羅中華

(上海建橋?qū)W院機電學(xué)院，上海 201306)

工業(yè)機器人產(chǎn)業(yè)是中國智能制造領(lǐng)域的突破口和重要抓手，被譽為“制造業(yè)皇冠頂端的明珠”，其研發(fā)、制造、應(yīng)用是衡量一個國家高端制造業(yè)水平和科技創(chuàng)新能力的重要標志[1-2]。移動機器人是機器人的一種類型，由計算機控制，具有移動、自動導(dǎo)航、多傳感器控制、網(wǎng)絡(luò)交互功能等。按運動方式的不同，移動機器人可分為輪式、履帶式和足式機器人等，相比于輪式和履帶式機器人，足式機器人對復(fù)雜地形和非結(jié)構(gòu)化環(huán)境具有更強的適應(yīng)性[3-4]。移動機器人廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，在食品領(lǐng)域的應(yīng)用包括食品加工、包裝、分揀及碼垛。在食品領(lǐng)域機器人中，應(yīng)用多連桿機構(gòu)和凸輪機構(gòu)比較多[5-7]。隨著美國波士頓動力公司設(shè)計、制造的系列足式移動機器人的大規(guī)模應(yīng)用，可移動式機器人的發(fā)展已進入了新時期。其應(yīng)用范圍拓展到了軍事、災(zāi)害救援、地質(zhì)勘探、核事故搶險、生活服務(wù)等領(lǐng)域[8-9]。

多連桿機構(gòu)廣泛地應(yīng)用于移動機器人腿部機構(gòu)，目前已有單腿、雙腿、4腿、6腿和8腿足式機器人[10]。腿部運動機構(gòu)是機器人實現(xiàn)預(yù)定動作及軌跡的關(guān)鍵部件之一[11]，有較多學(xué)者[12-14]對腿部運動機構(gòu)的尺寸參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計。但現(xiàn)有移動機器人腿部多連桿機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計研究不夠完善，主要體現(xiàn)為優(yōu)化設(shè)計的目標函數(shù)不夠準確、約束條件不完整等，導(dǎo)致現(xiàn)有優(yōu)化的多連桿機器人腿部機構(gòu)足端的實際軌跡曲線與理想軌跡曲線誤差較大。

章永年等[13]對二自由度七連桿(文中稱五連桿機構(gòu)，實際為七連桿機構(gòu))機器人腿部機構(gòu)進行了研究，優(yōu)化設(shè)計的目標函數(shù)是關(guān)節(jié)電機力矩性能、節(jié)電機速度性能、電機的總能耗、五桿總長最小；試驗僅選取了3個機構(gòu)參數(shù)作為設(shè)計變量、10個約束條件，根據(jù)此約束條件不能保證機器人腿部足端點實現(xiàn)預(yù)先給定的理想軌跡曲線。由于沒有給出驅(qū)動擺桿的擺動角度范圍以及如何擺動，無法驗證試驗機器人腿部足端點的實際軌跡曲線。

為了使機器人腿部足端的實際軌跡曲線與預(yù)先給定理想軌跡曲線盡量重合，試驗擬對章永年等[13]研究的二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計進行了適當改進。增加兩個機構(gòu)角度尺寸參數(shù)；設(shè)計變量選用全部機構(gòu)參數(shù)以及驅(qū)動曲柄ED與x軸的初始夾角αs、驅(qū)動搖桿AF與x軸的初始夾角βs和搖桿AF旋轉(zhuǎn)角度δ等16個參數(shù)；目標函數(shù)是使足端相對實際軌跡曲線上k個點(優(yōu)化數(shù)例k=72)到足端相對理想軌跡曲線的最小距離的代數(shù)和最??；建立包含幾何約束、性能約束和變量的上、下限約束等42個約束條件。以橢圓曲線作為機器人腿部足端相對理想軌跡曲線、驅(qū)動搖桿的來回擺動采用STEP運動函數(shù)，對二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計。利用優(yōu)化的七連桿機器人腿部機構(gòu)，設(shè)計了6足仿真機器人，并采用UG軟件對優(yōu)化的七連桿機器人腿部機構(gòu)和6足仿真機器人進行運動仿真。旨在為了驗證七連桿機器人腿部機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的正確性和應(yīng)用于6足機器人的可行性。

1 運動公式

七連桿機器人腿部機構(gòu)如圖1所示[13]。七連桿機器人腿部機構(gòu)活動構(gòu)件數(shù)n=6、低副數(shù)PL=8、高副數(shù)PH=0，機構(gòu)的自由度為2。驅(qū)動曲柄為桿DE、驅(qū)動搖桿為桿AF。為了便于后面機構(gòu)優(yōu)化，坐標原點未放在鉸鏈點上。七連桿機構(gòu)尺寸參數(shù)包括機構(gòu)的桿長參數(shù)l1、l2、…、l7，鉸鏈點A、E的坐標分別為(xA,yA)，(xE,yE)，構(gòu)件的角度參數(shù)θ和φ，以及驅(qū)動曲柄ED與x軸的初始夾角αs、驅(qū)動搖桿AF與x軸的初始夾角βs和搖桿AF旋轉(zhuǎn)角度δ。

圖1 七連桿機器人腿部機構(gòu)圖

設(shè)曲柄DE從初始角θ逆時針旋轉(zhuǎn)α(逆時針方向為正，下同)，則D點坐標為：

(1)

設(shè)搖桿AF與x軸的夾角為β(β∈[βS,βS+δ])，則F點坐標為：

(2)

B點坐標為：

(3)

設(shè)搖桿DB與x軸的夾角為φ，則有：

(4)

設(shè)搖桿DC與x軸的夾角為φ1，則有：

(5)

其中，

C點坐標為：

(6)

H點坐標為：

(7)

設(shè)搖桿FH與x軸的夾角為φ2，則有：

(8)

設(shè)搖桿FG與x軸的夾角為φ3，則有：

(9)

G點坐標為：

(10)

設(shè)搖桿HG與x軸的夾角為φ4，則有：

(11)

I點坐標為：

(12)

2 機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

2.1 足端理想軌跡曲線

現(xiàn)有文獻[4,14-15]常見的機器人足端理想軌跡曲線有矩形曲線、橢圓、拋物線、擺線(修正擺線)、心形線、組合線段等。這些足端理想軌跡曲線中，有封閉曲線和非封閉曲線兩種。機器人腿部按足端是否與地面有相對運動分為擺動相和支撐相。支撐相的腿部足端相對于地面是靜止不動的，而支撐相腿部機構(gòu)的其他部位是運動的，從而推動機器人機身向前運動。同時，擺動相的腿足端的絕對運動是機器人機身的牽連運動和足端相對于機器人機身的相對運動的合成運動。按機身是否運動，將機器人腿部足端軌跡曲線分為相對軌跡曲線和實際軌跡曲線。當驅(qū)動曲柄旋轉(zhuǎn)一周，足端相對軌跡曲線一定是一條封閉的曲線，足端實際軌跡曲線一定是一條非封閉的曲線。因此，機器人腿部機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計時，足端理想軌跡曲線應(yīng)分為相對理想軌跡曲線和實際理想軌跡曲線，足端實際軌跡曲線應(yīng)分為相對實際軌跡曲線和實際軌跡曲線。

在機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計時，很難求得機器人機身的牽連運動和腿部足端的實際軌跡，因此，對機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計時，足端理想軌跡曲線選用相對理想軌跡曲線。定義機器人左右兩邊、前后同一位置的兩條腿分別為A腿和B腿。當足端相對理想軌跡曲線為橢圓曲線時，并假設(shè)上半個橢圓曲線和下半個橢圓曲線準確地分別為擺動相和支撐相，圖2為機器人腿部機構(gòu)足端的實際理想軌跡曲線。理論上，跨障高度為橢圓短半軸的2倍，機器人單步步長為橢圓長半軸的4倍。但實際上，因為連桿機構(gòu)基本上不能準確地使上半個橢圓曲線和下半個橢圓曲線分別為擺動相和支撐相，實際步長與理論步長存在一定誤差。

雙點畫線的橢圓曲線為足端的相對理想軌跡曲線；B點為B腿的立足點，實線為A腿足端的實際理想軌跡；A點為A腿立足點，虛線為B腿足端的實際理想軌跡曲線

2.2 優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

2.2.1 設(shè)計變數(shù) 選取二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)全部16個參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計變數(shù)，即

X=(x1,x2,…,x16)T=(l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,xA,yA,xE,yE,θ,φ,αs,βs,δ)T。

(13)

2.2.2 目標函數(shù) 二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計的目標是使足端相對實際軌跡曲線盡量與足端相對理想軌跡曲線重合。選用足端相對實際軌跡曲線上k個點到相對理想軌跡曲線的最小距離的代數(shù)和最小作為七連桿機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的目標函數(shù)[16]，即

(14)

式中：

di——足端相對實際軌跡上的第i個點到足端相對理想軌跡曲線的最小距離。

2.2.3 約束條件 機構(gòu)應(yīng)滿足幾何約束條件和傳動角約束條件。根據(jù)七連桿機器人腿部機構(gòu)尺寸參數(shù)，建立二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)的約束條件為：

lBDmax≤x3+x4，x3≤lBDmin+x4，x4≤lBDmin+x3；

lFHmax≤x2+x6，x2≤lFHmin+x6，x6≤lFHmin+x2；

(15)

式中：

lBDmin、lBDmax——點B與D之間的最小和最大距離；

lFHmin、lFHmax——點F與H之間的最小和最大距離；

γmin——機構(gòu)的最小傳動角。

設(shè)各變量下限值ximin和上限值ximax，變量下限和上限約束條件為：

ximin≤xi≤ximax(i=1,2,…,16)。

(16)

綜上，二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計為16個設(shè)計變量、42個約束條件的約束優(yōu)化設(shè)計問題。二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的標準形式為：

(17)

2.3 遺傳算法

遺傳算法(GA)是美國Michigan大學(xué)John Holland教授1975年首先提出、基于1858年達爾文的自然選擇原理、自然遺傳機制、優(yōu)勝劣汰和適者生存的生物遺傳和進化的規(guī)律而形成的一種隨機搜索優(yōu)化算法。該算法的主要步驟[17]：

① 隨機產(chǎn)生一組初始個體構(gòu)成初始群體；

② 計算群體中個體的適應(yīng)度；

③ 判斷算法收斂準則是否滿足，若滿足則輸出搜索結(jié)果并停止運算，否則轉(zhuǎn)下一步；

④ 選擇運算，按優(yōu)勝劣汰執(zhí)行復(fù)制操作；

⑤ 交叉運算，按一定的方式進行交叉操作；

⑥ 變異運算，按一定的規(guī)律執(zhí)行變異操作；

⑦ 轉(zhuǎn)步驟②。

2.4 數(shù)例

取足端相對理想軌跡曲線為長半軸100 mm、短半軸40 mm的橢圓曲線，橢圓的中心為坐標原點。機構(gòu)的最小傳動角γmin=30°，各變量下限和上限取值約束為：30 mm≤l1≤50 mm、20 mm≤l2≤40 mm、30 mm≤l3≤90 mm、120 mm≤l4≤220 mm、15 mm≤l5≤60 mm、100 mm≤l6≤160 mm、140 mm≤l7≤180 mm、10 mm≤xA≤35 mm、220 mm≤yA≤400 mm、10 mm≤xE≤25 mm、200 mm≤yE≤380 mm、120°≤θ≤250°、100°≤φ≤180°、0°≤αS≤360°、210°≤βS≤270°、20°≤δ≤70°，相對實際軌跡上取k=72個點。驅(qū)動曲柄采用勻速轉(zhuǎn)動，即ω=-180°/s，經(jīng)驅(qū)動搖桿分別采用勻速往復(fù)擺動和STEP運動函數(shù)往復(fù)運動對機構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，發(fā)現(xiàn)STEP運動函數(shù)往復(fù)運動優(yōu)化設(shè)計效果好，故驅(qū)動搖桿采用STEP運動函數(shù)[18]，即STEP(time, 0, 0, 1,δ)+STEP(time, 1, 0, 2, -δ)。選用遺傳算法作為優(yōu)化方法，編寫二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計程序。用編寫的優(yōu)化設(shè)計程序求得的七連桿機器人腿部機構(gòu)的最優(yōu)解為l1=44.654 mm、l2=38.360 mm、l3=84.848 mm、l4=120.005 mm、l5=44.498 mm、l6=119.231 mm、l7=150.672 mm、xA=10.328 mm、yA=296.586 mm、xE=19.729 mm、yE=355.336 mm、θ=193.475°、φ=134.729°、αs=118.259°、βs=210.128°，δ=42.5304°，f(X*)=29.061 9 mm。優(yōu)化的七連桿機器人腿部機構(gòu)運動仿真如圖3所示。驅(qū)動曲柄每1°為一個等分點進行仿真，足端最大、最小的x坐標分別為100.035 mm和-100.036 mm，足端最大、最小的y坐標分別為40.005 mm和-40.009 mm，與理想的橢圓的長、短軸半徑的最大相對誤差僅為0.036%。足端的實際軌跡平均每點與理想橢圓軌跡曲線的絕對誤差約為0.40 mm，最大誤差的點的絕對誤差約為1.45 mm。從圖3可以看出，優(yōu)化的七連桿機器人腿部機構(gòu)足端相對實際軌跡曲線幾乎完全與相對理想軌跡曲線重合。因此，文中七連桿機器人腿部機構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果是十分理想的。

設(shè)A腿和B腿的七連桿機構(gòu)曲柄相位角相差180°，當A腿和B腿的兩足端的y坐標相等時，兩腿的兩足端與地面接觸，隨后一腿為支撐相，另一腿為擺動相。根據(jù)A腿和B腿足端的仿真數(shù)據(jù)，采用Excel繪制優(yōu)化的七連桿機器人腿部機構(gòu)兩腿足端的實際軌跡曲線如圖4所示。由圖4可知，機器人實際步長約為393.9 mm，跨障高度約為80 mm。步長略小于400 mm的主要原因是兩腿足端的y坐標相等時，y不為零(y=6.023 mm)所致。即足端支撐相和擺動相，機構(gòu)的曲柄不是各轉(zhuǎn)180°所致。

橢圓曲線為相對理想軌跡曲線、用雙點畫線表示，符號“+” 為機器人腿部足端相對實際軌跡點

實線為A腿足端的實際軌跡曲線，虛線為B腿足端的實際軌跡曲線

3 6足仿真機器人設(shè)計

以優(yōu)化的二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)尺寸參數(shù)為依據(jù)，設(shè)計了6足仿真機器人。文中所謂仿真機器人是指只考慮運動分析正確性的機器人，而不考慮具體機構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計和提供驅(qū)動的動力裝置。6足仿真機器人如圖5所示，其3條腿為一組。將3條腿固定于下機身固定板，如圖5(a)所示，另3條腿固定于上機身固定板，如圖5(b)所示。上、下機身固定板用轉(zhuǎn)動副連接，使機器人具有轉(zhuǎn)彎的功能，完整的6足仿真機器人如圖5(c)所示。

圖5 6足仿真機器人

當一組3條腿為擺動相時，上、下機身固定板之間的轉(zhuǎn)動副相對轉(zhuǎn)動，使擺動相3條腿的固定板向左或向右轉(zhuǎn)過一定的角度；當擺動相3條腿變?yōu)橹蜗鄷r，轉(zhuǎn)動副再相對轉(zhuǎn)動，從而實現(xiàn)6足機器人轉(zhuǎn)彎功能。

A腿和B腿七連桿機器人腿部機構(gòu)曲柄相位角相差180°，由圖6可知，一組腿完成一個單步步長約400 mm，另一組腿完成一個單步步長約400 mm，與優(yōu)化設(shè)計的單步步長非常吻合，說明6足仿真機器人運動仿真結(jié)果可靠。

數(shù)字0，400，800表示地板位置尺寸，單位：mm

4 結(jié)論

推導(dǎo)了二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)運動分析計算公式，并建立了二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型；以橢圓曲線作為相對理想軌跡曲線，對具體的二自由度七連桿機器人腿部機構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計。優(yōu)化的七連桿機器人腿部機構(gòu)足端相對實際軌跡曲線幾乎與相對理想軌跡曲線完全重合，優(yōu)化結(jié)果十分理想，能較準確地實現(xiàn)機器人預(yù)定的步長和跨高。試驗機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計追求的是使足端相對實際軌跡與相對理想軌跡盡量重合，而足端實際軌跡與實際理想軌跡盡量重合有待進一步研究。此外，調(diào)整兩組腿部機構(gòu)的曲柄不是相差180°，而是使整個機器人的足端支撐相和擺動相曲柄各轉(zhuǎn)180°，從而消除用足端相對實際軌跡與相對理想軌跡盡量接近作為目標函數(shù)所引起的誤差。