蔣 敏

(四川省南充市龍門中學(xué)，637130)

在強(qiáng)基計(jì)劃背景下,作為選拔性考試的高考數(shù)學(xué)命題更加重視對數(shù)學(xué)能力的考查.因此，將高考數(shù)學(xué)知識與高等數(shù)學(xué)知識的接軌是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn). “高觀點(diǎn)”試題是以高等數(shù)學(xué)知識(符號、概念、運(yùn)算系統(tǒng)、公式、定理、性質(zhì)、思想方法、理論、著名問題、基本結(jié)論等)為背景設(shè)計(jì)的試題,使初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識和諧銜接.既能開闊考生的視野,又能考查學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)及潛力,在近期各地的模擬考試中備受命題者青睞.本文列舉幾道“高觀點(diǎn)”函數(shù)問題進(jìn)行探析，供參考.

一、高斯函數(shù)

(A){-1} (B){0}

(C){-1,0} (D){-1,1}

例2記[x]為不超過x的最大整數(shù),如[0.8]=0,[3]=3.當(dāng)0≤x<2π時,函數(shù)f(x)=sin([x]π+x)的最大值是______(結(jié)果可用三角函數(shù)表示(如sin 1)).

解當(dāng)0≤x<1時,f(x)=sin(0+x)=sinx∈[0,sin 1).

當(dāng)1≤x<2時,f(x)=sin(π+x)=-sinx.注意到sin 1

同理可知，當(dāng)2≤x<3時,f(x)=sin(2π+x)=sinx∈(sin 3,sin 2]；當(dāng)3≤x<4時,f(x)=sin(3π+x)=-sinx∈[-sin 3,-sin 4);當(dāng)4≤x<5時,f(x)=sin(4π+x)=sinx∈(sin 5,sin 4];當(dāng)5≤x<6時,f(x)=sin(5π+x)=-sinx∈(-sin 6,-sin 5];當(dāng)6≤x<2π時,f(x)=sin(6π+x)=sinx∈[sin 6,0).

評注本題以三角函數(shù)為背景,考查了對高斯函數(shù)性質(zhì)的理解和分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.

二、符號函數(shù)

例3定義符號函數(shù)

則函數(shù)f(x)=sinx·sgnx的圖象大致是( )

易知f(x)是偶函數(shù),可排除A選項(xiàng);結(jié)合y=sinx(x>0)的圖象,可排除C，D選項(xiàng).故選B.

評注本題是以符合函數(shù)為背景,結(jié)合正弦函數(shù)的函數(shù)圖象,運(yùn)用排除法作出判斷，考查學(xué)生綜合分析處理問題的能力.

三、狄利克雷函數(shù)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解對于①,當(dāng)x為有理數(shù)時,f(x)=1,f(f(x))=f(1)=1,故① 是假命題.

對于②,若x∈Q，則-x∈Q；若x∈RQ,則-x∈RQ.所以無論x是有理數(shù)還是無理數(shù),都有f(-x)=f(x),即函數(shù)f(x)為偶函數(shù),故② 是真命題.

對于③,當(dāng)x為有理數(shù)時,x+T為有理數(shù),滿足f(x+T)=f(x)=1;當(dāng)x為無理數(shù)時,x+T為無理數(shù),滿足f(x+T)=f(x)=0,故③ 是真命題.

綜上,選C.

評注本題有一定的綜合性，求解的關(guān)鍵是要明確狄利克雷函數(shù)的實(shí)質(zhì)是分段函數(shù).命題①②③從x為有理數(shù)、無理數(shù)入手，在分類探討中使問題獲解；命題④主要考查學(xué)生思維的靈活性及設(shè)計(jì)構(gòu)造能力.當(dāng)然，命題①也可從特殊值入手.

四、凹凸函數(shù)

(A)f(x)=sinx+cosx

(B)f(x)=lnx-2x

(C)f(x)=-x3+2x-1

(D)f(x)=-xe-x

學(xué)的結(jié)論作為條件，考查學(xué)生對新定義信息的理解與運(yùn)用.

例6設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)y=f(x)的圖象如圖1,則下列數(shù)值排列順序正確的是( )

(A)0

(B)0

(C)0

(D)0

解f′(2),f′(3)分別表示y=f(x)在x=2及x=3處的導(dǎo)數(shù),其幾何意義分別為經(jīng)過這兩點(diǎn)的各自切線的斜率,如圖2.

所以0

評注本題的本質(zhì)是考查函數(shù)的凹凸性和導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，反映了函數(shù)的變化率,反映函數(shù)圖象上升、下降的快慢速度,即函數(shù)圖象的“陡峭”程度.