邵朋院，董彥非，李繼廣，屈高敏

(西安航空學院 飛行器學院，西安 710077)

0 引言

折疊翼仿生變形無人機可以像鳥類一樣根據(jù)不同的任務需求來改變機翼形狀[1]，例如在巡航飛行和機動飛行時采用不同的機翼形狀。該優(yōu)點使得折疊翼仿生變形無人機成為近年來的無人機領域研究熱點[2-4]。

然而，在航空工業(yè)界至今仍然沒有出現(xiàn)實用的折疊翼仿生變形無人機。究其原因主要是折疊翼仿生變形無人機在機翼變形過程中帶來的非線性、非定常氣動力以及參數(shù)變化和不確定性，這些都對建模和控制帶來極大挑戰(zhàn)[5]。在折疊翼仿生變形無人機變形過程控制中，當前多數(shù)采用基于固定構型的簡化方法[4]，該方法忽略了變形過程瞬時動態(tài)(文中也稱為暫態(tài))對于飛機動力學的影響，實際上，暫態(tài)會對變形過程的穩(wěn)定性造成不利影響[6]。研究人員可以通過線性變參數(shù)(LPV)系統(tǒng)進行暫態(tài)建模[7]，當前廣泛采用的基于LTI系統(tǒng)的建模和控制方法很容易推廣到LPV系統(tǒng)，所以基于LPV系統(tǒng)的控制方法成為折疊翼仿生變形無人機暫態(tài)控制中的研究熱點[8-10]。但是，這些方法多是基于H∞的魯棒控制方法，通過在變參數(shù)范圍內進行網(wǎng)格劃分可以從理論上保證在網(wǎng)格點處系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，然而無法保證整個變參數(shù)范圍特別是非網(wǎng)格點處的魯棒性和穩(wěn)定性[11]。

模型預測控制(MPC)方法[12]通過在每一個控制步長內更新模型，來對系統(tǒng)的未來響應進行預測，而LPV建模方法可以通過變參數(shù)的實測值來對模型進行更新，所以MPC方法十分適合于進行LPV系統(tǒng)的控制。但是在當前LPV-MPC方法研究中，經(jīng)常使用多胞形(polytopic) LPV模型[13-14]，多胞形LPV系統(tǒng)是通過多個頂點LTI系統(tǒng)的線性組合來近似表示LPV系統(tǒng)，通過針對頂點的LTI控制器線性組合來形成LPV控制器，所以該方法可以直接沿用LTI控制器設計方法，但是，通過以往研究[15]表明多胞形LPV系統(tǒng)無法準確表達折疊翼仿生變形無人機的系統(tǒng)模型。

在本文中，使用多項式參數(shù)依賴形式建立折疊翼仿生變形無人機的LPV系統(tǒng)模型，該模型不具有多胞形形式，文中給出了LPV系統(tǒng)的MPC控制設計方法，通過和非支配排序的遺傳算法NSGA-II-PID的對比仿真，驗證了LPV-MPC方法的有效性。

1 折疊翼仿生變形無人機的LPV系統(tǒng)建模

1.1 折疊翼仿生變形無人機的非線性模型

本文中研究的折疊翼仿生變形無人機樣機圖片如圖1所示。折疊翼仿生變形無人機的外段機翼保持水平，而內段機翼可以繞著關節(jié)從0 deg(圖1(a))到120 deg(圖1(b))連續(xù)變形。折疊翼仿生變形無人機設計用來實現(xiàn)偵察和打擊一體化(察打一體)功能。機翼展開構型可以低速巡航進行偵察，而折疊構型具有高速機動飛行能力，適合于進行發(fā)現(xiàn)目標后的打擊和快速逃逸。

(a)機翼展開構型 (b)機翼折疊構型

折疊翼仿生變形無人機典型任務剖面如圖2所示。任務開始為長機翼巡航構型，一旦偵察到目標，則開始折疊，并俯沖打擊。在俯沖過程中，折疊翼仿生變形無人機俯仰角指令為-30 deg，折疊完成后進行高速平飛打擊，打擊完成后迅速展開機翼爬升逃逸，在爬升過程中，折疊翼仿生變形無人機俯仰角指令為-30 deg。所以，本文的研究關注于折疊翼仿生變形無人機變形過程的縱向動力學與控制。

圖2 折疊翼仿生變形無人機典型任務剖面

折疊翼仿生變形無人機的縱向非線性動力學數(shù)學模型如式(1)所示：

其中，u和w分別表示沿機體OX 和 OZ 軸的速度；q和Q分別表示俯仰角速率和俯仰角；Iyy是繞機體OY 軸的轉動慣量；m表示飛機質量；g表示當?shù)刂亓铀俣龋籑是俯仰力矩；Fx和Fz分是除重力之外沿機體OX 和 OZ 軸的合外力，可以表示如下式：

其中，T、L和D分別表示發(fā)動機推力、升力和阻力；a是迎角。

假設發(fā)動機推力線沿著OX 軸，則上述變量可以寫成：

氣動系數(shù)CL、CD和Cm可以由CFD計算得到的氣動數(shù)據(jù)庫插值得到。記氣動數(shù)據(jù)插值函數(shù)關系為：

C*=f*(v1，v2，…) (4)

其中，*表示氣動力和力矩的項，如式(3)中的T、L、D和M等；f表示非線性映射函數(shù)；v1，v2，…是氣動系數(shù)查表的列索引，例如，基本俯仰力矩系數(shù)可以寫成Cm0=fm0(α，θr)，θr是折疊翼仿生變形無人機的機翼折疊角。因此，式(1) 實際上是一個非線性參數(shù)變化系統(tǒng)。

1.2 折疊翼仿生變形無人機的LPV系統(tǒng)建模

式(1)中的非線性模型可以表示成如下的非線性參數(shù)變化系統(tǒng)：

其中，x∈Rnx是系統(tǒng)狀態(tài)，y∈Rny是系統(tǒng)的被控輸出，u∈Rnu是控制輸入，ρ∈Θ?Rnρ表示變參數(shù)集合。

圖3 折疊翼仿生變形無人機飛行包線數(shù)據(jù)

折疊翼仿生變形無人機飛行包線數(shù)據(jù)如圖3所示。本文采用文獻[8]中的改進函數(shù)替換法建立折疊翼仿生變形無人機的LPV系統(tǒng)模型，其中，變參數(shù)θr和Va取圖3中網(wǎng)格點處的值，迎角a取網(wǎng)格處的配平迎角值。由于本文主要研究MPC控制方法，LPV系統(tǒng)建模步驟及結果請參考文獻[8]。

2 基于LPV系統(tǒng)的MPC控制

2.1 LPV系統(tǒng)的MPC控制

將式(6)所示的LPV系統(tǒng)進行離散化，得到如下狀態(tài)空間：

設預測步數(shù)為p，記參考軌跡為：

控制步數(shù)為m，控制量的增量序列為：

系統(tǒng)輸出可以根據(jù)系統(tǒng)的LPV模型(7)獲得，記為：

則MPC的控制目標函數(shù)為：

J(x(k),ΔU(k))=‖Γy(Yp,c(k+1|k)-R(k+1))‖2+‖ΓuΔU(k)‖2(11)

其中，Γy=diag{Γy,1,Γy,2,...,Γy,p}為跟蹤誤差的加權矩陣，Γu=diag{Γu,1,Γu,2,...,Γu,m}為控制代價的加權矩陣。

則MPC控制問題可以描述成如下優(yōu)化問題：

對于LPV系統(tǒng)的MPC控制，文獻[16]提出了一種基于線性矩陣不等式LMI(Linear Matrix Inequality，LMI)的MPC控制方法，在該方法中，通過在網(wǎng)格點處求解LMI來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過求解二次規(guī)劃(QP)優(yōu)化問題來進行狀態(tài)預測。雖然QP問題可以通過有效的數(shù)學方法進行在線求解，但是在線求解LMI是不現(xiàn)實的，特別是對于網(wǎng)格化劃分的LPV系統(tǒng)需要求解LMI組。

如果能將式(12)轉化成為如下的QP問題，

s.t.Cz≥b(15)

則可以在線使用內點法[17]進行求解。

本文給出一種將式(12)轉化為式(13)形式的方法，其步驟如下：

(1)將式(12)轉化為式(13)

定義零輸入控制誤差變量為：

為簡明起見，后文中將式(16)記為E。

將式(7)帶入，則式(12)可以寫成：

所以式(17)可以寫成，

其中，

式(18)具有和式(14)一樣的形式。

(2)將式(13)轉化為式(15)

使用增量方式表示控制輸入，則有：

u(k+1)=u(k-1)+Δu(k)+Δu(k+1) (20)

則，

u(k+1)≤umax(k+1)?-(Δu(k)+Δu(k+1))≥u(k-1)-umax(k+1) (21)

對于i=0，1，2，…，m-1，有

式(22)寫成矩陣形式：

其中，

則式(23)具有和式(15)一致的形式，即可以通過QP求解。

2.2 在折疊翼仿生變形無人機中的應用

本文針對圖2中的折疊翼仿生變形無人機典型任務剖面，使用基于LPV系統(tǒng)的MPC控制方法來設計變形過程中的縱向暫態(tài)控制器。LPV-MPC閉環(huán)系統(tǒng)結構如圖4所示。其中，θr_cmd表示機翼折疊角指令，該指令按照圖2中的典型任務剖面來設計。控制輸入為升降舵和油門，即u=[δe，δT]T，輸出為y=[θ,Va]T。控制輸入限幅為δT∈[0，1]，δe∈[-30，30] deg。

圖4 LPV-MPC閉環(huán)系統(tǒng)結構

輸入代價加權函數(shù)為：

控制誤差加權函數(shù)為：

式(25)和式(26)表示控制的主要目標為跟蹤俯仰角，其次為跟蹤空速指令，并在跟蹤的同時限制升降舵和油門在規(guī)定的范圍內。采樣周期為Ts=0.05 s，預測步數(shù)為p=200，控制步數(shù)為m=2。

空速和俯仰角參考指令設計如圖5所示，空速和折疊角指令根據(jù)圖3中的飛行包線數(shù)據(jù)來設計。

圖5 參考指令設計

3 仿真和分析

使用文中給出的LPV-MPC控制方法和非支配排序的遺傳算法NSGA-II-PID[18]做對比仿真。

仿真初始狀態(tài)為展開構型下20 m/s平飛，配平迎角為2.8 deg。LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的俯仰角指令和響應如圖6所示，LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的空速指令和響應如圖7所示。從圖6和圖7可以看出，LPV-MPC控制方法比NSGA-II-PID控制方法有更好的跟蹤準確性，特別是對于俯仰角的跟蹤，穩(wěn)態(tài)誤差在2 deg以內，空速跟蹤因為權重較小，所以綜合比較LPV-MPC控制方法比NSGA-II-PID控制方法準確性高。

圖6 LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的俯仰角指令和響應

圖7 LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的空速指令和響應

LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的升降舵控制輸入如圖8所示，LPV-MPC控制和NSGA-II-PID控制的油門控制輸入量如圖9所示。從圖8可以看出，LPV-MPC方法的升降舵輸入量可以約束在10 deg以內，而NSGA-II-PID控制方法約束在15 deg以內，圖6中顯示出LPV-MPC方法跟蹤準確性更高，所以具有更高的控制效率。圖9中NSGA-II-PID的油門輸入量維持在最大值1或者最小值0處，其原因是按照控制律算出的輸入量超過了0～1的范圍，就有可能是約束失敗，而LPV-MPC控制方法都在0～1之間，所以其控制輸入約束和控制調節(jié)更有效率。

圖8 升降舵控制輸入

圖9 油門控制輸入量

4 結語

本文基于LPV系統(tǒng)的MPC控制方法設計了折疊翼仿生變形無人機變形過程的縱向暫態(tài)控制器，將LPV系統(tǒng)的MPC控制問題轉化為QP優(yōu)化問題，從而可以使成熟的數(shù)值算法在線求解。通過仿真將該設計方法應用在折疊翼仿生變形無人機縱向暫態(tài)控制中，與基于NSGA-II-PID的增益調度方法進行了對比，結果表明該方法具有更好的跟蹤準確性和更高的控制效率。