章 越，王家寶，亓山山，白在橋

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

楊氏模量的測量方法可分為靜態(tài)法和動態(tài)法，其中靜態(tài)法通過測量樣品在外力下的形變進而求得出楊氏模量，最近有許多文獻討論用不同的方法測量微小位移[1-2]；動態(tài)法是根據樣品的共振頻率推知樣品的彈性參量[3-4]，通常的操作是，調節(jié)激發(fā)信號的頻率，用示波器或交流電壓表觀察振動信號的幅度，找到最大振動對應的共振頻率. 但實驗中有時會發(fā)現存在2個間隔很近的共振頻率[5]，這種“雙共振峰”現象不僅會影響量結果的準確性，還會造成學生對實驗原理的困惑. 實驗中觀測細圓柱形樣品的橫向振動，由于橫波具有偏振性，至少會涉及到2個振動模式. 只要樣品的彈性力學性質不是嚴格各向同性的[6]，繞樣品中心線的旋轉對稱性就不再保持，這2個模式的頻率就會有所不同. 因此出現2個共振峰并不意外. 此外，實驗采用的懸掛測量方式還會引入各向異性. 已有論文對懸掛造成的影響進行了討論[7]，本文將綜合考慮這2種各向異性的影響，以期能夠定量理解“雙共振峰”現象，并在此基礎上給出更合理的楊氏模量計算方法.

1 理論分析

動態(tài)法測量楊氏模量的振動系統(tǒng)如圖1所示. 待測圓桿樣品被2根棉線水平懸掛起來，懸掛點相對桿的中心左右對稱. 一根懸線將激振器的激勵信號傳至樣品，另一個懸線將樣品的振動傳回拾振器，用于監(jiān)視和測量樣品的振動. 為方便分析，在樣品截面內建立O-xyz坐標系，其中O為桿的幾何中心，x軸指向下，y軸水平，z軸與樣品的中心線重合.

圖1 坐標系示意圖

桿的橫向振動在x-y平面內，先假設桿的力學性質具有完美的旋轉對稱性，并暫時忽略懸線的影響. 這樣x方向和y方向的振動頻率和模式完全相同，在細桿近似下，由歐拉-伯努利梁理論可知共振頻率為

(1)

其中,L,I和ρ分別為桿的長度、面矩和線密度，E為材料的楊氏模量，ξk是cos (ξ)cosh (ξ)=1的

第k個正根(ξ1=4.730 040 7…).ωk,0對應的振動模式為

(2)

一般地，x方向的振動位移φx(z,t)和y方向的振動位移φy(z,t)都是不同本征振動的疊加：

(3)

現在考慮桿各向異性的影響. 由于只關心基頻附近的振動，假定振動可以寫為

(4)

這樣假設相當于在瑞利-里茲方法(Rayleigh-Ritz method)中選取2個簡并的基頻模式作為基函數[8]. 桿的振動被約化為2個自由度{cx,cy}的運動. 對各向同性的情況，桿的動能可表示為

(5)

勢能可表示為

(6)

(7)

式(7)假定了x軸和y軸是彈性的主軸. 對于一般的懸掛角度，勢能應寫成

(8)

(9)

式中θ為彈性主軸與x軸的夾角.

(10)

(11)

其中質量矩陣

(12)

根據動能和勢能的表達式，利用歐拉-拉格朗日方程，可得2個本征振動頻率為

(13)

其中λ1,2為M-1/2KM-1/2≡Q的2個本征值. 保留到1階小量，

(14)

其中

(15)

表征了懸線對振動總的影響. 因此保留到1階項，有

(16)

1)θ→θ+π，共振頻率保持不變.

2)2個共振頻率的平均值

與θ無關.

3)2個共振頻率的差值為

其最小值為||δ|-Δ|ω0，在|δ|增大的過程中先減小到零，然后增大. 只有|δ|=Δ且θ=0,π時才會有ω1=ω2. 這與量子力學中的能級回避交叉的數學原理相同[9].

4)如果|δ|?Δ，

此外，只要x軸不是彈性主軸，x方向的運動就包含了2個本征模式分量，加在x方向的激勵就可以激發(fā)出2個本征振動，拾振器在x方向的也可探測到這2個本征振動信號. 因此雙共振峰應該是常見現象. 但是當sin (2θ)≈0或|δ|?Δ時，Q的1個本征向量與x軸夾角很小，2個共振峰的高度會相差很大，雙共振峰現象不明顯.

2 實驗裝置與方法

本文實驗裝置與文獻[5]相同，包括動態(tài)法楊氏模量測定儀(杭州大華DHY-2)、信號發(fā)生器(普源精電DG1032Z)、數據采集卡(NI-myDAQ)和裝有LabVIEW軟件的計算機，其中信號發(fā)生器有USB-device接口，可以用LabVIEW控制輸出參量. 測試桿長度約180 mm，直徑約為6 mm. 與文獻[5]中的實驗不同，這里需要測量樣品的角度. 用低成本顯微攝像頭監(jiān)視樣品的端面，并通過LabVIEW顯示在屏幕上，得到直徑約為300像素的圓形(見圖2). 在桿的端面上刻記號，作為角度的零點. 同時在圖像上疊加等角度間隔的分劃線，便于把懸掛角度調整到預定值.

圖2 樣品端面照片以及角度刻線

實驗通過LabVIEW編程掃描信號發(fā)生器的輸出頻率用于激勵測試桿的振動，使用數據采集卡獲得每個頻率下拾振器的輸出信號，得到樣品振動的幅-頻和相-頻特性曲線. 所得曲線用雙共振模型擬合，得到2個共振頻率及其寬度. 程序控制和數據擬合的細節(jié)參見文獻[5]. 由于共振頻率具有θ→θ+π的不變性，為了縮短測量時長，實驗中θ限制在[0,π]之內. 同時，比較θ=0和θ=π的結果，可以粗略估計測量結果的可重復性.

3 實驗結果

首先對1根黃銅桿，在從中心向邊緣的8個不同懸掛位置(z*)，分別測量了9個不同懸掛角度(θ)的頻率響應曲線. 由于數據量很大，圖3只畫出了z*=60 mm的9條幅-頻特性曲線，可以看出，隨θ改變，2個共振峰的位置、寬度和相對高度都會改變.

圖3 黃銅桿固定z*=60 mm，不同θ的幅-頻特性曲線 (從上到下θ從0°均勻增大到180°)

注意實驗中θ的零點是根據樣品端面上的記號確定的，很可能并不對應桿的彈性主軸(即固有彈性矩陣Kθ最大特征值對應的特征方向). 如果主軸位置為θ0，式(16)應改寫成

(17)

因此用包含{f0,γ,α,θ0}4個參量的公式擬合實測的144個共振頻率：

(18)

(19)

需要說明的是，式(18)中f1(f2)指的是2個共振頻率中較大(較小)的，而文獻[3]是根據共振峰的寬窄來標記不同的頻率. 這2種標記并沒有確定的對應關系(圖3).

表1 黃銅桿不同懸掛位置和角度的共振頻率

表2 不同懸掛位置對應的

采用高斯-牛頓方法進行非線性最小二乘擬合，所得最佳擬合參量見表3.

表3 共振頻率擬合參量

圖4畫出了擬合的殘差分布. 可以看出絕大部分殘差的絕對值都小于0.2 Hz. 由于存在溫度起伏、樣品定位誤差等因素，本實驗共振頻率測量的可重復性在0.1 Hz量級，因此可以認為擬合結果相當好.

為了對擬合效果有感性認識，圖5畫出Δf=f1-f2的測量值與計算值的對比. 可以看出理論公式很好地給出了Δf的變化規(guī)律.

圖4 擬合殘差分布統(tǒng)計直方圖

圖5 Δf測量值(點)與計算值(連續(xù)曲線)的對比(為便于展示，從下到上每條曲線的零點依次相對前一條向上平移了1 Hz)

對不銹鋼樣品進行了類似的測量，同樣觀察到雙共振峰現象，所得測量結果見表4. 由于θ=135°比較接近彈性主軸，頻率特性曲線中“雙峰”現象不明顯，對應測量角度改在了θ=140°. 同樣用式(18)擬合，擬合結果與銅桿相當(表3). 這說明本文的理論可以較好地描述一般金屬桿由于彈性各向異性導致的共振頻率劈裂.

表4 不銹鋼桿不同懸掛位置和角度的共振頻率

4 總結和討論

采用合理的假設，利用瑞利-里茲方法計算了桿彈性的各向異性以及懸線約束引起的共振頻率移動，所得公式可以很好地擬合實測數據. 這說明簡化模型是合理的. 微擾計算的準確性還應歸結于各向異性和懸線約束的影響都很小(Δ,δ都小于0.01)，高階修正可以忽略.

表5 樣品在固定角度下線性擬合所得固有頻率