楊佼佼，徐國(guó)賓

(天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300354)

1 研究背景

弧形閘門作為水工建筑物中重要的組成部分，廣泛應(yīng)用于高水頭的擋水建筑物[1-3]。對(duì)于弧形閘門的振動(dòng)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從原型觀測(cè)、模型試驗(yàn)及數(shù)值模擬多方面進(jìn)行了探討[4-5]，但國(guó)內(nèi)外失事的閘門案例中，很多都是由于脈動(dòng)壓力研究的不夠深入所導(dǎo)致的。胡木生等[6]、李明[7]、溫承永等[8]、李小超等[9-10]已從原型觀測(cè)、數(shù)值模擬、數(shù)值模擬結(jié)合原型觀測(cè)實(shí)驗(yàn)以及模型試驗(yàn)對(duì)弧門脈動(dòng)壓力進(jìn)行分析等方面進(jìn)行了研究。但對(duì)其振動(dòng)的復(fù)雜程度沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)的、理論層面的分析研究。

混沌理論已在多種振動(dòng)研究中得到應(yīng)用，如楊弘[11]在二灘水電站水墊塘底板的振動(dòng)響應(yīng)研究中，分別計(jì)算了混沌特征值的盒維數(shù)與關(guān)聯(lián)維數(shù)，并發(fā)現(xiàn)其與水墊塘底板的振動(dòng)無(wú)明顯相關(guān)；羅貝爾[12]在研究高速水流與流激振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用了混沌理論，并得出實(shí)際工程混沌特性的分析。本文采用混沌理論，通過(guò)對(duì)弧形閘門面板模型試驗(yàn)的振動(dòng)時(shí)間序列進(jìn)行處理，分析混沌特征值，指出弧形閘門面板的振動(dòng)特性，分析了閘門振動(dòng)情況的復(fù)雜性，為實(shí)際工程中閘門在復(fù)雜工況時(shí)的正常運(yùn)行提供了理論支持。

2 相空間重構(gòu)與混沌特征值

為研究弧形閘門面板振動(dòng)的問(wèn)題，運(yùn)用混沌理論分析試驗(yàn)測(cè)得脈動(dòng)壓強(qiáng)時(shí)間序列，首先采用五點(diǎn)三次平滑法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理，然后進(jìn)行相空間重構(gòu)。通過(guò)重構(gòu)的相空間，推求表征混沌系統(tǒng)的特征值，判斷該時(shí)間序列是否具有混沌特征，并分析時(shí)間序列的復(fù)雜性[13-15]，進(jìn)而研究弧形閘門面板振動(dòng)的復(fù)雜性。

2.1 相空間重構(gòu)

本文采用具有良好抗噪能力的互信息法來(lái)確定時(shí)間延遲τ[17]，通過(guò)構(gòu)造平均互信息函數(shù)I(τ)：

(1)

繪出τ-I(τ)的圖像，I(τ)取第1個(gè)極小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的τ即為最佳延遲時(shí)間。

通過(guò)平均偽最近鄰域法——Cao方法來(lái)求嵌入維數(shù)，它對(duì)虛假鄰點(diǎn)法進(jìn)行了改進(jìn)，且對(duì)處理含有噪聲的時(shí)間序列具有極大的優(yōu)勢(shì)[17]。同時(shí)定義了E1(m)和E2(m)，E1(m)隨m的增大而增大并趨近于1，取E1(m)等于1且不再變化時(shí)的m值為最小的嵌入維數(shù)。對(duì)于混沌時(shí)間序列，存在m使E2(m)不恒為1。同時(shí)計(jì)算E1(m)、E2(m)來(lái)確定嵌入維數(shù)。

2.2 混沌系統(tǒng)的特征參數(shù)

2.2.1 飽和關(guān)聯(lián)維數(shù) 飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)是定量描述分形維數(shù)的數(shù)學(xué)量，它是從混沌吸引子中提取的一種維數(shù)，描述時(shí)間序列所代表的非線性動(dòng)力系統(tǒng)的混沌程度，系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)維數(shù)越大，復(fù)雜度越大。

在重構(gòu)相空間Yi={xi,xi+τ,…,xi+(m-1)τ}(i=1,2,…,(N-(m-1)τ);M=N-(m-1)τ)的基礎(chǔ)上，定義[16]：

(2)

有混沌特征的序列滿足C(r)∝αrD(r>0)，采用最小二乘法求lnr-lnC(r)圖像中明顯直線段的斜率即可得關(guān)聯(lián)維數(shù)D。

2.2.2 Lyapunov指數(shù) Lyapunov指數(shù)描述了相空間相鄰軌道的平均發(fā)散(λ>0)或平均收斂(λ<0)的性質(zhì)，若最大Lyapunov指數(shù)為正，可以判斷該非線性動(dòng)力系統(tǒng)具有發(fā)散特征，即為混沌系統(tǒng)，且其大小反映了系統(tǒng)的混沌程度。對(duì)含有一定噪聲影響的較小數(shù)據(jù)，求其最大Lyapunov指數(shù)λ1可采用小數(shù)據(jù)量法來(lái)計(jì)算[18]。重構(gòu)相空間后尋找每一相點(diǎn)的最近鄰點(diǎn)，其距離為:

(3)

(4)

對(duì)于每個(gè)j求出所有非零lndi(j)的均值：

(5)

式中：q為非零lndi(j)的個(gè)數(shù);ts為采樣周期。繪出j-Zj圖像，用最小二乘法進(jìn)行擬合，其斜率即為最大Lyapunov指數(shù)λ1。

3 弧形閘門面板振動(dòng)特性

3.1 弧形閘門模型試驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析

本文以大石峽弧形工作閘門模型試驗(yàn)為例，孔口尺寸(高×寬)為4.5 m×6 m，弧面半徑13 m，弧門面板厚30 mm，面板沿縱向布置為13根T形小橫梁，小橫梁腹板截面尺寸500 mm×20 mm，下翼板截面尺寸200 mm×30 mm。模型幾何比尺為1∶25，在閘門面板中線布置了6個(gè)脈動(dòng)壓力傳感器，采樣頻率為100 Hz，閘門水力學(xué)模型布置如圖1所示。模型用專門研制的水彈性模型材料，其模型材料的門葉結(jié)構(gòu)的剛度、重量及密度與原型一致為7 850 kg/m3，彈性模量為原型的1/25，即8 GPa。試驗(yàn)測(cè)試正常蓄水位1 700 m、校核洪水位1 701.3 m和汛期限制水位1 694 m時(shí)，在閘門4個(gè)開(kāi)度，即4、8、12、16 cm，分別對(duì)應(yīng)原型1、2、3、4 m開(kāi)度共12種工況下的閘門面板脈動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。試驗(yàn)測(cè)點(diǎn)布置如圖2所示。試驗(yàn)過(guò)程中取各水位各開(kāi)度下，每個(gè)測(cè)點(diǎn)60 s的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

圖2 弧門面板脈動(dòng)壓強(qiáng)觀測(cè)測(cè)點(diǎn)布置圖

圖1 弧形閘門面板水力學(xué)模型及測(cè)點(diǎn)布置

3.2 面板脈動(dòng)壓強(qiáng)數(shù)據(jù)相空間重構(gòu)

首先對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理，然后由平均互信息法計(jì)算各測(cè)點(diǎn)不同開(kāi)度時(shí)振動(dòng)的加速度時(shí)間序列的延遲時(shí)間τ，根據(jù)計(jì)算所得的延遲時(shí)間τ，用Cao方法計(jì)算嵌入維數(shù)m。如圖3為1 700 m水位下開(kāi)度為16 cm時(shí)1#測(cè)點(diǎn)的計(jì)算過(guò)程圖，其他各開(kāi)度下其他測(cè)點(diǎn)的計(jì)算過(guò)程與此類似，其中圖3(a)為τ與I(τ)關(guān)系曲線，圖3(b)為E1(m)、E2(m)的計(jì)算曲線。由圖3(b)可明顯看出，E2(m)不恒為1，滿足混沌條件可選取嵌入維數(shù)。表1所示為各測(cè)點(diǎn)計(jì)算所得的時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m。

圖3 正常蓄水位1 700m開(kāi)度為16 cm時(shí)1#測(cè)點(diǎn)脈動(dòng)壓強(qiáng)時(shí)間序列τ與m計(jì)算示意圖

表1 1#～6#測(cè)點(diǎn)脈動(dòng)壓強(qiáng)時(shí)間序列的τ與m表

3.3 關(guān)聯(lián)維數(shù)與Lyapunov指數(shù)

3.3.1 關(guān)聯(lián)維數(shù) 關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算要求由平均互信息法求得的τ，代入關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算中，并令m從2開(kāi)始由小到大依次取值至20，由公式(2)計(jì)算繪出典型測(cè)點(diǎn)典型相對(duì)開(kāi)度下lnr-lnC(r)的關(guān)系曲線，如圖4(a)所示，其他測(cè)點(diǎn)計(jì)算圖與此類似，對(duì)各條曲線明顯直線段由最小二乘法求其線性回歸斜率，其斜率與m值的關(guān)系如圖4(b)所示。表2為1#～6#測(cè)點(diǎn)各開(kāi)度與關(guān)聯(lián)維數(shù)取值對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖4 典型測(cè)點(diǎn)脈動(dòng)壓強(qiáng)時(shí)間序列關(guān)聯(lián)維數(shù)與m關(guān)系圖

由表2分析可得：(1)總體分析，面板靠近底緣位置(測(cè)點(diǎn)1處)的關(guān)聯(lián)維數(shù)較大，表明此處振動(dòng)的復(fù)雜程度較大，由于閘下出流且為淹沒(méi)出流的情況，會(huì)在閘后形成淹沒(méi)水躍，在閘門底緣處產(chǎn)生較大的脈動(dòng)壓力，從而造成面板靠近底緣位置的振動(dòng)情況較其他位置處更為復(fù)雜；(2)閘門面板大部分測(cè)點(diǎn)表現(xiàn)為：在小開(kāi)度時(shí)(4 cm)呈現(xiàn)出較小的關(guān)聯(lián)維數(shù)，即在閘門小開(kāi)度時(shí)，建模運(yùn)算過(guò)程中可通過(guò)較少的獨(dú)立控制變量來(lái)實(shí)現(xiàn)閘門的非線性運(yùn)算過(guò)程；(3)面板在4個(gè)開(kāi)度下，與水面靠近的位置即開(kāi)度12 cm時(shí)測(cè)點(diǎn)3位置、開(kāi)度8 cm時(shí)測(cè)點(diǎn)4位置、開(kāi)度4 cm時(shí)測(cè)點(diǎn)6位置關(guān)聯(lián)維數(shù)均較大，可以看出閘門面板在與水面接觸處振動(dòng)情況更為復(fù)雜，氣液固3項(xiàng)耦合處對(duì)閘門振動(dòng)的影響較臨近測(cè)點(diǎn)位置更大，可著重分析在靠近水面位置面板的受力變化。

表2 1#～6#測(cè)點(diǎn)各開(kāi)度的關(guān)聯(lián)維數(shù)

3.3.2 Lyapunov指數(shù) 在相空間重構(gòu)的基礎(chǔ)上，由已確定的延遲時(shí)間τ、嵌入維數(shù)m，通過(guò)公式(3)～(5)來(lái)計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)，圖5所示為數(shù)據(jù)分析得到的j-Zj圖像，對(duì)圖像的前半部分，即增函數(shù)部分采用最小二乘法進(jìn)行擬合，得到的斜率即為最大Lyapunov指數(shù)λ1。而之所以會(huì)出現(xiàn)后半段穩(wěn)定不變部分，是由于重構(gòu)相空間的混沌吸引子有界，λ1不會(huì)超過(guò)吸引子的界限。表3列出各測(cè)點(diǎn)的λ1值。

圖5 典型測(cè)點(diǎn)Zj與步長(zhǎng)j演化關(guān)系圖

由表3分析可以看出：(1)閘門在較高水位時(shí)(1 700、1 701.3 m)，開(kāi)度為8 cm處的λ1較其他開(kāi)度時(shí)更大，說(shuō)明其面板的振動(dòng)復(fù)雜程度也更大；(2)在1 701.3 m水位時(shí)，弧形閘門面板在開(kāi)度為4 cm時(shí)，除測(cè)點(diǎn)1外其他測(cè)點(diǎn)總體表現(xiàn)出的λ1值相對(duì)較低的兩個(gè)水位更大，分析可知在高水位小開(kāi)度時(shí)受到的水壓力更大，在淹沒(méi)出流的情況下由能量分析可知，在同樣下游水位情況下，流體的能量更多地傳遞給閘門，故而造成面板有較復(fù)雜的振動(dòng)情況；(3)測(cè)點(diǎn)1即最靠近閘門底緣位置處，在大開(kāi)度時(shí)的λ1更大，可以看出閘門底緣過(guò)流量越大，其閘門面板的振動(dòng)情況復(fù)雜程度越高。

表3 1#～6#測(cè)點(diǎn)各開(kāi)度最大Lyapunov指數(shù)λ1表

4 結(jié) 論

本文從混沌理論角度對(duì)弧形閘門面板的振動(dòng)情況進(jìn)行了研究，重點(diǎn)分析了其振動(dòng)復(fù)雜程度的問(wèn)題，并得出如下結(jié)論：

(1)由關(guān)聯(lián)維數(shù)與Lyapunov指數(shù)分析得出，弧門面板振動(dòng)復(fù)雜程度在大開(kāi)度高水位下表現(xiàn)為更復(fù)雜；在閘門底緣位置的振動(dòng)情況表現(xiàn)有更大的不可預(yù)測(cè)性，其復(fù)雜程度更高。

(2)弧形閘門小開(kāi)度時(shí)，在閘門面板建模運(yùn)算中的非線性振動(dòng)情況可由較少獨(dú)立變量進(jìn)行控制，變量選取方法可進(jìn)一步研究探討。

(3)根據(jù)本文的相空間重構(gòu)結(jié)果及Lyapunov指數(shù)的計(jì)算，為基于混沌理論進(jìn)行弧形閘門面板振動(dòng)情況的短期預(yù)測(cè)提供前提。