張 輝

(北京市陳經(jīng)綸中學(xué)，100020)

立體幾何是研究三維空間中物體的形狀、大小和位置關(guān)系的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科,包含了研究空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系. 線面垂直的位置關(guān)系在日常生活中被廣泛地應(yīng)用,它聯(lián)結(jié)著線線垂直和面面垂直,很有必要深入地進(jìn)行研究. “直線與平面垂直的判定”這一節(jié)課的主要內(nèi)容是研究線面垂直的定義、判定定理,這些定義、定理內(nèi)容相對(duì)比較抽象. 本文以這節(jié)課教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)與實(shí)施為例,談?wù)勅绾谓档投x、定理的抽象性,借助直觀想象引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)邏輯,加深對(duì)定義、定理的理解,從而將落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入到課堂教學(xué)的實(shí)踐中.

一、借助生活素材生成定義

片段1概念引入

請(qǐng)學(xué)生觀察:

(1)觀察天安門(mén)廣場(chǎng)五星紅旗的圖片(圖1);

(2)觀察身邊的實(shí)例:學(xué)生將書(shū)打開(kāi)直立于桌面,觀察書(shū)脊與桌面的位置關(guān)系(圖2).

問(wèn)題1如何定義一條直線與一個(gè)平面垂直?(稍作停頓但不急于說(shuō)出答案)

問(wèn)題2早晨陽(yáng)光下,旗桿與它在地面的影子所成角度是多少(圖3)?(學(xué)生都能回答90°)

問(wèn)題3如圖3，隨著太陽(yáng)的移動(dòng)(借助動(dòng)畫(huà)演示),不同位置的影子與旗桿的角度是否會(huì)發(fā)生改變?(引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿始終與地面的影子保持垂直)

問(wèn)題4旗桿與地面內(nèi)任意一條不經(jīng)過(guò)旗桿底端位置的直線關(guān)系如何?(引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):旗桿所在的直線與地面內(nèi)任意一條直線都垂直,學(xué)生感知旗桿與地面垂直)

問(wèn)題5如圖2,大家將自己手中的數(shù)學(xué)書(shū)打開(kāi)直立在桌面上,觀察書(shū)脊(抽象成一條直線)與桌面的位置關(guān)系是什么?(學(xué)生可以得出書(shū)脊與桌面垂直)

師(繼續(xù)追問(wèn)):此時(shí)書(shū)脊與每一頁(yè)書(shū)和桌面的交線是什么位置關(guān)系?(學(xué)生通過(guò)操作、觀察、發(fā)現(xiàn)得出書(shū)脊與交線垂直)

設(shè)計(jì)意圖以熟悉的旗桿、書(shū)脊為例,通過(guò)演示或者操作,引導(dǎo)學(xué)生觀察旗桿與旗桿在地面的影子,書(shū)脊所在直線與每一頁(yè)書(shū)和桌面的交線所在直線的位置關(guān)系.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)旗桿與地面垂直,通過(guò)分析太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)致影子不同來(lái)體會(huì)直線與地面上的任意一條直線都垂直.不斷啟發(fā)學(xué)生觀察、分析、聯(lián)想、抽象、歸納，概括出直線與平面垂直的定義,這些都體現(xiàn)了從直觀想象到數(shù)學(xué)抽象這些核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的有效落實(shí).

在尋找素材引入課題時(shí),要盡量尋找學(xué)生熟悉的、與生活相關(guān)的素材,這樣便于學(xué)生理解較為抽象的定義,降低其抽象性.[1]從日常生活中尋找相關(guān)素材,據(jù)此構(gòu)建模型,對(duì)直觀圖形進(jìn)行有效抽象,對(duì)幾何思想進(jìn)行有效滲透.創(chuàng)設(shè)良好的問(wèn)題情境能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的有效啟發(fā)，問(wèn)題3和問(wèn)題4就是按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律逐步遞進(jìn)式提問(wèn),為定義中提煉出“任意一條直線”做好了鋪墊. 這樣的設(shè)問(wèn),緊扣了定義的本質(zhì),從而使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)定義，完成了從直觀想象到數(shù)學(xué)抽象這一過(guò)程.

片段2概念辨析

問(wèn)題6如圖4,直線l與平面α垂直嗎?

問(wèn)題7平面α內(nèi)可以找到一條直線與l垂直嗎?能找到幾條?(參看圖5)

設(shè)計(jì)意圖過(guò)斜足可以找到直線m與l垂直(可以用三角板來(lái)進(jìn)行演示),進(jìn)而發(fā)現(xiàn)無(wú)數(shù)條與直線m平行的直線也與l垂直,從而感悟到盡管直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直,但直線l不一定與平面α垂直.以此說(shuō)明定義中的“任意”不同于“無(wú)數(shù)”,通過(guò)對(duì)問(wèn)題6，7與問(wèn)題1-5進(jìn)行比較,體驗(yàn)它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)一步深化學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

二、借助動(dòng)手實(shí)驗(yàn)確認(rèn)定理

片段3動(dòng)手操作

請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的三角形紙片?ABC,通過(guò)折疊等方式探究直線與平面內(nèi)幾條直線垂直能推出直線與平面垂直?

給學(xué)生時(shí)間討論并展示,學(xué)生討論后分折出以下三種(圖6—8)形式.

問(wèn)題8針對(duì)圖6，圖7,當(dāng)折痕AD有什么特征才能保證折痕與桌面垂直?

生 沿著底邊上的高折疊,折痕與桌面垂直，即當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時(shí),折痕AD與桌面垂直.

問(wèn)題9還有其它的折法也能保證折痕與桌面垂直嗎?

學(xué)生經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)、討論分折圖8的情形，由此可以發(fā)現(xiàn)下面的結(jié)論.

定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.

設(shè)計(jì)意圖在設(shè)計(jì)此實(shí)驗(yàn)時(shí),沒(méi)有完全按照書(shū)上說(shuō)的“過(guò)?ABC的頂點(diǎn)A翻折”,而是通過(guò)設(shè)置具有一定的開(kāi)放性的問(wèn)題,真正做到在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)問(wèn),極大程度地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性. 在實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)手、腦、口并用來(lái)獲取知識(shí),發(fā)揮了學(xué)生的主體地位,提高了學(xué)生的合情推理能力.

三、借助邏輯推理證明定理

對(duì)于一個(gè)定理的認(rèn)識(shí)借助直觀想象很重要,但更重要的是利用邏輯推理,將所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格證明. 本節(jié)課選擇利用向量這一強(qiáng)有力的工具對(duì)定理加以證明,以保證學(xué)生從定理產(chǎn)生到認(rèn)同的合理性.

片段4定理證明

基于以上操作，師生共同合作，將定理表征為如下命題，并利用邏輯推理對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格證明.

命題已知直線m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線,如果l⊥m,l⊥n,求證:l⊥α.

分析要證明l⊥α,就是要證明l垂直于α內(nèi)的任何一條直線g(直線和平面垂直的定義).如果我們能在g和m，n間建立某種聯(lián)系,并由l⊥m,l⊥n得到l⊥g,就能解決此問(wèn)題.

證明在平面α內(nèi)作任一直線g,分別在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因m與n相交,故向量m，n不平行,由共面向量定理，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使g=xm+yn.

由條件知l⊥m,l⊥n，故l·m=l·n=0，得l·g=x(l·m)+y(l·n)=0，從而l⊥g.于是l⊥α.

設(shè)計(jì)意圖運(yùn)用向量法證明線面垂直的判定定理,體會(huì)證明過(guò)程中向量位置關(guān)系與向量數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化,體驗(yàn)向量數(shù)量積運(yùn)算是證明的核心,夯實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.此教學(xué)環(huán)節(jié)意在使得學(xué)生對(duì)定理的學(xué)習(xí)更加完整，也使得邏輯推理這一核心素養(yǎng)能夠很好地落實(shí).

四、借助課堂練習(xí)深化定理

片段5練習(xí)講解

1.如圖9，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,判斷:

(1)直線AD與哪些平面垂直?

(2)直線CC1與哪些平面垂直?

(3)直線AD1與哪些平面垂直？

2.如圖10,PA垂直于圓O所在平面,AB是圓O的直徑,C是圓周上一點(diǎn),那么圖中有幾個(gè)直角三角形?

3.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC=CC1,當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件______時(shí),有AB1⊥BC1. (注:填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可,不必考慮所有可能的情況)

設(shè)計(jì)意圖長(zhǎng)方體、正方體是立體幾何的“百寶箱”,其中有著豐富的直觀的位置關(guān)系,是學(xué)生“心有模型”的源頭.筆者以此為起點(diǎn)，通過(guò)三個(gè)練習(xí)增強(qiáng)學(xué)生的識(shí)圖能力,用定理理解圖形中空間元素的位置關(guān)系.在設(shè)計(jì)上采用了開(kāi)放式問(wèn)題,便于學(xué)生對(duì)概念的深刻理解，使數(shù)學(xué)建模意識(shí)得到落實(shí).

五、借助課堂小結(jié)反思提升

片段6歸納小結(jié)

(歸納小結(jié)以問(wèn)題的形式加以呈現(xiàn))

1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)與方法?

2.直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法?

3.談?wù)勀阍谔角笾本€與平面垂直的判定定理時(shí)的收獲和體會(huì)，歸納出研究該節(jié)課定理的“路線圖”.

設(shè)計(jì)意圖小結(jié)是幫助學(xué)生對(duì)整節(jié)課的知識(shí)、方法、研究路徑加以回顧,幫助學(xué)生形成一條研究路線,體會(huì)立體幾何定理學(xué)習(xí)的一般方法.一方面讓學(xué)生對(duì)于直線與平面垂直的定義和判定定理有清楚的認(rèn)知;另一方面也讓學(xué)生體會(huì)本節(jié)課中用到的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng);清晰研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本途徑以及轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,是課堂不可或缺的環(huán)節(jié).