李 華

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院，西安 710077)

0 引言

高等數(shù)學(xué)作為高校理工類(lèi)本科教學(xué)的基礎(chǔ)課程，其理論和實(shí)踐方面的教學(xué)改革頗受關(guān)注。高等數(shù)學(xué)課程傳統(tǒng)的教學(xué)方式是“灌輸式”，學(xué)生模仿解題思路做題但缺乏創(chuàng)新性的解題方法，數(shù)學(xué)知識(shí)的本源和應(yīng)用被掩蓋。近幾年，隨著高校教育教學(xué)改革的不斷深化，案例式教學(xué)、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)、MOOC、翻轉(zhuǎn)課堂等新的教學(xué)模式相繼出現(xiàn)，改革的目標(biāo)是從以“教”為主向以“學(xué)”為主轉(zhuǎn)變，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力以及自主學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力。熊文俊[1]采用了問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式，有效調(diào)動(dòng)了學(xué)生積極性，讓學(xué)生更好的參與到教學(xué)過(guò)程中，是一種探究式教學(xué)。夏紅[2]等人借助MOOC對(duì)微積分的教學(xué)模式進(jìn)行探究，采用復(fù)合式教學(xué)，將網(wǎng)絡(luò)教學(xué)模式與課堂相結(jié)合。張衛(wèi)國(guó)[3]等人采用帶有對(duì)問(wèn)題探討因素的啟發(fā)式教學(xué)，并結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)建模課程，構(gòu)建了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的課程體系。

李大潛教授指出，數(shù)學(xué)上的不少概念、方法或理論，有些本身就來(lái)自其在現(xiàn)實(shí)生活中的原型[4]。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)存在一些問(wèn)題，如實(shí)驗(yàn)素材拘泥于教材，與學(xué)生的具體專業(yè)、研究問(wèn)題和生活不夠緊密[5]?；诖耍疚脑谶x取實(shí)踐課題時(shí)，一方面遵循課本，是對(duì)課本的概念、定理、方法的驗(yàn)證和具體操作；一方面選取學(xué)生感興趣的生活實(shí)例，是對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的具體應(yīng)用，能夠使學(xué)生直觀感受微積分的概念和應(yīng)用方法。

1 實(shí)踐課題的設(shè)計(jì)思路與方法

高等數(shù)學(xué)課程實(shí)踐課題的設(shè)計(jì)是根據(jù)高等數(shù)學(xué)課程的知識(shí)體系，遵循微積分教學(xué)四原則(圖像、數(shù)值、代數(shù)、自然語(yǔ)言)來(lái)設(shè)計(jì)小課題和實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的定義定理有直觀深入的理解，并了解其簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

課題按照不同的實(shí)驗(yàn)?zāi)康姆譃轵?yàn)證型、應(yīng)用型和探索型實(shí)驗(yàn)[6]，實(shí)驗(yàn)預(yù)先明確實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)和使用的程序。對(duì)于驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)，設(shè)置在相應(yīng)章節(jié)講授之前完成，要求學(xué)生有目的地預(yù)習(xí)，并了解知識(shí)的背景和應(yīng)用。對(duì)于應(yīng)用型實(shí)驗(yàn)，設(shè)置在章節(jié)內(nèi)容講授之后，是對(duì)本章知識(shí)的凝練和提取，具有較強(qiáng)的綜合性，且是學(xué)生熟識(shí)或感興趣的問(wèn)題，是對(duì)所學(xué)知識(shí)的使用和實(shí)現(xiàn)。對(duì)于探索型實(shí)驗(yàn)，題目設(shè)置較靈活，可由學(xué)生自己尋找和設(shè)計(jì)，注重實(shí)驗(yàn)實(shí)施的過(guò)程和方法，不以實(shí)驗(yàn)結(jié)果為唯一的考查目標(biāo)。

2 課題的分類(lèi)和示例

2.1 驗(yàn)證型課題

對(duì)高等數(shù)學(xué)中抽象的定義定理，通過(guò)數(shù)值計(jì)算及繪制圖形的方式，使其具體化、形象化，讓學(xué)生了解其來(lái)源和應(yīng)用，并對(duì)數(shù)學(xué)有直觀的認(rèn)識(shí)。

實(shí)驗(yàn)例1[7]，利用麥克勞林公式，用冪函數(shù)近似表示指數(shù)函數(shù)ex，ex的麥克勞林公式：

取n=1，2，3，4，5

n=1ex≈1+x

冪函數(shù)近似指數(shù)函數(shù)的圖形見(jiàn)圖1所示。從圖形上看，隨著次數(shù)n的增大，一方面冪函數(shù)的表達(dá)式越發(fā)復(fù)雜，一方面冪函數(shù)越逼近于ex，在實(shí)際應(yīng)用中，n需要適當(dāng)選擇。從圖1顯示的冪函數(shù)次數(shù)的變化過(guò)程，可以使學(xué)生直觀地感受麥克勞林公式的作用，體會(huì)用冪函數(shù)近似指數(shù)函數(shù)表示復(fù)雜函數(shù)的過(guò)程，體會(huì)微積分中“近似”的思想。

圖1 冪函數(shù)近似指數(shù)函數(shù)的圖形

實(shí)驗(yàn)例2[7]，傅里葉級(jí)數(shù)近似矩形波。將矩形波的波形函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，選取不同階數(shù)的部分和函數(shù)并繪制其圖像，揭示傅里葉級(jí)數(shù)近似矩陣波的過(guò)程，使傅里葉級(jí)數(shù)的產(chǎn)生背景和應(yīng)用實(shí)例具體化，使傅里葉級(jí)數(shù)的概念更加直觀清晰。矩形波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式：

用MATLAB分別繪出傅里葉級(jí)數(shù)前1,2,3,5項(xiàng)部分和的圖形，并與矩形波圖形作比較。如圖2所示。

圖2 傅里葉級(jí)數(shù)前1,2,3,5項(xiàng)部分和的圖形

從圖2可知，矩形波是由一系列不同頻率的正弦波疊加而成的。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生理解傅里葉級(jí)數(shù)的作用和級(jí)數(shù)產(chǎn)生的背景，進(jìn)一步探究級(jí)數(shù)在本專業(yè)和現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用。

2.2 應(yīng)用型課題

選取學(xué)生熟識(shí)的且與生活息息相關(guān)的問(wèn)題作為小課題，該課題是高等數(shù)學(xué)課程的運(yùn)用的過(guò)程，能將所涉及知識(shí)的應(yīng)用背景及本質(zhì)呈現(xiàn)出來(lái)。

實(shí)驗(yàn)例3，選取碗作為實(shí)物并計(jì)算其體積和表面積。建立空間直角系，在坐標(biāo)系下測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，建立曲面方程，運(yùn)用三重積分計(jì)算體積，運(yùn)用第一類(lèi)曲面積分計(jì)算表面積，如圖3所示。該課題在完成過(guò)程中，需將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)連接起來(lái)，具有較強(qiáng)的綜合性，達(dá)到應(yīng)用知識(shí)和解決問(wèn)題的目的。

圖3 碗的旋轉(zhuǎn)拋物面

建立空間直角坐標(biāo)系，建立旋轉(zhuǎn)拋物面的方程

利用第一類(lèi)曲面積分求表面積：

計(jì)算結(jié)果：碗的體積約為538.78cm3，表面積約為344.2195cm2。

實(shí)驗(yàn)例4，計(jì)算一片品客薯片面積的大小。該薯片具有不易破碎的特點(diǎn)，究其原因是其形狀為雙曲拋物面，即馬鞍面，如圖4、圖5所示。

圖4 馬鞍面

圖5 馬鞍面在XOY上的投影區(qū)域

建立馬鞍面的方程為：

利用第一類(lèi)曲面積分求表面積：

投影區(qū)域面積為：

S=20.452cm2

計(jì)算結(jié)果：一片品客薯片的面積約為48.256cm2，該曲面的面積約為其投影區(qū)域平面的面積的2倍。

課題設(shè)計(jì)過(guò)程中，當(dāng)計(jì)算或畫(huà)圖難度較高時(shí)，可以給出相關(guān)程序代碼，數(shù)學(xué)軟件在小課題中只作為工具和輔助手段，不作為實(shí)驗(yàn)的考查點(diǎn)和目的。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)，建立了空間直角坐標(biāo)系及空間曲面方程，并將重積分和曲面積分的計(jì)算應(yīng)用到曲面方程中。通過(guò)實(shí)例，將多元積分學(xué)的知識(shí)貫穿起來(lái)，具有較強(qiáng)的綜合性和應(yīng)用型，使重積分的背景和應(yīng)用具體化，起到了“邊學(xué)邊用”的作用。

3 探索型實(shí)驗(yàn)

根據(jù)學(xué)生常見(jiàn)且關(guān)心的問(wèn)題來(lái)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生能夠應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)，探索性地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題。

實(shí)驗(yàn)例5，等額本金和等額本息兩種還款方式。通過(guò)比較兩種還款方式的月還款額，探究?jī)煞N還款方式的優(yōu)劣和試用的人群。

設(shè)貸款金額為m元，貸款年限為n年(共計(jì)12n月)，年利率為x，每月歸還利息為at元。

(1)等額本金與等額本息的月還款額：

第t個(gè)月的還款額為b+αt，

(2)等額本金與等額利息前六個(gè)月每月利息的比較，設(shè)m=100000元，n=5年，年利率為6 %，如表1、表2所示。

表1 等額本金

表2 等額本息

(3)等額本金與等額本息的前五年月還款額的比較，如圖6所示。

等額本息月還款額為 1933.28元。

圖6 前五年月還款額散點(diǎn)圖

(4)實(shí)驗(yàn)小結(jié)

等額本金還款方式為月還款額，并且隨著月份的增加而增長(zhǎng)。前半段時(shí)期利息較高，每月還款額相對(duì)較多；后半段時(shí)期利息逐月減少，還款額越來(lái)越少，適合有一定經(jīng)濟(jì)能力的貸款人。約在第28個(gè)月時(shí)，等額本金和等額本息的月還款額相等。

4 結(jié)語(yǔ)

近幾年出現(xiàn)了多種新型教學(xué)形式，如混合式教學(xué)、翻轉(zhuǎn)課堂、MOCC、在線教育[8]等，其目的就是改革傳統(tǒng)的教學(xué)模式，從以老師“教”為主體向以學(xué)生“學(xué)”為主體轉(zhuǎn)變。本文研究了高等數(shù)學(xué)課程實(shí)踐課題的設(shè)計(jì)，將小課題和實(shí)驗(yàn)穿插在教學(xué)過(guò)程中，或作為學(xué)生預(yù)習(xí)的導(dǎo)入，或作為學(xué)生知識(shí)的總結(jié)與提煉，讓“學(xué)生邊學(xué)邊用”。通過(guò)對(duì)小課題的分析研究，讓學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的概念、定理有直觀的感性認(rèn)識(shí)。通過(guò)“用”數(shù)學(xué)，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思維和學(xué)習(xí)方法有更深入的理解，點(diǎn)燃其數(shù)學(xué)思維的火花[9]，培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。