夏利猛 趙珊珊

摘要： 有限維Balinsky-Novikov 超代數(shù)可以看作是Novikov 代數(shù)的一類超模擬， 其仿射化給出了一類重要的無(wú)限維李超代數(shù). 本文主要敘述了它們的一些性質(zhì)， 并給出了實(shí)數(shù)域上有限維單Balinsky-Novikov 超代數(shù)的完全分類.

關(guān)鍵詞： Balinsky-Novikov 超代數(shù); Novikov 代數(shù); 冪零; 分類

中圖分類號(hào)： O153.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼： ADOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201911018

0 引言

Novikov 代數(shù)是一種與李代數(shù)密切相關(guān)的代數(shù)， 它是Gelfand 和Dorfman 在研究形式變分算子中的Hamilton 算子[1] 時(shí)產(chǎn)生的. Novikov 也在有關(guān)流體力學(xué)型線性泊松括號(hào)[2] 中發(fā)現(xiàn)了相同的代數(shù). 而最終Novikov 代數(shù)是由數(shù)學(xué)家Osborn 命名的[3]. Novikov 代數(shù)是一種特殊的預(yù)李代數(shù)， 或稱為左對(duì)稱代數(shù)， 出現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)和物理學(xué)的文章中[4]. Zelmanov 對(duì)特征為0 的代數(shù)閉域上的所有有限維單Novikov 代數(shù)進(jìn)行了分類[5]， 而對(duì)于特征大于2 的代數(shù)閉域， Osborn 和徐曉平也對(duì)其進(jìn)行了分類[6-7]. 最近， Guediri 實(shí)現(xiàn)了它在R 上的分類[8]. 低維Novikov 代數(shù)的分類及相關(guān)問(wèn)題也得到了廣泛研究[9-12]. 我們要指出， Novikov 代數(shù)的仿射擴(kuò)張是一種有趣的方法， 可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)Virasoro 代數(shù)及其擴(kuò)張[2，13-15].

Novikov 代數(shù)有兩類本質(zhì)上不同的超對(duì)稱擴(kuò)張： 一個(gè)是由Balinsky 介紹的Balinsky-Novikov 超代數(shù)[16]， 另一個(gè)是徐曉平介紹的Novikov 超代數(shù)[17]. 并且這兩類代數(shù)均在可積系統(tǒng)和共形場(chǎng)理論中起著重要的作用， 所以對(duì)這些超代數(shù)的分類是非常重要和有必要的. 目前， 低維Novikov 超代數(shù)的分類已經(jīng)取得了一些結(jié)果[18-19]. 最近， 劉東、裴玉峰以及本文第一作者[20] 對(duì)特征 的域上的所有有限維單Novikov 超代數(shù)進(jìn)行了分類， 證明了每個(gè)Novikov 超代數(shù)都是平凡的， 這意味著Novikov 超代數(shù)沒(méi)有新的單結(jié)構(gòu).

BN 超代數(shù)（即Balinsky-Novikov 超代數(shù)） 常被用來(lái)構(gòu)造一些線性向量值函數(shù)的局部平移不變李超代數(shù)， 它們可以與物理學(xué)中一類重要的無(wú)限維李超代數(shù)相關(guān)聯(lián)， 其中包括super-Virasoro 代數(shù)以及一些無(wú)窮維李超代數(shù)和頂點(diǎn)超代數(shù)， 它們可以通過(guò)具有不變雙線性形式[13，16] 的BN 超代數(shù)自然實(shí)現(xiàn).而關(guān)于BN 超代數(shù)的抽象研究是從1987 年由Balinsky 開(kāi)始的， 他對(duì)C 上所有有限維單BN 超代數(shù)進(jìn)行了分類， 證明了每一個(gè)BN 超代數(shù)都同構(gòu)于C 或一個(gè)非平凡的2 維超代數(shù). 另外， 對(duì)于低維的BN 超代數(shù)的分類， 目前也有一些成果[21].

本文中， 我們主要研究了實(shí)數(shù)域上的有限維BN 超代數(shù). 證明了Novikov 代數(shù)的Zelmanov 定理的一個(gè)超模擬[5]： 如果一個(gè)BN 超代數(shù)b 是右冪零的， 那么b2 是冪零的. 最后， 我們給出了有限維單Balinsky-Novikov 超代數(shù)在實(shí)數(shù)域上的完全分類.

本文內(nèi)容組織如下： 第1 章介紹了Novikov 代數(shù)和BN 超代數(shù)的一些符號(hào)， 并羅列了一些已知的結(jié)果; 第2 章中， 我們證明了BN 超代數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)以供使用; 第3 章， 給出了有限維單Balinsky-Novikov 超代數(shù)在實(shí)數(shù)域上的完全分類.

本文中， 總假設(shè)F 是一個(gè)域， 分別用C、C*和R 表示全體復(fù)數(shù)、非零復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)的集合.

[ 參 考 文 獻(xiàn)]

[ 1 ] GELEAND I， DORFMAN I. Hamiltonian operators and algebraic structures related to them [J]. Func Anal Appl， 1979， 13： 13-30.

[ 2 ]BALINSKY A， NOVIKOV S. Poisson brackets of hydrodynamic type， Frobenius algebras and Lie [J]. Soviet Math Dokl， 1985， 32：228-231.

[ 3 ] OSBORN J. Novikov algebras [J]. Nova J Algebra， 1992（1）： 1-14.

[ 4 ] BURDE D. Left symmetric algebras， or pre-Lie algebras in geometry and physics [J]. Cent Eur J Math， 2006（4）： 323-357.

[ 5 ] ZELMANOV E. On a class of local translation invariant Lie algebras [J]. Soviet Math Dokl， 1987， 35： 216-218.

[ 6 ] OSBORN J. Simple Novikov algebras with an idempotent [J]. Comm Algebra， 1992， 20： 2729-2753. DOI： 10.1080/00927879208824486.

[ 7 ]XU X P. On simple Novikov algebras and their irreducible modules [J]. J Algebra， 1996， 185（3）： 905-934. DOI： 10.1006/jabr.1996.0356.