere、Schwefel 2.22，LXWOA 在高維和低維情況下20次尋優(yōu)精度略優(yōu)于WOA、GWO算法，優(yōu)于SCA、PSO算法，表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)精度和極值尋優(yōu)能力。

(2)對(duì)于多峰多模態(tài)函數(shù)Griewank，在高維情況下，LXWOA、GWO算法20次尋優(yōu)均獲得了理論最優(yōu)值0，尋優(yōu)精度優(yōu)于WOA，遠(yuǎn)優(yōu)于SCA、PSO算法；但在低維情況下，雖然LXWOA 尋優(yōu)精度仍然優(yōu)于其他4種算法，但LXWOA、WOA、GWO算法尋優(yōu)精度下降幅度明顯，SCA、PSO算法尋優(yōu)精度變化不明顯。對(duì)于易陷入局部極值多峰函數(shù)Rastrigin，在高維情況下，LXWOA 20次尋優(yōu)均獲得了理論最優(yōu)值0，尋優(yōu)精度優(yōu)于WOA，遠(yuǎn)優(yōu)于GWO、SCA、PSO算法；在低維情況下，LXWOA、WOA、GWO算法20次尋優(yōu)均獲得了理論最優(yōu)值0，尋優(yōu)精度優(yōu)于SCA，遠(yuǎn)優(yōu)于PSO算法。

可見(jiàn)，基于LX算子改進(jìn)的LXWOA能有效克服基本W(wǎng)OA易陷入局部極值和局部搜索能力弱等不足，增強(qiáng)了算法的探索和開(kāi)發(fā)之間的平衡能力。對(duì)于上述4個(gè)函數(shù)，無(wú)論在高維還是低維情況下，LXWOA尋優(yōu)能力均優(yōu)于WOA、GWO、SCA和PSO算法，具有較好的尋優(yōu)精度和全局搜索能力。

2.5 LXWOA-EPP模型預(yù)測(cè)實(shí)現(xiàn)步驟

LXWOA-EPP模型預(yù)測(cè)實(shí)現(xiàn)步驟歸納如下(WOA-EPP、GWO-EPP、SCA-EPP、PSO-EPP模型預(yù)測(cè)實(shí)現(xiàn)步驟可參考實(shí)現(xiàn))：

Step 1分別利用自相關(guān)函數(shù)法、虛假最鄰近法確定實(shí)例數(shù)據(jù)的延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)，構(gòu)建EPP模型的輸入、輸出向量，并合理劃分訓(xùn)練樣本和預(yù)測(cè)樣本，利用公式(7)對(duì)實(shí)例數(shù)據(jù)序列進(jìn)行歸一化處理；設(shè)定EPP模型指數(shù)參數(shù)aj的搜尋范圍。

x′=(x-0.8xmin)/(1.2xmax-0.8xmin)

(7)

式中：x′為經(jīng)過(guò)歸一化處理的數(shù)據(jù)；x為原始數(shù)據(jù)；xmax和xmin分別為序列中的最大值和最小值。

Step 2確定適應(yīng)度函數(shù)。本文選用均方誤差作為適應(yīng)度函數(shù)，見(jiàn)公式(8)：

(8)

Step 3設(shè)置LXWOA最大迭代次數(shù)M、群體數(shù)目N、對(duì)數(shù)螺旋形狀常數(shù)b(b=2)以及拉普拉斯分布參數(shù)s、q。令當(dāng)前迭代次數(shù)t=1，初始化鯨魚(yú)種群個(gè)體空間位置。

Step 4計(jì)算每個(gè)鯨群個(gè)體適應(yīng)度值，計(jì)算種群的適應(yīng)度，找到并記錄種群中的最優(yōu)個(gè)體位置X*。

Step 5 迭代階段。若j≤M時(shí)，更新a、A、C、l和p；當(dāng)p<0.5時(shí)，若|A|<1，利用公式(1)更新鯨群空間位置；若|A|≥1，則從當(dāng)前群體中隨機(jī)確定鯨群位置Xrand，利用公式(2)更新鯨群空間位置；若p≥0.5時(shí)，利用公式(3)更新當(dāng)前鯨群個(gè)體的空間位置。

Step 6 交叉運(yùn)算。利用公式(4)隨機(jī)選擇2個(gè)鯨魚(yú)個(gè)體X1和X2進(jìn)行交叉，產(chǎn)生新的鯨魚(yú)個(gè)體。

Step 7 計(jì)算更新后的鯨群個(gè)體適應(yīng)度值，若新鯨群個(gè)體適應(yīng)度優(yōu)于前代鯨群個(gè)體適應(yīng)度，則以新鯨群個(gè)體位置替代原鯨群個(gè)體位置；否則保留原鯨群個(gè)體位置。

Step 8令t=t+1。判斷算法是否達(dá)到終止條件，若達(dá)到終止條件，輸出最優(yōu)個(gè)體位置X*及其適應(yīng)度值，算法結(jié)束；否則重復(fù)Step 5～8。

Step 9 輸出LXWOA全局最優(yōu)位置X*，X*即為EPP模型最佳參數(shù)aj。將參數(shù)aj代入EPP模型進(jìn)行基坑變形預(yù)測(cè)。

3 實(shí)例應(yīng)用

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源及分析

為便以比較，本文以文獻(xiàn)[19]中廣州某基坑項(xiàng)目21期監(jiān)測(cè)沉降數(shù)據(jù)為例進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，基坑基本情況，觀測(cè)點(diǎn)位置等參見(jiàn)文獻(xiàn)[19]。首先利用自相關(guān)函數(shù)法確定沉降數(shù)據(jù)延遲時(shí)間，經(jīng)分析，當(dāng)延遲時(shí)間為1時(shí)自相關(guān)系數(shù)最大，為0.821，因此確定該沉降數(shù)據(jù)延遲時(shí)間為1。其次在延遲時(shí)間為1的條件下采用虛假最鄰近法(FNN)確定該沉降數(shù)據(jù)嵌入維數(shù)，見(jiàn)圖1。從圖1可以看出，當(dāng)嵌入維數(shù)為3時(shí)虛假最鄰近的比例為0，小于1%，說(shuō)明由嵌入維為3維所確定的重構(gòu)吸引子不會(huì)再出現(xiàn)因投影到低維空間而發(fā)生重合現(xiàn)象，即當(dāng)延遲時(shí)間為1、嵌入維數(shù)為3維時(shí)該沉降數(shù)據(jù)具有最佳預(yù)測(cè)效果。最后，在延遲時(shí)間為1、嵌入維數(shù)為3維條件下，利用前3期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)第4期數(shù)值，構(gòu)建基坑變形預(yù)測(cè)因子與影響因子的輸入、輸出矩陣見(jiàn)表2。

圖1 基坑監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)虛假鄰近點(diǎn)法結(jié)果 圖2 5種模型訓(xùn)練樣本參數(shù)尋優(yōu)進(jìn)化過(guò)程圖

為便以與文獻(xiàn)中IABC-LSSVR模型[3]、組合預(yù)測(cè)模型[13]的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，本文選取表2中前15期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，后3期年實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)樣本。

表2 某基坑變形預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)輸入輸出矩陣 mm

3.2 參數(shù)設(shè)置

設(shè)置EPP模型參數(shù)a的搜索范圍∈[-2,2]，維度為3維；SVM模型懲罰因子C∈[0.1,1000]、核函數(shù)參數(shù)g∈[0.1,1000]、不敏感系數(shù)ε∈[0.001,0.1]，交叉驗(yàn)證折數(shù)V=3；BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)置為4-5-1，隱含層傳遞函數(shù)采用logsig，輸出層傳遞函數(shù)采用purelin，訓(xùn)練函數(shù)采用trainlm，設(shè)定期望誤差為0.001, 最大訓(xùn)練輪回為100次，搜索空間∈[-1,1]。LXWOA、WOA、GWO、SCA、PSO 5種算法參數(shù)設(shè)置同前文仿真驗(yàn)證。

3.3 模型構(gòu)建及預(yù)測(cè)

分別構(gòu)建LXWOA-EPP、WOA-EPP、GWO-EPP、SCA-EPP、PSO-EPP和LXWOA-SVM、LXWOA-BP 7種基坑變形預(yù)測(cè)模型。選取平均相對(duì)誤差絕對(duì)值MRE、平均絕對(duì)誤差MAE、均方根誤差RMSE為評(píng)價(jià)指標(biāo)，利用上述7種模型對(duì)實(shí)例基坑變形進(jìn)行預(yù)測(cè)，各基坑變形預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差對(duì)比見(jiàn)表3，LXWOA-EPP等5種模型訓(xùn)練樣本參數(shù)尋優(yōu)進(jìn)化過(guò)程圖、7種模型擬合預(yù)測(cè)相對(duì)誤差圖、7種模型擬合預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差圖分別見(jiàn)圖2、3、4。

依據(jù)表3及圖2～4可以得出以下結(jié)論：

(1)LXWOA-EPP模型對(duì)實(shí)例預(yù)測(cè)的MRE、MAE和RMSE分別為0.18%、0.008 mm、0.009 mm，預(yù)測(cè)精度和預(yù)測(cè)效果均優(yōu)于WOA-EPP、GWO-EPP、SCA-EPP、PSO-EPP、LXWOA-SVM、LXWOA-BP模型和文獻(xiàn)中IABC-LSSVR模型、組合預(yù)測(cè)模型，具有較好的預(yù)測(cè)精度和泛化能力，表明LXWOA能有效優(yōu)化EPP模型的指數(shù)參數(shù)，LXWOA-EPP模型用于基坑變形預(yù)測(cè)是可行和有效的。

(2)基于LXWOA、WOA、GWO、SCA、PSO算法指數(shù)參數(shù)優(yōu)化的EPP模型均具有較好的預(yù)測(cè)精度和泛化能力，其預(yù)測(cè)的MRE、MAE和RMSE分別在0.29%～0.18%、0.013～0.008 mm、0.014～0.009 mm之間，均優(yōu)于文獻(xiàn)中的IABC-LSSVR模型、組合預(yù)測(cè)模型，表明EPP模型用于基坑變形預(yù)測(cè)具有較好的應(yīng)用前景。其中，LXWOA-EPP模型的預(yù)測(cè)精度較文獻(xiàn)中IABC-LSSVR模型和組合預(yù)測(cè)模型提高了48.5%以上，具有更好的預(yù)測(cè)精度和預(yù)測(cè)效果。

(3)表3中LXWOA-SVM模型預(yù)測(cè)精度高于文獻(xiàn)中的IABC-LSSVR模型，這主要得益于：①LXWOA具有較好的尋優(yōu)能力，能有效地優(yōu)化SVM模型參數(shù)；②基于自相關(guān)函數(shù)法和虛假最鄰近法科學(xué)確定延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)，構(gòu)建合理的輸入、輸出向量。

表3 各基坑變形預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差對(duì)比

(4)從圖3、4來(lái)看，LXWOA-BP模型預(yù)測(cè)效果并不十分理想，原因在于訓(xùn)練樣本過(guò)少和訓(xùn)練過(guò)程呈現(xiàn)“過(guò)擬合”特征，導(dǎo)致泛化能力差。

圖3 7種模型擬合預(yù)測(cè)相對(duì)誤差圖 圖4 7種模型擬合預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差圖

(5)從實(shí)例及前文仿真驗(yàn)證來(lái)看，WOA在仿真驗(yàn)證中表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)能力，但在實(shí)例應(yīng)用中不能很好優(yōu)化EPP模型的指數(shù)參數(shù)；而在仿真驗(yàn)證中表現(xiàn)并不突出的PSO算法卻在實(shí)例應(yīng)用中表現(xiàn)不俗?？傮w來(lái)看，在仿真驗(yàn)證中表現(xiàn)出良好尋優(yōu)能力的LXWOA、GWO、SCA算法，同樣在該實(shí)例應(yīng)用中具有較好的尋優(yōu)精度和尋優(yōu)效果。

4 結(jié) 論

(1)提出基于拉普拉斯交叉算子改進(jìn)的鯨魚(yú)優(yōu)化算法(LXWOA)，選取4個(gè)典型測(cè)試函數(shù)在高維和低維情況下對(duì)LXWOA進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與WOA、GWO、SCA、PSO算法的仿真結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果表明：無(wú)論在高維還是低維情況下，LXWOA尋優(yōu)能力均優(yōu)于WOA、GWO、SCA和PSO算法，具有較好的尋優(yōu)精度和全局搜索能力。

(2)基于自相關(guān)函數(shù)法和虛假最鄰近法確定沉降數(shù)據(jù)延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)，構(gòu)建基坑變形預(yù)測(cè)的輸入、輸出向量；利用LXWOA優(yōu)化EPP模型的指數(shù)參數(shù)，提出LXWOA-EPP基坑變形預(yù)測(cè)模型，并構(gòu)建WOA-EPP、GWO-EPP、SCA-EPP、PSO-EPP、LXWOA-SVM、LXWOA-BP模型作為比較模型，以文獻(xiàn)基坑變形預(yù)測(cè)為例進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。結(jié)果表明：LXWOA-EPP模型預(yù)測(cè)精度和預(yù)測(cè)效果均優(yōu)于WOA-EPP等6種模型和文獻(xiàn)中的IABC-LSSVR模型、組合預(yù)測(cè)模型，具有較好的預(yù)測(cè)精度和泛化能力，表明LXWOA能有效優(yōu)化EPP模型的指數(shù)參數(shù)，LXWOA-EPP模型用于基坑變形預(yù)測(cè)是可行和有效的。

(3)本文嘗試?yán)肔XWOA-EPP模型進(jìn)行基坑變形預(yù)測(cè)，取得了較好的預(yù)測(cè)效果，模型及方法可為大壩變形等相關(guān)預(yù)測(cè)研究提供新的途徑和方法。